Theorem tendopl2 41269

Description: Value of result of endomorphism sum operation. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendoplcbv.p	⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
tendopl2.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tendopl2	⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐸   𝑓,𝑠,𝑡,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑈(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑉(𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendopl2

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tendoplcbv.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
2		tendopl2.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3	1, 2	tendopl 41268	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (𝑈𝑃𝑉) = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔))))
4	3	3adant3 1138	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑈𝑃𝑉) = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔))))
5		fveq2 6827	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → (𝑈‘𝑔) = (𝑈‘𝐹))
6		fveq2 6827	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → (𝑉‘𝑔) = (𝑉‘𝐹))
7	5, 6	coeq12d 5806	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → ((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔)) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))
8	7	adantl 482	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑔 = 𝐹) → ((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔)) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))
9		simp3 1144	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ 𝑇)
10		fvex 6840	. . . 4 ⊢ (𝑈‘𝐹) ∈ V
11		fvex 6840	. . . 4 ⊢ (𝑉‘𝐹) ∈ V
12	10, 11	coex 7870	. . 3 ⊢ ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)) ∈ V
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)) ∈ V)
14	4, 8, 9, 13	fvmptd 6943	1 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ↦ cmpt 5153   ∘ ccom 5622  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ∈ cmpo 7358  LTrncltrn 40593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361

This theorem is referenced by:  tendoplcl2  41270  tendoplco2  41271  tendopltp  41272  tendoplcom  41274  tendoplass  41275  tendodi1  41276  tendodi2  41277  tendo0pl  41283  tendoipl  41289  tendospdi2  41514