Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendopl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendopl2 36931
Description: Value of result of endomorphism sum operation. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoplcbv.p 𝑃 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
tendopl2.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
tendopl2 ((𝑈𝐸𝑉𝐸𝐹𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) = ((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐸   𝑓,𝑠,𝑡,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑈(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑉(𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendopl2
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tendoplcbv.p . . . 4 𝑃 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
2 tendopl2.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
31, 2tendopl 36930 . . 3 ((𝑈𝐸𝑉𝐸) → (𝑈𝑃𝑉) = (𝑔𝑇 ↦ ((𝑈𝑔) ∘ (𝑉𝑔))))
433adant3 1123 . 2 ((𝑈𝐸𝑉𝐸𝐹𝑇) → (𝑈𝑃𝑉) = (𝑔𝑇 ↦ ((𝑈𝑔) ∘ (𝑉𝑔))))
5 fveq2 6446 . . . 4 (𝑔 = 𝐹 → (𝑈𝑔) = (𝑈𝐹))
6 fveq2 6446 . . . 4 (𝑔 = 𝐹 → (𝑉𝑔) = (𝑉𝐹))
75, 6coeq12d 5532 . . 3 (𝑔 = 𝐹 → ((𝑈𝑔) ∘ (𝑉𝑔)) = ((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹)))
87adantl 475 . 2 (((𝑈𝐸𝑉𝐸𝐹𝑇) ∧ 𝑔 = 𝐹) → ((𝑈𝑔) ∘ (𝑉𝑔)) = ((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹)))
9 simp3 1129 . 2 ((𝑈𝐸𝑉𝐸𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
10 fvex 6459 . . . 4 (𝑈𝐹) ∈ V
11 fvex 6459 . . . 4 (𝑉𝐹) ∈ V
1210, 11coex 7397 . . 3 ((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹)) ∈ V
1312a1i 11 . 2 ((𝑈𝐸𝑉𝐸𝐹𝑇) → ((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹)) ∈ V)
144, 8, 9, 13fvmptd 6548 1 ((𝑈𝐸𝑉𝐸𝐹𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) = ((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  Vcvv 3398  cmpt 4965  ccom 5359  cfv 6135  (class class class)co 6922  cmpt2 6924  LTrncltrn 36255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927
This theorem is referenced by:  tendoplcl2  36932  tendoplco2  36933  tendopltp  36934  tendoplcom  36936  tendoplass  36937  tendodi1  36938  tendodi2  36939  tendo0pl  36945  tendoipl  36951  tendospdi2  37176
  Copyright terms: Public domain W3C validator