Theorem tendopltp 41587

Description: Trace-preserving property of endomorphism sum operation 𝑃, based on Theorems trlco 41534. Part of remark in [Crawley] p. 118, 2nd line, "it is clear from the second part of G (our trlco 41534) that Delta is a subring of E." (In our development, we will bypass their E and go directly to their Delta, whose base set is our (TEndo‘𝐾)‘𝑊.) (Contributed by NM, 9-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendopl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendopl.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.p	⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
tendopltp.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
tendopltp.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tendopltp	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐸   𝑓,𝑠,𝑡,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡, 𝑓, 𝑠)   𝑅(𝑡, 𝑓, 𝑠)   𝑈(𝑡, 𝑓, 𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑡, 𝑓, 𝑠)   𝐻(𝑡, 𝑓, 𝑠)   𝐾(𝑡, 𝑓, 𝑠)   ≤ (𝑡, 𝑓, 𝑠)   𝑉(𝑡, 𝑓, 𝑠)

Proof of Theorem tendopltp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. 2 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		tendopltp.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		simp1l 1216	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ HL)
4	3	hllatd 40171	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp1 1154	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		tendopl.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		tendopl.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8		tendopl.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
9		tendopl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
10	6, 7, 8, 9	tendoplcl2 41585	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) ∈ 𝑇)
11		tendopltp.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
12	1, 6, 7, 11	trlcl 40971	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
13	5, 10, 12	syl2anc 596	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
14	6, 7, 8	tendocl 41574	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑈‘𝐹) ∈ 𝑇)
15	14	3adant2r 1198	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑈‘𝐹) ∈ 𝑇)
16	1, 6, 7, 11	trlcl 40971	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈‘𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
17	5, 15, 16	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
18	6, 7, 8	tendocl 41574	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝐹) ∈ 𝑇)
19	18	3adant2l 1197	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝐹) ∈ 𝑇)
20	1, 6, 7, 11	trlcl 40971	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑉‘𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑉‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
21	5, 19, 20	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑉‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
22		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
23	1, 22	latjcl 18513	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅‘(𝑉‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉‘𝐹))) ∈ (Base‘𝐾))
24	4, 17, 21, 23	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉‘𝐹))) ∈ (Base‘𝐾))
25		simp3 1156	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ 𝑇)
26	1, 6, 7, 11	trlcl 40971	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
27	5, 25, 26	syl2anc 596	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
28		simp2l 1218	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝑈 ∈ 𝐸)
29		simp2r 1219	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝑉 ∈ 𝐸)
30	9, 7	tendopl2 41584	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))
31	28, 29, 25, 30	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))
32	31	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) = (𝑅‘((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹))))
33	2, 22, 6, 7, 11	trlco 41534	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈‘𝐹) ∈ 𝑇 ∧ (𝑉‘𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹))) ≤ ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉‘𝐹))))
34	5, 15, 19, 33	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹))) ≤ ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉‘𝐹))))
35	32, 34	eqbrtrd 5135	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) ≤ ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉‘𝐹))))
36	2, 6, 7, 11, 8	tendotp 41568	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹))
37	36	3adant2r 1198	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹))
38	2, 6, 7, 11, 8	tendotp 41568	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑉‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹))
39	38	3adant2l 1197	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑉‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹))
40	1, 2, 22	latjle12 18524	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅‘(𝑉‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘(𝑉‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹)) ↔ ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉‘𝐹))) ≤ (𝑅‘𝐹)))
41	4, 17, 21, 27, 40	syl13anc 1399	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (((𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘(𝑉‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹)) ↔ ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉‘𝐹))) ≤ (𝑅‘𝐹)))
42	37, 39, 41	mpbi2and 725	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉‘𝐹))) ≤ (𝑅‘𝐹))
43	1, 2, 4, 13, 24, 27, 35, 42	lattrd 18520	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194   ∘ ccom 5667  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418  Basecbs 17287  lecple 17335  joincjn 18385  Latclat 18505  HLchlt 40157  LHypclh 40791  LTrncltrn 40908  trLctrl 40965  TEndoctendo 41559

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-riotaBAD 39760

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-undef 8271  df-map 8828  df-proset 18368  df-poset 18387  df-plt 18402  df-lub 18418  df-glb 18419  df-join 18420  df-meet 18421  df-p0 18497  df-p1 18498  df-lat 18506  df-clat 18573  df-oposet 39983  df-ol 39985  df-oml 39986  df-covers 40073  df-ats 40074  df-atl 40105  df-cvlat 40129  df-hlat 40158  df-llines 40305  df-lplanes 40306  df-lvols 40307  df-lines 40308  df-psubsp 40310  df-pmap 40311  df-padd 40603  df-lhyp 40795  df-laut 40796  df-ldil 40911  df-ltrn 40912  df-trl 40966  df-tendo 41562

This theorem is used by:  tendoplcl  41588