Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendopltp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendopltp 38069
 Description: Trace-preserving property of endomorphism sum operation 𝑃, based on theorem trlco 38016. Part of remark in [Crawley] p. 118, 2nd line, "it is clear from the second part of G (our trlco 38016) that Delta is a subring of E." (In our development, we will bypass their E and go directly to their Delta, whose base set is our (TEndo‘𝐾)‘𝑊.) (Contributed by NM, 9-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendopl.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendopl.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.p 𝑃 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
tendopltp.l = (le‘𝐾)
tendopltp.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
tendopltp (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) (𝑅𝐹))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐸   𝑓,𝑠,𝑡,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑅(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑈(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐻(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑡,𝑓,𝑠)   (𝑡,𝑓,𝑠)   𝑉(𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendopltp
StepHypRef Expression
1 eqid 2801 . 2 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2 tendopltp.l . 2 = (le‘𝐾)
3 simp1l 1194 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐾 ∈ HL)
43hllatd 36653 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐾 ∈ Lat)
5 simp1 1133 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
6 tendopl.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 tendopl.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8 tendopl.e . . . 4 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
9 tendopl.p . . . 4 𝑃 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
106, 7, 8, 9tendoplcl2 38067 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) ∈ 𝑇)
11 tendopltp.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
121, 6, 7, 11trlcl 37453 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
135, 10, 12syl2anc 587 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
146, 7, 8tendocl 38056 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝐹𝑇) → (𝑈𝐹) ∈ 𝑇)
15143adant2r 1176 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑈𝐹) ∈ 𝑇)
161, 6, 7, 11trlcl 37453 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑈𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
175, 15, 16syl2anc 587 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑈𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
186, 7, 8tendocl 38056 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑉𝐸𝐹𝑇) → (𝑉𝐹) ∈ 𝑇)
19183adant2l 1175 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑉𝐹) ∈ 𝑇)
201, 6, 7, 11trlcl 37453 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑉𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑉𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
215, 19, 20syl2anc 587 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑉𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
22 eqid 2801 . . . 4 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
231, 22latjcl 17656 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅‘(𝑈𝐹)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅‘(𝑉𝐹)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅‘(𝑈𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉𝐹))) ∈ (Base‘𝐾))
244, 17, 21, 23syl3anc 1368 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑅‘(𝑈𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉𝐹))) ∈ (Base‘𝐾))
25 simp3 1135 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
261, 6, 7, 11trlcl 37453 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
275, 25, 26syl2anc 587 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
28 simp2l 1196 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → 𝑈𝐸)
29 simp2r 1197 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → 𝑉𝐸)
309, 7tendopl2 38066 . . . . 5 ((𝑈𝐸𝑉𝐸𝐹𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) = ((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹)))
3128, 29, 25, 30syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) = ((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹)))
3231fveq2d 6653 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) = (𝑅‘((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹))))
332, 22, 6, 7, 11trlco 38016 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐹) ∈ 𝑇 ∧ (𝑉𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹))) ((𝑅‘(𝑈𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉𝐹))))
345, 15, 19, 33syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹))) ((𝑅‘(𝑈𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉𝐹))))
3532, 34eqbrtrd 5055 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) ((𝑅‘(𝑈𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉𝐹))))
362, 6, 7, 11, 8tendotp 38050 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑈𝐹)) (𝑅𝐹))
37363adant2r 1176 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑈𝐹)) (𝑅𝐹))
382, 6, 7, 11, 8tendotp 38050 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑉𝐸𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑉𝐹)) (𝑅𝐹))
39383adant2l 1175 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑉𝐹)) (𝑅𝐹))
401, 2, 22latjle12 17667 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑅‘(𝑈𝐹)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅‘(𝑉𝐹)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑅‘(𝑈𝐹)) (𝑅𝐹) ∧ (𝑅‘(𝑉𝐹)) (𝑅𝐹)) ↔ ((𝑅‘(𝑈𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉𝐹))) (𝑅𝐹)))
414, 17, 21, 27, 40syl13anc 1369 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (((𝑅‘(𝑈𝐹)) (𝑅𝐹) ∧ (𝑅‘(𝑉𝐹)) (𝑅𝐹)) ↔ ((𝑅‘(𝑈𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉𝐹))) (𝑅𝐹)))
4237, 39, 41mpbi2and 711 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑅‘(𝑈𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉𝐹))) (𝑅𝐹))
431, 2, 4, 13, 24, 27, 35, 42lattrd 17663 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) (𝑅𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113   ∘ ccom 5527  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ∈ cmpo 7141  Basecbs 16478  lecple 16567  joincjn 17549  Latclat 17650  HLchlt 36639  LHypclh 37273  LTrncltrn 37390  trLctrl 37447  TEndoctendo 38041 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-riotaBAD 36242 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-undef 7926  df-map 8395  df-proset 17533  df-poset 17551  df-plt 17563  df-lub 17579  df-glb 17580  df-join 17581  df-meet 17582  df-p0 17644  df-p1 17645  df-lat 17651  df-clat 17713  df-oposet 36465  df-ol 36467  df-oml 36468  df-covers 36555  df-ats 36556  df-atl 36587  df-cvlat 36611  df-hlat 36640  df-llines 36787  df-lplanes 36788  df-lvols 36789  df-lines 36790  df-psubsp 36792  df-pmap 36793  df-padd 37085  df-lhyp 37277  df-laut 37278  df-ldil 37393  df-ltrn 37394  df-trl 37448  df-tendo 38044 This theorem is referenced by:  tendoplcl  38070
 Copyright terms: Public domain W3C validator