Theorem coex 7929

Description: The composition of two sets is a set. (Contributed by NM, 15-Dec-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
coex.1	⊢ 𝐴 ∈ V
coex.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
coex	⊢ (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V

Proof of Theorem coex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		coex.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		coexg 7928	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	mp2an 705	1 ⊢ (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ∘ ccom 5667

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674

This theorem is used by:  domtr  9006  enfixsn  9077  wdomtr  9540  cfcoflem  10267  axcc3  10433  axdc4uzlem  14033  hashfacen  14505  cofu1st  17958  cofu2nd  17960  cofucl  17963  fucid  18049  sursubmefmnd  18979  injsubmefmnd  18980  smndex1mgm  18993  gsumzaddlem  20015  cnfldfun  21566  cnfldfunALT  21567  znle  21716  selvval  22301  evls1fval  22509  evls1val  22510  evl1fval  22518  evl1val  22519  xkococnlem  23847  xkococn  23848  efmndtmd  24289  pserulm  26616  imsval  31084  tocycf  33477  eulerpartgbij  34803  derangenlem  35676  subfacp1lem5  35689  poimirlem9  38313  poimirlem15  38319  poimirlem17  38321  poimirlem20  38324  mbfresfi  38350  tendopl2  41584  erngplus2  41611  erngplus2-rN  41619  dvaplusgv  41817  dvhvaddass  41904  dvhlveclem  41915  diblss  41977  diblsmopel  41978  dicvaddcl  41997  dicvscacl  41998  cdlemn7  42010  dihordlem7  42021  dihopelvalcpre  42055  xihopellsmN  42061  dihopellsm  42062  rabren3dioph  43575  fzisoeu  46052  stirlinglem14  46834  fundcmpsurinjpreimafv  48190  grimco  48687  gricushgr  48715  cycldlenngric  48726  uspgrlim  48790  grlictr  48813  fuco22natlem  50156