Theorem tendopl2 40778

Description: Value of result of endomorphism sum operation. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendoplcbv.p	⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
tendopl2.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tendopl2	⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐸   𝑓,𝑠,𝑡,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑈(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑉(𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendopl2

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tendoplcbv.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
2		tendopl2.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3	1, 2	tendopl 40777	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (𝑈𝑃𝑉) = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔))))
4	3	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑈𝑃𝑉) = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔))))
5		fveq2 6861	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → (𝑈‘𝑔) = (𝑈‘𝐹))
6		fveq2 6861	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → (𝑉‘𝑔) = (𝑉‘𝐹))
7	5, 6	coeq12d 5831	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → ((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔)) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))
8	7	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑔 = 𝐹) → ((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔)) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))
9		simp3 1138	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ 𝑇)
10		fvex 6874	. . . 4 ⊢ (𝑈‘𝐹) ∈ V
11		fvex 6874	. . . 4 ⊢ (𝑉‘𝐹) ∈ V
12	10, 11	coex 7909	. . 3 ⊢ ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)) ∈ V
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)) ∈ V)
14	4, 8, 9, 13	fvmptd 6978	1 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ↦ cmpt 5191   ∘ ccom 5645  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∈ cmpo 7392  LTrncltrn 40102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395

This theorem is referenced by:  tendoplcl2  40779  tendoplco2  40780  tendopltp  40781  tendoplcom  40783  tendoplass  40784  tendodi1  40785  tendodi2  40786  tendo0pl  40792  tendoipl  40798  tendospdi2  41023