Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoconid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendoconid 40541
Description: The composition (product) of trace-preserving endormorphisms is nonzero when each argument is nonzero. (Contributed by NM, 8-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoid0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendoid0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendoid0.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendoid0.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendoid0.o 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
tendoconid (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) → (𝑈𝑉) ≠ 𝑂)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendoconid
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tendoid0.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 tendoid0.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 tendoid0.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
41, 2, 3cdlemftr0 40280 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑔𝑇 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))
543ad2ant1 1130 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) → ∃𝑔𝑇 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))
6 simpl1 1188 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
7 simpl3l 1225 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑉𝐸)
8 tendoid0.e . . . . . . 7 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
92, 3, 8tendof 40475 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑉𝐸) → 𝑉:𝑇𝑇)
106, 7, 9syl2anc 582 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑉:𝑇𝑇)
11 simprl 769 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑔𝑇)
12 fvco3 6993 . . . . 5 ((𝑉:𝑇𝑇𝑔𝑇) → ((𝑈𝑉)‘𝑔) = (𝑈‘(𝑉𝑔)))
1310, 11, 12syl2anc 582 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈𝑉)‘𝑔) = (𝑈‘(𝑉𝑔)))
14 simpl2r 1224 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑈𝑂)
15 simpl2l 1223 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑈𝐸)
162, 3, 8tendocl 40479 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑉𝐸𝑔𝑇) → (𝑉𝑔) ∈ 𝑇)
176, 7, 11, 16syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑉𝑔) ∈ 𝑇)
18 simpl3r 1226 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑉𝑂)
19 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
20 tendoid0.o . . . . . . . . . . 11 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
211, 2, 3, 8, 20tendoid0 40537 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑉𝐸 ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑉𝑔) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑉 = 𝑂))
226, 7, 19, 21syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑉𝑔) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑉 = 𝑂))
2322necon3bid 2975 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑉𝑔) ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑉𝑂))
2418, 23mpbird 256 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑉𝑔) ≠ ( I ↾ 𝐵))
251, 2, 3, 8, 20tendoid0 40537 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸 ∧ ((𝑉𝑔) ∈ 𝑇 ∧ (𝑉𝑔) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈‘(𝑉𝑔)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 = 𝑂))
266, 15, 17, 24, 25syl112anc 1371 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈‘(𝑉𝑔)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 = 𝑂))
2726necon3bid 2975 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈‘(𝑉𝑔)) ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈𝑂))
2814, 27mpbird 256 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈‘(𝑉𝑔)) ≠ ( I ↾ 𝐵))
2913, 28eqnetrd 2998 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈𝑉)‘𝑔) ≠ ( I ↾ 𝐵))
302, 8tendococl 40484 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) → (𝑈𝑉) ∈ 𝐸)
316, 15, 7, 30syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈𝑉) ∈ 𝐸)
321, 2, 3, 8, 20tendoid0 40537 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝑉) ∈ 𝐸 ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (((𝑈𝑉)‘𝑔) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑈𝑉) = 𝑂))
336, 31, 19, 32syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (((𝑈𝑉)‘𝑔) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑈𝑉) = 𝑂))
3433necon3bid 2975 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (((𝑈𝑉)‘𝑔) ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑈𝑉) ≠ 𝑂))
3529, 34mpbid 231 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈𝑉) ≠ 𝑂)
365, 35rexlimddv 3151 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ (𝑉𝐸𝑉𝑂)) → (𝑈𝑉) ≠ 𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wrex 3060  cmpt 5228   I cid 5571  cres 5676  ccom 5678  wf 6542  cfv 6546  Basecbs 17208  HLchlt 39061  LHypclh 39696  LTrncltrn 39813  TEndoctendo 40464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-riotaBAD 38664
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-iin 4996  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-undef 8280  df-map 8849  df-proset 18315  df-poset 18333  df-plt 18350  df-lub 18366  df-glb 18367  df-join 18368  df-meet 18369  df-p0 18445  df-p1 18446  df-lat 18452  df-clat 18519  df-oposet 38887  df-ol 38889  df-oml 38890  df-covers 38977  df-ats 38978  df-atl 39009  df-cvlat 39033  df-hlat 39062  df-llines 39210  df-lplanes 39211  df-lvols 39212  df-lines 39213  df-psubsp 39215  df-pmap 39216  df-padd 39508  df-lhyp 39700  df-laut 39701  df-ldil 39816  df-ltrn 39817  df-trl 39871  df-tendo 40467
This theorem is referenced by:  erngdvlem4  40703  erngdvlem4-rN  40711
  Copyright terms: Public domain W3C validator