Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoconid Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tendoconid 39695
Description: The composition (product) of trace-preserving endormorphisms is nonzero when each argument is nonzero. (Contributed by NM, 8-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoid0.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
tendoid0.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendoid0.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendoid0.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendoid0.o 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
Assertion
Ref Expression
tendoconid (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 β‰  𝑂)) β†’ (π‘ˆ ∘ 𝑉) β‰  𝑂)
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑉(𝑓)   π‘Š(𝑓)
Proof of Theorem tendoconid
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tendoid0.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 tendoid0.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 tendoid0.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
41, 2, 3cdlemftr0 39434 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝑇 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
543ad2ant1 1133 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 β‰  𝑂)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝑇 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
6 simpl1 1191 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 β‰  𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
7 simpl3l 1228 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 β‰  𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝑉 ∈ 𝐸)
8 tendoid0.e . . . . . . 7 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
92, 3, 8tendof 39629 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) β†’ 𝑉:π‘‡βŸΆπ‘‡)
106, 7, 9syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 β‰  𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝑉:π‘‡βŸΆπ‘‡)
11 simprl 769 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 β‰  𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝑔 ∈ 𝑇)
12 fvco3 6990 . . . . 5 ((𝑉:π‘‡βŸΆπ‘‡ ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘ˆ ∘ 𝑉)β€˜π‘”) = (π‘ˆβ€˜(π‘‰β€˜π‘”)))
1310, 11, 12syl2anc 584 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 β‰  𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((π‘ˆ ∘ 𝑉)β€˜π‘”) = (π‘ˆβ€˜(π‘‰β€˜π‘”)))
14 simpl2r 1227 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 β‰  𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ π‘ˆ β‰  𝑂)
15 simpl2l 1226 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 β‰  𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
162, 3, 8tendocl 39633 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‰β€˜π‘”) ∈ 𝑇)
176, 7, 11, 16syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 β‰  𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘‰β€˜π‘”) ∈ 𝑇)
18 simpl3r 1229 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 β‰  𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝑉 β‰  𝑂)
19 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 β‰  𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
20 tendoid0.o . . . . . . . . . . 11 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
211, 2, 3, 8, 20tendoid0 39691 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((π‘‰β€˜π‘”) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ 𝑉 = 𝑂))
226, 7, 19, 21syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 β‰  𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((π‘‰β€˜π‘”) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ 𝑉 = 𝑂))
2322necon3bid 2985 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 β‰  𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((π‘‰β€˜π‘”) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ↔ 𝑉 β‰  𝑂))
2418, 23mpbird 256 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 β‰  𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘‰β€˜π‘”) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
251, 2, 3, 8, 20tendoid0 39691 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ ((π‘‰β€˜π‘”) ∈ 𝑇 ∧ (π‘‰β€˜π‘”) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((π‘ˆβ€˜(π‘‰β€˜π‘”)) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ π‘ˆ = 𝑂))
266, 15, 17, 24, 25syl112anc 1374 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 β‰  𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((π‘ˆβ€˜(π‘‰β€˜π‘”)) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ π‘ˆ = 𝑂))
2726necon3bid 2985 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 β‰  𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((π‘ˆβ€˜(π‘‰β€˜π‘”)) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ↔ π‘ˆ β‰  𝑂))
2814, 27mpbird 256 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 β‰  𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘ˆβ€˜(π‘‰β€˜π‘”)) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
2913, 28eqnetrd 3008 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 β‰  𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((π‘ˆ ∘ 𝑉)β€˜π‘”) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
302, 8tendococl 39638 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) β†’ (π‘ˆ ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
316, 15, 7, 30syl3anc 1371 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 β‰  𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘ˆ ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
321, 2, 3, 8, 20tendoid0 39691 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∘ 𝑉) ∈ 𝐸 ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (((π‘ˆ ∘ 𝑉)β€˜π‘”) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ (π‘ˆ ∘ 𝑉) = 𝑂))
336, 31, 19, 32syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 β‰  𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (((π‘ˆ ∘ 𝑉)β€˜π‘”) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ (π‘ˆ ∘ 𝑉) = 𝑂))
3433necon3bid 2985 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 β‰  𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (((π‘ˆ ∘ 𝑉)β€˜π‘”) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ↔ (π‘ˆ ∘ 𝑉) β‰  𝑂))
3529, 34mpbid 231 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 β‰  𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘ˆ ∘ 𝑉) β‰  𝑂)
365, 35rexlimddv 3161 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 β‰  𝑂)) β†’ (π‘ˆ ∘ 𝑉) β‰  𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   ↦ cmpt 5231   I cid 5573   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  Basecbs 17143  HLchlt 38215  LHypclh 38850  LTrncltrn 38967  TEndoctendo 39618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-riotaBAD 37818
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-undef 8257  df-map 8821  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-p1 18378  df-lat 18384  df-clat 18451  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216  df-llines 38364  df-lplanes 38365  df-lvols 38366  df-lines 38367  df-psubsp 38369  df-pmap 38370  df-padd 38662  df-lhyp 38854  df-laut 38855  df-ldil 38970  df-ltrn 38971  df-trl 39025  df-tendo 39621
This theorem is referenced by:  erngdvlem4  39857  erngdvlem4-rN  39865
  Copyright terms: Public domain W3C validator