Theorem tendopl2 40161

Description: Value of result of endomorphism sum operation. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendoplcbv.p	⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
tendopl2.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tendopl2	⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐸   𝑓,𝑠,𝑡,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑈(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑉(𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendopl2

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tendoplcbv.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
2		tendopl2.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3	1, 2	tendopl 40160	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (𝑈𝑃𝑉) = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔))))
4	3	3adant3 1129	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑈𝑃𝑉) = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔))))
5		fveq2 6885	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → (𝑈‘𝑔) = (𝑈‘𝐹))
6		fveq2 6885	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → (𝑉‘𝑔) = (𝑉‘𝐹))
7	5, 6	coeq12d 5858	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → ((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔)) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))
8	7	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑔 = 𝐹) → ((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔)) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))
9		simp3 1135	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ 𝑇)
10		fvex 6898	. . . 4 ⊢ (𝑈‘𝐹) ∈ V
11		fvex 6898	. . . 4 ⊢ (𝑉‘𝐹) ∈ V
12	10, 11	coex 7920	. . 3 ⊢ ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)) ∈ V
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)) ∈ V)
14	4, 8, 9, 13	fvmptd 6999	1 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   ↦ cmpt 5224   ∘ ccom 5673  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  LTrncltrn 39485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410

This theorem is referenced by:  tendoplcl2  40162  tendoplco2  40163  tendopltp  40164  tendoplcom  40166  tendoplass  40167  tendodi1  40168  tendodi2  40169  tendo0pl  40175  tendoipl  40181  tendospdi2  40406