Theorem tendoconid 38843

Description: The composition (product) of trace-preserving endormorphisms is nonzero when each argument is nonzero. (Contributed by NM, 8-Aug-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendoid0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendoid0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendoid0.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendoid0.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendoid0.o	⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
tendoconid	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) → (𝑈 ∘ 𝑉) ≠ 𝑂)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendoconid

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tendoid0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		tendoid0.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		tendoid0.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	cdlemftr0 38582	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑔 ∈ 𝑇 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))
5	4	3ad2ant1 1132	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) → ∃𝑔 ∈ 𝑇 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))
6		simpl1 1190	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		simpl3l 1227	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑉 ∈ 𝐸)
8		tendoid0.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
9	2, 3, 8	tendof 38777	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → 𝑉:𝑇⟶𝑇)
10	6, 7, 9	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑉:𝑇⟶𝑇)
11		simprl 768	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑔 ∈ 𝑇)
12		fvco3 6867	. . . . 5 ⊢ ((𝑉:𝑇⟶𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑈 ∘ 𝑉)‘𝑔) = (𝑈‘(𝑉‘𝑔)))
13	10, 11, 12	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈 ∘ 𝑉)‘𝑔) = (𝑈‘(𝑉‘𝑔)))
14		simpl2r 1226	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑈 ≠ 𝑂)
15		simpl2l 1225	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑈 ∈ 𝐸)
16	2, 3, 8	tendocl 38781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝑔) ∈ 𝑇)
17	6, 7, 11, 16	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑉‘𝑔) ∈ 𝑇)
18		simpl3r 1228	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑉 ≠ 𝑂)
19		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
20		tendoid0.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
21	1, 2, 3, 8, 20	tendoid0 38839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑉‘𝑔) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑉 = 𝑂))
22	6, 7, 19, 21	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑉‘𝑔) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑉 = 𝑂))
23	22	necon3bid 2988	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑉‘𝑔) ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑉 ≠ 𝑂))
24	18, 23	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑉‘𝑔) ≠ ( I ↾ 𝐵))
25	1, 2, 3, 8, 20	tendoid0 38839	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ ((𝑉‘𝑔) ∈ 𝑇 ∧ (𝑉‘𝑔) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈‘(𝑉‘𝑔)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 = 𝑂))
26	6, 15, 17, 24, 25	syl112anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈‘(𝑉‘𝑔)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 = 𝑂))
27	26	necon3bid 2988	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈‘(𝑉‘𝑔)) ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 ≠ 𝑂))
28	14, 27	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈‘(𝑉‘𝑔)) ≠ ( I ↾ 𝐵))
29	13, 28	eqnetrd 3011	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈 ∘ 𝑉)‘𝑔) ≠ ( I ↾ 𝐵))
30	2, 8	tendococl 38786	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (𝑈 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
31	6, 15, 7, 30	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
32	1, 2, 3, 8, 20	tendoid0 38839	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸 ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (((𝑈 ∘ 𝑉)‘𝑔) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑈 ∘ 𝑉) = 𝑂))
33	6, 31, 19, 32	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (((𝑈 ∘ 𝑉)‘𝑔) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑈 ∘ 𝑉) = 𝑂))
34	33	necon3bid 2988	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (((𝑈 ∘ 𝑉)‘𝑔) ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑈 ∘ 𝑉) ≠ 𝑂))
35	29, 34	mpbid 231	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈 ∘ 𝑉) ≠ 𝑂)
36	5, 35	rexlimddv 3220	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ (𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ≠ 𝑂)) → (𝑈 ∘ 𝑉) ≠ 𝑂)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065   ↦ cmpt 5157   I cid 5488   ↾ cres 5591   ∘ ccom 5593  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  HLchlt 37364  LHypclh 37998  LTrncltrn 38115  TEndoctendo 38766

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-riotaBAD 36967

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-undef 8089  df-map 8617  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-llines 37512  df-lplanes 37513  df-lvols 37514  df-lines 37515  df-psubsp 37517  df-pmap 37518  df-padd 37810  df-lhyp 38002  df-laut 38003  df-ldil 38118  df-ltrn 38119  df-trl 38173  df-tendo 38769

This theorem is referenced by:  erngdvlem4  39005  erngdvlem4-rN  39013