Theorem coex 7881

Description: The composition of two sets is a set. (Contributed by NM, 15-Dec-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
coex.1	⊢ 𝐴 ∈ V
coex.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
coex	⊢ (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V

Proof of Theorem coex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		coex.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		coexg 7880	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	mp2an 693	1 ⊢ (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ∘ ccom 5635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642

This theorem is referenced by:  domtr  8954  enfixsn  9024  wdomtr  9490  cfcoflem  10194  axcc3  10360  axdc4uzlem  13945  hashfacen  14416  cofu1st  17850  cofu2nd  17852  cofucl  17855  fucid  17941  sursubmefmnd  18864  injsubmefmnd  18865  smndex1mgm  18878  gsumzaddlem  19896  cnfldfun  21366  cnfldfunALT  21367  znle  21516  selvval  22101  evls1fval  22284  evls1val  22285  evl1fval  22293  evl1val  22294  xkococnlem  23624  xkococn  23625  efmndtmd  24066  pserulm  26387  imsval  30756  tocycf  33178  eulerpartgbij  34516  derangenlem  35353  subfacp1lem5  35366  poimirlem9  37950  poimirlem15  37956  poimirlem17  37958  poimirlem20  37961  mbfresfi  37987  tendopl2  41223  erngplus2  41250  erngplus2-rN  41258  dvaplusgv  41456  dvhvaddass  41543  dvhlveclem  41554  diblss  41616  diblsmopel  41617  dicvaddcl  41636  dicvscacl  41637  cdlemn7  41649  dihordlem7  41660  dihopelvalcpre  41694  xihopellsmN  41700  dihopellsm  41701  rabren3dioph  43243  fzisoeu  45733  stirlinglem14  46515  fundcmpsurinjpreimafv  47868  grimco  48365  gricushgr  48393  cycldlenngric  48404  uspgrlim  48468  grlictr  48491  fuco22natlem  49820