Theorem tendopl2 40738

Description: Value of result of endomorphism sum operation. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendoplcbv.p	⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
tendopl2.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tendopl2	⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐸   𝑓,𝑠,𝑡,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑈(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑉(𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendopl2

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tendoplcbv.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
2		tendopl2.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3	1, 2	tendopl 40737	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (𝑈𝑃𝑉) = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔))))
4	3	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑈𝑃𝑉) = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔))))
5		fveq2 6886	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → (𝑈‘𝑔) = (𝑈‘𝐹))
6		fveq2 6886	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → (𝑉‘𝑔) = (𝑉‘𝐹))
7	5, 6	coeq12d 5855	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → ((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔)) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))
8	7	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑔 = 𝐹) → ((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔)) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))
9		simp3 1138	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ 𝑇)
10		fvex 6899	. . . 4 ⊢ (𝑈‘𝐹) ∈ V
11		fvex 6899	. . . 4 ⊢ (𝑉‘𝐹) ∈ V
12	10, 11	coex 7934	. . 3 ⊢ ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)) ∈ V
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)) ∈ V)
14	4, 8, 9, 13	fvmptd 7003	1 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3463   ↦ cmpt 5205   ∘ ccom 5669  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415  LTrncltrn 40062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418

This theorem is referenced by:  tendoplcl2  40739  tendoplco2  40740  tendopltp  40741  tendoplcom  40743  tendoplass  40744  tendodi1  40745  tendodi2  40746  tendo0pl  40752  tendoipl  40758  tendospdi2  40983