Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendopltp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendopltp 40763
Description: Trace-preserving property of endomorphism sum operation 𝑃, based on Theorems trlco 40710. Part of remark in [Crawley] p. 118, 2nd line, "it is clear from the second part of G (our trlco 40710) that Delta is a subring of E." (In our development, we will bypass their E and go directly to their Delta, whose base set is our (TEndo‘𝐾)‘𝑊.) (Contributed by NM, 9-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendopl.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendopl.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.p 𝑃 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
tendopltp.l = (le‘𝐾)
tendopltp.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
tendopltp (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) (𝑅𝐹))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐸   𝑓,𝑠,𝑡,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑅(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑈(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐻(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑡,𝑓,𝑠)   (𝑡,𝑓,𝑠)   𝑉(𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendopltp
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . 2 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2 tendopltp.l . 2 = (le‘𝐾)
3 simp1l 1196 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐾 ∈ HL)
43hllatd 39346 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐾 ∈ Lat)
5 simp1 1135 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
6 tendopl.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 tendopl.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8 tendopl.e . . . 4 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
9 tendopl.p . . . 4 𝑃 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
106, 7, 8, 9tendoplcl2 40761 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) ∈ 𝑇)
11 tendopltp.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
121, 6, 7, 11trlcl 40147 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
135, 10, 12syl2anc 584 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
146, 7, 8tendocl 40750 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝐹𝑇) → (𝑈𝐹) ∈ 𝑇)
15143adant2r 1178 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑈𝐹) ∈ 𝑇)
161, 6, 7, 11trlcl 40147 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑈𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
175, 15, 16syl2anc 584 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑈𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
186, 7, 8tendocl 40750 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑉𝐸𝐹𝑇) → (𝑉𝐹) ∈ 𝑇)
19183adant2l 1177 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑉𝐹) ∈ 𝑇)
201, 6, 7, 11trlcl 40147 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑉𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑉𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
215, 19, 20syl2anc 584 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑉𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
22 eqid 2735 . . . 4 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
231, 22latjcl 18497 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅‘(𝑈𝐹)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅‘(𝑉𝐹)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅‘(𝑈𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉𝐹))) ∈ (Base‘𝐾))
244, 17, 21, 23syl3anc 1370 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑅‘(𝑈𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉𝐹))) ∈ (Base‘𝐾))
25 simp3 1137 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
261, 6, 7, 11trlcl 40147 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
275, 25, 26syl2anc 584 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
28 simp2l 1198 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → 𝑈𝐸)
29 simp2r 1199 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → 𝑉𝐸)
309, 7tendopl2 40760 . . . . 5 ((𝑈𝐸𝑉𝐸𝐹𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) = ((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹)))
3128, 29, 25, 30syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) = ((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹)))
3231fveq2d 6911 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) = (𝑅‘((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹))))
332, 22, 6, 7, 11trlco 40710 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐹) ∈ 𝑇 ∧ (𝑉𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹))) ((𝑅‘(𝑈𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉𝐹))))
345, 15, 19, 33syl3anc 1370 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹))) ((𝑅‘(𝑈𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉𝐹))))
3532, 34eqbrtrd 5170 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) ((𝑅‘(𝑈𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉𝐹))))
362, 6, 7, 11, 8tendotp 40744 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑈𝐹)) (𝑅𝐹))
37363adant2r 1178 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑈𝐹)) (𝑅𝐹))
382, 6, 7, 11, 8tendotp 40744 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑉𝐸𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑉𝐹)) (𝑅𝐹))
39383adant2l 1177 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑉𝐹)) (𝑅𝐹))
401, 2, 22latjle12 18508 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑅‘(𝑈𝐹)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅‘(𝑉𝐹)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑅‘(𝑈𝐹)) (𝑅𝐹) ∧ (𝑅‘(𝑉𝐹)) (𝑅𝐹)) ↔ ((𝑅‘(𝑈𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉𝐹))) (𝑅𝐹)))
414, 17, 21, 27, 40syl13anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (((𝑅‘(𝑈𝐹)) (𝑅𝐹) ∧ (𝑅‘(𝑉𝐹)) (𝑅𝐹)) ↔ ((𝑅‘(𝑈𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉𝐹))) (𝑅𝐹)))
4237, 39, 41mpbi2and 712 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑅‘(𝑈𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉𝐹))) (𝑅𝐹))
431, 2, 4, 13, 24, 27, 35, 42lattrd 18504 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) (𝑅𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ccom 5693  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  Basecbs 17245  lecple 17305  joincjn 18369  Latclat 18489  HLchlt 39332  LHypclh 39967  LTrncltrn 40084  trLctrl 40141  TEndoctendo 40735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-riotaBAD 38935
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-undef 8297  df-map 8867  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-llines 39481  df-lplanes 39482  df-lvols 39483  df-lines 39484  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-padd 39779  df-lhyp 39971  df-laut 39972  df-ldil 40087  df-ltrn 40088  df-trl 40142  df-tendo 40738
This theorem is referenced by:  tendoplcl  40764
  Copyright terms: Public domain W3C validator