Theorem tendopltp 37910

Description: Trace-preserving property of endomorphism sum operation 𝑃, based on theorem trlco 37857. Part of remark in [Crawley] p. 118, 2nd line, "it is clear from the second part of G (our trlco 37857) that Delta is a subring of E." (In our development, we will bypass their E and go directly to their Delta, whose base set is our (TEndo‘𝐾)‘𝑊.) (Contributed by NM, 9-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendopl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendopl.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.p	⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
tendopltp.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
tendopltp.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tendopltp	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐸   𝑓,𝑠,𝑡,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑅(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑈(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐻(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑡,𝑓,𝑠)   ≤ (𝑡,𝑓,𝑠)   𝑉(𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendopltp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. 2 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		tendopltp.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		simp1l 1193	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ HL)
4	3	hllatd 36494	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp1 1132	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		tendopl.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		tendopl.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8		tendopl.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
9		tendopl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
10	6, 7, 8, 9	tendoplcl2 37908	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) ∈ 𝑇)
11		tendopltp.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
12	1, 6, 7, 11	trlcl 37294	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
13	5, 10, 12	syl2anc 586	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
14	6, 7, 8	tendocl 37897	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑈‘𝐹) ∈ 𝑇)
15	14	3adant2r 1175	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑈‘𝐹) ∈ 𝑇)
16	1, 6, 7, 11	trlcl 37294	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈‘𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
17	5, 15, 16	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
18	6, 7, 8	tendocl 37897	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝐹) ∈ 𝑇)
19	18	3adant2l 1174	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝐹) ∈ 𝑇)
20	1, 6, 7, 11	trlcl 37294	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑉‘𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑉‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
21	5, 19, 20	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑉‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
22		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
23	1, 22	latjcl 17655	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅‘(𝑉‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉‘𝐹))) ∈ (Base‘𝐾))
24	4, 17, 21, 23	syl3anc 1367	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉‘𝐹))) ∈ (Base‘𝐾))
25		simp3 1134	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ 𝑇)
26	1, 6, 7, 11	trlcl 37294	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
27	5, 25, 26	syl2anc 586	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
28		simp2l 1195	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝑈 ∈ 𝐸)
29		simp2r 1196	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝑉 ∈ 𝐸)
30	9, 7	tendopl2 37907	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))
31	28, 29, 25, 30	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))
32	31	fveq2d 6668	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) = (𝑅‘((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹))))
33	2, 22, 6, 7, 11	trlco 37857	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈‘𝐹) ∈ 𝑇 ∧ (𝑉‘𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹))) ≤ ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉‘𝐹))))
34	5, 15, 19, 33	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹))) ≤ ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉‘𝐹))))
35	32, 34	eqbrtrd 5080	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) ≤ ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉‘𝐹))))
36	2, 6, 7, 11, 8	tendotp 37891	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹))
37	36	3adant2r 1175	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹))
38	2, 6, 7, 11, 8	tendotp 37891	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑉‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹))
39	38	3adant2l 1174	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑉‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹))
40	1, 2, 22	latjle12 17666	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅‘(𝑉‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘(𝑉‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹)) ↔ ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉‘𝐹))) ≤ (𝑅‘𝐹)))
41	4, 17, 21, 27, 40	syl13anc 1368	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (((𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘(𝑉‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹)) ↔ ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉‘𝐹))) ≤ (𝑅‘𝐹)))
42	37, 39, 41	mpbi2and 710	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(join‘𝐾)(𝑅‘(𝑉‘𝐹))) ≤ (𝑅‘𝐹))
43	1, 2, 4, 13, 24, 27, 35, 42	lattrd 17662	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝐹)) ≤ (𝑅‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5058   ↦ cmpt 5138   ∘ ccom 5553  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150   ∈ cmpo 7152  Basecbs 16477  lecple 16566  joincjn 17548  Latclat 17649  HLchlt 36480  LHypclh 37114  LTrncltrn 37231  trLctrl 37288  TEndoctendo 37882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-riotaBAD 36083

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-iin 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-undef 7933  df-map 8402  df-proset 17532  df-poset 17550  df-plt 17562  df-lub 17578  df-glb 17579  df-join 17580  df-meet 17581  df-p0 17643  df-p1 17644  df-lat 17650  df-clat 17712  df-oposet 36306  df-ol 36308  df-oml 36309  df-covers 36396  df-ats 36397  df-atl 36428  df-cvlat 36452  df-hlat 36481  df-llines 36628  df-lplanes 36629  df-lvols 36630  df-lines 36631  df-psubsp 36633  df-pmap 36634  df-padd 36926  df-lhyp 37118  df-laut 37119  df-ldil 37234  df-ltrn 37235  df-trl 37289  df-tendo 37885

This theorem is referenced by:  tendoplcl  37911