Theorem tendopltp 41040

Description: Trace-preserving property of endomorphism sum operation 𝑃, based on Theorems trlco 40987. Part of remark in [Crawley] p. 118, 2nd line, "it is clear from the second part of G (our trlco 40987) that Delta is a subring of E." (In our development, we will bypass their E and go directly to their Delta, whose base set is our (TEndo‘𝐾)‘𝑊.) (Contributed by NM, 9-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendopl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendopl.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.p	⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
tendopltp.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
tendopltp.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tendopltp	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐸   𝑓,𝑠,𝑡,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑅(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑈(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐻(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑡,𝑓,𝑠)   ≤ (𝑡,𝑓,𝑠)   𝑉(𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendopltp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. 2 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		tendopltp.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		simp1l 1198	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ HL)
4	3	hllatd 39624	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp1 1136	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		tendopl.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		tendopl.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8		tendopl.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
9		tendopl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
10	6, 7, 8, 9	tendoplcl2 41038	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) ∈ 𝑇)
11		tendopltp.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
12	1, 6, 7, 11	trlcl 40424	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
13	5, 10, 12	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
14	6, 7, 8	tendocl 41027	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑈‘𝐹) ∈ 𝑇)
15	14	3adant2r 1180	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑈‘𝐹) ∈ 𝑇)
16	1, 6, 7, 11	trlcl 40424	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈‘𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
17	5, 15, 16	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
18	6, 7, 8	tendocl 41027	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝐹) ∈ 𝑇)
19	18	3adant2l 1179	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝐹) ∈ 𝑇)
20	1, 6, 7, 11	trlcl 40424	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑉‘𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑉‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
21	5, 19, 20	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑉‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
22		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
23	1, 22	latjcl 18362	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅‘(𝑉‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉‘𝐹))) ∈ (Base‘𝐾))
24	4, 17, 21, 23	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉‘𝐹))) ∈ (Base‘𝐾))
25		simp3 1138	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ 𝑇)
26	1, 6, 7, 11	trlcl 40424	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
27	5, 25, 26	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
28		simp2l 1200	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝑈 ∈ 𝐸)
29		simp2r 1201	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝑉 ∈ 𝐸)
30	9, 7	tendopl2 41037	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))
31	28, 29, 25, 30	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))
32	31	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) = (𝑅‘((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹))))
33	2, 22, 6, 7, 11	trlco 40987	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈‘𝐹) ∈ 𝑇 ∧ (𝑉‘𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹))) ≤ ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉‘𝐹))))
34	5, 15, 19, 33	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹))) ≤ ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉‘𝐹))))
35	32, 34	eqbrtrd 5120	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) ≤ ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉‘𝐹))))
36	2, 6, 7, 11, 8	tendotp 41021	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹))
37	36	3adant2r 1180	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹))
38	2, 6, 7, 11, 8	tendotp 41021	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑉‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹))
39	38	3adant2l 1179	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑉‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹))
40	1, 2, 22	latjle12 18373	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅‘(𝑉‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘(𝑉‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹)) ↔ ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉‘𝐹))) ≤ (𝑅‘𝐹)))
41	4, 17, 21, 27, 40	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (((𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘(𝑉‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹)) ↔ ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉‘𝐹))) ≤ (𝑅‘𝐹)))
42	37, 39, 41	mpbi2and 712	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉‘𝐹))) ≤ (𝑅‘𝐹))
43	1, 2, 4, 13, 24, 27, 35, 42	lattrd 18369	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179   ∘ ccom 5628  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  Basecbs 17136  lecple 17184  joincjn 18234  Latclat 18354  HLchlt 39610  LHypclh 40244  LTrncltrn 40361  trLctrl 40418  TEndoctendo 41012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-riotaBAD 39213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-undef 8215  df-map 8765  df-proset 18217  df-poset 18236  df-plt 18251  df-lub 18267  df-glb 18268  df-join 18269  df-meet 18270  df-p0 18346  df-p1 18347  df-lat 18355  df-clat 18422  df-oposet 39436  df-ol 39438  df-oml 39439  df-covers 39526  df-ats 39527  df-atl 39558  df-cvlat 39582  df-hlat 39611  df-llines 39758  df-lplanes 39759  df-lvols 39760  df-lines 39761  df-psubsp 39763  df-pmap 39764  df-padd 40056  df-lhyp 40248  df-laut 40249  df-ldil 40364  df-ltrn 40365  df-trl 40419  df-tendo 41015

This theorem is referenced by:  tendoplcl  41041