Theorem tendopltp 40782

Description: Trace-preserving property of endomorphism sum operation 𝑃, based on Theorems trlco 40729. Part of remark in [Crawley] p. 118, 2nd line, "it is clear from the second part of G (our trlco 40729) that Delta is a subring of E." (In our development, we will bypass their E and go directly to their Delta, whose base set is our (TEndo‘𝐾)‘𝑊.) (Contributed by NM, 9-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendopl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendopl.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.p	⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
tendopltp.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
tendopltp.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tendopltp	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐸   𝑓,𝑠,𝑡,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑅(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑈(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐻(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑡,𝑓,𝑠)   ≤ (𝑡,𝑓,𝑠)   𝑉(𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendopltp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. 2 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		tendopltp.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		simp1l 1198	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ HL)
4	3	hllatd 39365	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp1 1137	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		tendopl.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		tendopl.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8		tendopl.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
9		tendopl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
10	6, 7, 8, 9	tendoplcl2 40780	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) ∈ 𝑇)
11		tendopltp.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
12	1, 6, 7, 11	trlcl 40166	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
13	5, 10, 12	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
14	6, 7, 8	tendocl 40769	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑈‘𝐹) ∈ 𝑇)
15	14	3adant2r 1180	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑈‘𝐹) ∈ 𝑇)
16	1, 6, 7, 11	trlcl 40166	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈‘𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
17	5, 15, 16	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
18	6, 7, 8	tendocl 40769	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝐹) ∈ 𝑇)
19	18	3adant2l 1179	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝐹) ∈ 𝑇)
20	1, 6, 7, 11	trlcl 40166	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑉‘𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑉‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
21	5, 19, 20	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑉‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
22		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
23	1, 22	latjcl 18484	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅‘(𝑉‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉‘𝐹))) ∈ (Base‘𝐾))
24	4, 17, 21, 23	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉‘𝐹))) ∈ (Base‘𝐾))
25		simp3 1139	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ 𝑇)
26	1, 6, 7, 11	trlcl 40166	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
27	5, 25, 26	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
28		simp2l 1200	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝑈 ∈ 𝐸)
29		simp2r 1201	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝑉 ∈ 𝐸)
30	9, 7	tendopl2 40779	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))
31	28, 29, 25, 30	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))
32	31	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) = (𝑅‘((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹))))
33	2, 22, 6, 7, 11	trlco 40729	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈‘𝐹) ∈ 𝑇 ∧ (𝑉‘𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹))) ≤ ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉‘𝐹))))
34	5, 15, 19, 33	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹))) ≤ ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉‘𝐹))))
35	32, 34	eqbrtrd 5165	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) ≤ ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉‘𝐹))))
36	2, 6, 7, 11, 8	tendotp 40763	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹))
37	36	3adant2r 1180	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹))
38	2, 6, 7, 11, 8	tendotp 40763	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑉‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹))
39	38	3adant2l 1179	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑉‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹))
40	1, 2, 22	latjle12 18495	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅‘(𝑉‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘(𝑉‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹)) ↔ ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉‘𝐹))) ≤ (𝑅‘𝐹)))
41	4, 17, 21, 27, 40	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (((𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘(𝑉‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹)) ↔ ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉‘𝐹))) ≤ (𝑅‘𝐹)))
42	37, 39, 41	mpbi2and 712	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉‘𝐹))) ≤ (𝑅‘𝐹))
43	1, 2, 4, 13, 24, 27, 35, 42	lattrd 18491	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225   ∘ ccom 5689  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  Basecbs 17247  lecple 17304  joincjn 18357  Latclat 18476  HLchlt 39351  LHypclh 39986  LTrncltrn 40103  trLctrl 40160  TEndoctendo 40754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-riotaBAD 38954

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-undef 8298  df-map 8868  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-llines 39500  df-lplanes 39501  df-lvols 39502  df-lines 39503  df-psubsp 39505  df-pmap 39506  df-padd 39798  df-lhyp 39990  df-laut 39991  df-ldil 40106  df-ltrn 40107  df-trl 40161  df-tendo 40757

This theorem is referenced by:  tendoplcl  40783