Theorem tendopltp 42103

Description: Trace-preserving property of endomorphism sum operation 𝑃, based on Theorems trlco 42050. Part of remark in [Crawley] p. 118, 2nd line, "it is clear from the second part of G (our trlco 42050) that Delta is a subring of E." (In our development, we will bypass their E and go directly to their Delta, whose base set is our (TEndo‘𝐾)‘𝑊.) (Contributed by NM, 9-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendopl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendopl.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.p	⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
tendopltp.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
tendopltp.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tendopltp	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐸   𝑓,𝑠,𝑡,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡, 𝑓, 𝑠)   𝑅(𝑡, 𝑓, 𝑠)   𝑈(𝑡, 𝑓, 𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑡, 𝑓, 𝑠)   𝐻(𝑡, 𝑓, 𝑠)   𝐾(𝑡, 𝑓, 𝑠)   ≤ (𝑡, 𝑓, 𝑠)   𝑉(𝑡, 𝑓, 𝑠)

Proof of Theorem tendopltp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. 2 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		tendopltp.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		simp1l 1216	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ HL)
4	3	hllatd 40687	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp1 1154	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		tendopl.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		tendopl.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8		tendopl.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
9		tendopl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
10	6, 7, 8, 9	tendoplcl2 42101	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) ∈ 𝑇)
11		tendopltp.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
12	1, 6, 7, 11	trlcl 41487	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
13	5, 10, 12	syl2anc 596	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
14	6, 7, 8	tendocl 42090	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑈‘𝐹) ∈ 𝑇)
15	14	3adant2r 1198	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑈‘𝐹) ∈ 𝑇)
16	1, 6, 7, 11	trlcl 41487	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈‘𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
17	5, 15, 16	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
18	6, 7, 8	tendocl 42090	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝐹) ∈ 𝑇)
19	18	3adant2l 1197	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝐹) ∈ 𝑇)
20	1, 6, 7, 11	trlcl 41487	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑉‘𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑉‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
21	5, 19, 20	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑉‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
22		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
23	1, 22	latjcl 18663	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅‘(𝑉‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉‘𝐹))) ∈ (Base‘𝐾))
24	4, 17, 21, 23	syl3anc 1399	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉‘𝐹))) ∈ (Base‘𝐾))
25		simp3 1156	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ 𝑇)
26	1, 6, 7, 11	trlcl 41487	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
27	5, 25, 26	syl2anc 596	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
28		simp2l 1218	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝑈 ∈ 𝐸)
29		simp2r 1219	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝑉 ∈ 𝐸)
30	9, 7	tendopl2 42100	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))
31	28, 29, 25, 30	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))
32	31	fveq2d 6920	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) = (𝑅‘((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹))))
33	2, 22, 6, 7, 11	trlco 42050	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈‘𝐹) ∈ 𝑇 ∧ (𝑉‘𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹))) ≤ ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉‘𝐹))))
34	5, 15, 19, 33	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹))) ≤ ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉‘𝐹))))
35	32, 34	eqbrtrd 5133	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) ≤ ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉‘𝐹))))
36	2, 6, 7, 11, 8	tendotp 42084	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹))
37	36	3adant2r 1198	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹))
38	2, 6, 7, 11, 8	tendotp 42084	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑉‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹))
39	38	3adant2l 1197	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑉‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹))
40	1, 2, 22	latjle12 18674	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅‘(𝑉‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘(𝑉‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹)) ↔ ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉‘𝐹))) ≤ (𝑅‘𝐹)))
41	4, 17, 21, 27, 40	syl13anc 1400	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (((𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘(𝑉‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹)) ↔ ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉‘𝐹))) ≤ (𝑅‘𝐹)))
42	37, 39, 41	mpbi2and 725	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉‘𝐹))) ≤ (𝑅‘𝐹))
43	1, 2, 4, 13, 24, 27, 35, 42	lattrd 18670	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192   ∘ ccom 5662  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ∈ cmpo 7453  Basecbs 17431  lecple 17479  joincjn 18535  Latclat 18655  HLchlt 40673  LHypclh 41307  LTrncltrn 41424  trLctrl 41481  TEndoctendo 42075

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-riotaBAD 40276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-undef 8328  df-map 8887  df-proset 18518  df-poset 18537  df-plt 18552  df-lub 18568  df-glb 18569  df-join 18570  df-meet 18571  df-p0 18647  df-p1 18648  df-lat 18656  df-clat 18723  df-oposet 40499  df-ol 40501  df-oml 40502  df-covers 40589  df-ats 40590  df-atl 40621  df-cvlat 40645  df-hlat 40674  df-llines 40821  df-lplanes 40822  df-lvols 40823  df-lines 40824  df-psubsp 40826  df-pmap 40827  df-padd 41119  df-lhyp 41311  df-laut 41312  df-ldil 41427  df-ltrn 41428  df-trl 41482  df-tendo 42078

This theorem is used by:  tendoplcl  42104