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Theorem tendopltp 39955
Description: Trace-preserving property of endomorphism sum operation 𝑃, based on Theorems trlco 39902. Part of remark in [Crawley] p. 118, 2nd line, "it is clear from the second part of G (our trlco 39902) that Delta is a subring of E." (In our development, we will bypass their E and go directly to their Delta, whose base set is our (TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š.) (Contributed by NM, 9-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendopl.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendopl.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendopl.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendopl.p 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))
tendopltp.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
tendopltp.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
tendopltp (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜πΉ)) ≀ (π‘…β€˜πΉ))
Distinct variable groups:   𝑑,𝑠,𝐸   𝑓,𝑠,𝑑,𝑇   𝑓,π‘Š,𝑠,𝑑
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑑,𝑓,𝑠)   𝑅(𝑑,𝑓,𝑠)   π‘ˆ(𝑑,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑑,𝑓,𝑠)   𝐻(𝑑,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑑,𝑓,𝑠)   ≀ (𝑑,𝑓,𝑠)   𝑉(𝑑,𝑓,𝑠)
Proof of Theorem tendopltp
StepHypRef Expression
1 eqid 2731 . 2 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2 tendopltp.l . 2 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 simp1l 1196 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝐾 ∈ HL)
43hllatd 38538 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5 simp1 1135 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
6 tendopl.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
7 tendopl.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 tendopl.e . . . 4 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 tendopl.p . . . 4 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))
106, 7, 8, 9tendoplcl2 39953 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜πΉ) ∈ 𝑇)
11 tendopltp.r . . . 4 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
121, 6, 7, 11trlcl 39339 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜πΉ) ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
135, 10, 12syl2anc 583 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
146, 7, 8tendocl 39942 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ˆβ€˜πΉ) ∈ 𝑇)
15143adant2r 1178 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ˆβ€˜πΉ) ∈ 𝑇)
161, 6, 7, 11trlcl 39339 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
175, 15, 16syl2anc 583 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
186, 7, 8tendocl 39942 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‰β€˜πΉ) ∈ 𝑇)
19183adant2l 1177 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‰β€˜πΉ) ∈ 𝑇)
201, 6, 7, 11trlcl 39339 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘‰β€˜πΉ) ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(π‘‰β€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
215, 19, 20syl2anc 583 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(π‘‰β€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
22 eqid 2731 . . . 4 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
231, 22latjcl 18397 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜(π‘‰β€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(π‘‰β€˜πΉ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
244, 17, 21, 23syl3anc 1370 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(π‘‰β€˜πΉ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
25 simp3 1137 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
261, 6, 7, 11trlcl 39339 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
275, 25, 26syl2anc 583 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
28 simp2l 1198 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
29 simp2r 1199 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝑉 ∈ 𝐸)
309, 7tendopl2 39952 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜πΉ) = ((π‘ˆβ€˜πΉ) ∘ (π‘‰β€˜πΉ)))
3128, 29, 25, 30syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜πΉ) = ((π‘ˆβ€˜πΉ) ∘ (π‘‰β€˜πΉ)))
3231fveq2d 6896 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜πΉ)) = (π‘…β€˜((π‘ˆβ€˜πΉ) ∘ (π‘‰β€˜πΉ))))
332, 22, 6, 7, 11trlco 39902 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) ∈ 𝑇 ∧ (π‘‰β€˜πΉ) ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜((π‘ˆβ€˜πΉ) ∘ (π‘‰β€˜πΉ))) ≀ ((π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(π‘‰β€˜πΉ))))
345, 15, 19, 33syl3anc 1370 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜((π‘ˆβ€˜πΉ) ∘ (π‘‰β€˜πΉ))) ≀ ((π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(π‘‰β€˜πΉ))))
3532, 34eqbrtrd 5171 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜πΉ)) ≀ ((π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(π‘‰β€˜πΉ))))
362, 6, 7, 11, 8tendotp 39936 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ)) ≀ (π‘…β€˜πΉ))
37363adant2r 1178 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ)) ≀ (π‘…β€˜πΉ))
382, 6, 7, 11, 8tendotp 39936 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(π‘‰β€˜πΉ)) ≀ (π‘…β€˜πΉ))
39383adant2l 1177 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(π‘‰β€˜πΉ)) ≀ (π‘…β€˜πΉ))
401, 2, 22latjle12 18408 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜(π‘‰β€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (((π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ)) ≀ (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜(π‘‰β€˜πΉ)) ≀ (π‘…β€˜πΉ)) ↔ ((π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(π‘‰β€˜πΉ))) ≀ (π‘…β€˜πΉ)))
414, 17, 21, 27, 40syl13anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (((π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ)) ≀ (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜(π‘‰β€˜πΉ)) ≀ (π‘…β€˜πΉ)) ↔ ((π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(π‘‰β€˜πΉ))) ≀ (π‘…β€˜πΉ)))
4237, 39, 41mpbi2and 709 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(π‘‰β€˜πΉ))) ≀ (π‘…β€˜πΉ))
431, 2, 4, 13, 24, 27, 35, 42lattrd 18404 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜πΉ)) ≀ (π‘…β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   ∘ ccom 5681  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  Basecbs 17149  lecple 17209  joincjn 18269  Latclat 18389  HLchlt 38524  LHypclh 39159  LTrncltrn 39276  trLctrl 39333  TEndoctendo 39927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-riotaBAD 38127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-undef 8261  df-map 8825  df-proset 18253  df-poset 18271  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-p1 18384  df-lat 18390  df-clat 18457  df-oposet 38350  df-ol 38352  df-oml 38353  df-covers 38440  df-ats 38441  df-atl 38472  df-cvlat 38496  df-hlat 38525  df-llines 38673  df-lplanes 38674  df-lvols 38675  df-lines 38676  df-psubsp 38678  df-pmap 38679  df-padd 38971  df-lhyp 39163  df-laut 39164  df-ldil 39279  df-ltrn 39280  df-trl 39334  df-tendo 39930
This theorem is referenced by:  tendoplcl  39956
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