Theorem coex 7906

Description: The composition of two sets is a set. (Contributed by NM, 15-Dec-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
coex.1	⊢ 𝐴 ∈ V
coex.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
coex	⊢ (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V

Proof of Theorem coex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		coex.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		coexg 7905	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	mp2an 702	1 ⊢ (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ∘ ccom 5647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654

This theorem is referenced by:  domtr  8982  enfixsn  9052  wdomtr  9517  cfcoflem  10223  axcc3  10389  axdc4uzlem  13990  hashfacen  14461  cofu1st  17907  cofu2nd  17909  cofucl  17912  fucid  17998  sursubmefmnd  18921  injsubmefmnd  18922  smndex1mgm  18935  gsumzaddlem  19952  cnfldfun  21426  cnfldfunALT  21427  znle  21576  selvval  22161  evls1fval  22370  evls1val  22371  evl1fval  22379  evl1val  22380  xkococnlem  23707  xkococn  23708  efmndtmd  24149  pserulm  26473  imsval  30845  tocycf  33258  eulerpartgbij  34630  derangenlem  35482  subfacp1lem5  35495  poimirlem9  38089  poimirlem15  38095  poimirlem17  38097  poimirlem20  38100  mbfresfi  38126  tendopl2  41362  erngplus2  41389  erngplus2-rN  41397  dvaplusgv  41595  dvhvaddass  41682  dvhlveclem  41693  diblss  41755  diblsmopel  41756  dicvaddcl  41775  dicvscacl  41776  cdlemn7  41788  dihordlem7  41799  dihopelvalcpre  41833  xihopellsmN  41839  dihopellsm  41840  rabren3dioph  43353  fzisoeu  45840  stirlinglem14  46622  fundcmpsurinjpreimafv  47975  grimco  48472  gricushgr  48500  cycldlenngric  48511  uspgrlim  48575  grlictr  48598  fuco22natlem  49927