Theorem tendoconid 41979

Description: The composition (product) of trace-preserving endormorphisms is nonzero when each argument is nonzero. (Contributed by NM, 8-Aug-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendoid0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendoid0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendoid0.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendoid0.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendoid0.o	⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
tendoconid	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) → (𝑈 ∘ 𝑉) ≠ 𝑂)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendoconid

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tendoid0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		tendoid0.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		tendoid0.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	cdlemftr0 41718	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑔 ∈ 𝑇 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))
5	4	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) → ∃𝑔 ∈ 𝑇 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))
6		simpl1 1210	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		simpl3l 1247	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑉 ∈ 𝐸)
8		tendoid0.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
9	2, 3, 8	tendof 41913	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → 𝑉:𝑇⟶𝑇)
10	6, 7, 9	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑉:𝑇⟶𝑇)
11		simprl 783	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑔 ∈ 𝑇)
12		fvco3 6985	. . . . 5 ⊢ ((𝑉:𝑇⟶𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑈 ∘ 𝑉)‘𝑔) = (𝑈‘(𝑉‘𝑔)))
13	10, 11, 12	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈 ∘ 𝑉)‘𝑔) = (𝑈‘(𝑉‘𝑔)))
14		simpl2r 1246	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑈 ≠ 𝑂)
15		simpl2l 1245	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑈 ∈ 𝐸)
16	2, 3, 8	tendocl 41917	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝑔) ∈ 𝑇)
17	6, 7, 11, 16	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑉‘𝑔) ∈ 𝑇)
18		simpl3r 1248	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑉 ≠ 𝑂)
19		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
20		tendoid0.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
21	1, 2, 3, 8, 20	tendoid0 41975	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑉‘𝑔) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑉 = 𝑂))
22	6, 7, 19, 21	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑉‘𝑔) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑉 = 𝑂))
23	22	necon3bid 2999	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑉‘𝑔) ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑉 ≠ 𝑂))
24	18, 23	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑉‘𝑔) ≠ ( I ↾ 𝐵))
25	1, 2, 3, 8, 20	tendoid0 41975	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ ((𝑉‘𝑔) ∈ 𝑇 ∧ (𝑉‘𝑔) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈‘(𝑉‘𝑔)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 = 𝑂))
26	6, 15, 17, 24, 25	syl112anc 1401	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈‘(𝑉‘𝑔)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 = 𝑂))
27	26	necon3bid 2999	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈‘(𝑉‘𝑔)) ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 ≠ 𝑂))
28	14, 27	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈‘(𝑉‘𝑔)) ≠ ( I ↾ 𝐵))
29	13, 28	eqnetrd 3022	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈 ∘ 𝑉)‘𝑔) ≠ ( I ↾ 𝐵))
30	2, 8	tendococl 41922	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (𝑈 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
31	6, 15, 7, 30	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
32	1, 2, 3, 8, 20	tendoid0 41975	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸 ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (((𝑈 ∘ 𝑉)‘𝑔) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑈 ∘ 𝑉) = 𝑂))
33	6, 31, 19, 32	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (((𝑈 ∘ 𝑉)‘𝑔) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑈 ∘ 𝑉) = 𝑂))
34	33	necon3bid 2999	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (((𝑈 ∘ 𝑉)‘𝑔) ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑈 ∘ 𝑉) ≠ 𝑂))
35	29, 34	mpbid 235	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈 ∘ 𝑉) ≠ 𝑂)
36	5, 35	rexlimddv 3169	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) → (𝑈 ∘ 𝑉) ≠ 𝑂)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   ↦ cmpt 5185   I cid 5544   ↾ cres 5652   ∘ ccom 5654  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  Basecbs 17392  HLchlt 40500  LHypclh 41134  LTrncltrn 41251  TEndoctendo 41902

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-riotaBAD 40103

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-undef 8293  df-map 8852  df-proset 18473  df-poset 18492  df-plt 18507  df-lub 18523  df-glb 18524  df-join 18525  df-meet 18526  df-p0 18602  df-p1 18603  df-lat 18611  df-clat 18678  df-oposet 40326  df-ol 40328  df-oml 40329  df-covers 40416  df-ats 40417  df-atl 40448  df-cvlat 40472  df-hlat 40501  df-llines 40648  df-lplanes 40649  df-lvols 40650  df-lines 40651  df-psubsp 40653  df-pmap 40654  df-padd 40946  df-lhyp 41138  df-laut 41139  df-ldil 41254  df-ltrn 41255  df-trl 41309  df-tendo 41905

This theorem is used by:  erngdvlem4  42141  erngdvlem4-rN  42149