Theorem coex 7617

Description: The composition of two sets is a set. (Contributed by NM, 15-Dec-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
coex.1	⊢ 𝐴 ∈ V
coex.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
coex	⊢ (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V

Proof of Theorem coex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		coex.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		coexg 7616	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	mp2an 691	1 ⊢ (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ∘ ccom 5523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530

This theorem is referenced by:  domtr  8545  enfixsn  8609  wdomtr  9023  cfcoflem  9683  axcc3  9849  axdc4uzlem  13346  hashfacen  13808  cofu1st  17145  cofu2nd  17147  cofucl  17150  fucid  17233  sursubmefmnd  18053  injsubmefmnd  18054  smndex1mgm  18064  gsumzaddlem  19034  cnfldfun  20103  cnfldfunALT  20104  znle  20228  selvval  20790  evls1fval  20943  evls1val  20944  evl1fval  20952  evl1val  20953  xkococnlem  22264  xkococn  22265  efmndtmd  22706  pserulm  25017  imsval  28468  tocycf  30809  eulerpartgbij  31740  derangenlem  32531  subfacp1lem5  32544  poimirlem9  35066  poimirlem15  35072  poimirlem17  35074  poimirlem20  35077  mbfresfi  35103  tendopl2  38073  erngplus2  38100  erngplus2-rN  38108  dvaplusgv  38306  dvhvaddass  38393  dvhlveclem  38404  diblss  38466  diblsmopel  38467  dicvaddcl  38486  dicvscacl  38487  cdlemn7  38499  dihordlem7  38510  dihopelvalcpre  38544  xihopellsmN  38550  dihopellsm  38551  rabren3dioph  39756  fzisoeu  41932  stirlinglem14  42729  fundcmpsurinjpreimafv  43925  isomushgr  44344  isomgrtr  44357