Theorem coex 7751

Description: The composition of two sets is a set. (Contributed by NM, 15-Dec-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
coex.1	⊢ 𝐴 ∈ V
coex.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
coex	⊢ (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V

Proof of Theorem coex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		coex.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		coexg 7750	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	mp2an 688	1 ⊢ (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ∘ ccom 5584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591

This theorem is referenced by:  domtr  8748  enfixsn  8821  wdomtr  9264  cfcoflem  9959  axcc3  10125  axdc4uzlem  13631  hashfacen  14094  hashfacenOLD  14095  cofu1st  17514  cofu2nd  17516  cofucl  17519  fucid  17605  sursubmefmnd  18450  injsubmefmnd  18451  smndex1mgm  18461  gsumzaddlem  19437  cnfldfun  20522  cnfldfunALT  20523  znle  20652  selvval  21238  evls1fval  21395  evls1val  21396  evl1fval  21404  evl1val  21405  xkococnlem  22718  xkococn  22719  efmndtmd  23160  pserulm  25486  imsval  28948  tocycf  31286  eulerpartgbij  32239  derangenlem  33033  subfacp1lem5  33046  poimirlem9  35713  poimirlem15  35719  poimirlem17  35721  poimirlem20  35724  mbfresfi  35750  tendopl2  38718  erngplus2  38745  erngplus2-rN  38753  dvaplusgv  38951  dvhvaddass  39038  dvhlveclem  39049  diblss  39111  diblsmopel  39112  dicvaddcl  39131  dicvscacl  39132  cdlemn7  39144  dihordlem7  39155  dihopelvalcpre  39189  xihopellsmN  39195  dihopellsm  39196  rabren3dioph  40553  fzisoeu  42729  stirlinglem14  43518  fundcmpsurinjpreimafv  44748  isomushgr  45166  isomgrtr  45179