Theorem tendopl2 40734

Description: Value of result of endomorphism sum operation. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendoplcbv.p	⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
tendopl2.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tendopl2	⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐸   𝑓,𝑠,𝑡,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑈(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑉(𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendopl2

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tendoplcbv.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
2		tendopl2.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3	1, 2	tendopl 40733	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (𝑈𝑃𝑉) = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔))))
4	3	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑈𝑃𝑉) = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔))))
5		fveq2 6920	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → (𝑈‘𝑔) = (𝑈‘𝐹))
6		fveq2 6920	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → (𝑉‘𝑔) = (𝑉‘𝐹))
7	5, 6	coeq12d 5889	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → ((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔)) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))
8	7	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑔 = 𝐹) → ((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔)) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))
9		simp3 1138	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ 𝑇)
10		fvex 6933	. . . 4 ⊢ (𝑈‘𝐹) ∈ V
11		fvex 6933	. . . 4 ⊢ (𝑉‘𝐹) ∈ V
12	10, 11	coex 7970	. . 3 ⊢ ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)) ∈ V
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)) ∈ V)
14	4, 8, 9, 13	fvmptd 7036	1 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ↦ cmpt 5249   ∘ ccom 5704  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∈ cmpo 7450  LTrncltrn 40058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453

This theorem is referenced by:  tendoplcl2  40735  tendoplco2  40736  tendopltp  40737  tendoplcom  40739  tendoplass  40740  tendodi1  40741  tendodi2  40742  tendo0pl  40748  tendoipl  40754  tendospdi2  40979