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Theorem tendopltp 39737
Description: Trace-preserving property of endomorphism sum operation 𝑃, based on Theorems trlco 39684. Part of remark in [Crawley] p. 118, 2nd line, "it is clear from the second part of G (our trlco 39684) that Delta is a subring of E." (In our development, we will bypass their E and go directly to their Delta, whose base set is our (TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š.) (Contributed by NM, 9-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendopl.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendopl.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendopl.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendopl.p 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))
tendopltp.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
tendopltp.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
tendopltp (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜πΉ)) ≀ (π‘…β€˜πΉ))
Distinct variable groups:   𝑑,𝑠,𝐸   𝑓,𝑠,𝑑,𝑇   𝑓,π‘Š,𝑠,𝑑
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑑,𝑓,𝑠)   𝑅(𝑑,𝑓,𝑠)   π‘ˆ(𝑑,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑑,𝑓,𝑠)   𝐻(𝑑,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑑,𝑓,𝑠)   ≀ (𝑑,𝑓,𝑠)   𝑉(𝑑,𝑓,𝑠)
Proof of Theorem tendopltp
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . 2 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2 tendopltp.l . 2 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 simp1l 1197 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝐾 ∈ HL)
43hllatd 38320 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5 simp1 1136 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
6 tendopl.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
7 tendopl.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 tendopl.e . . . 4 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 tendopl.p . . . 4 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))
106, 7, 8, 9tendoplcl2 39735 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜πΉ) ∈ 𝑇)
11 tendopltp.r . . . 4 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
121, 6, 7, 11trlcl 39121 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜πΉ) ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
135, 10, 12syl2anc 584 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
146, 7, 8tendocl 39724 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ˆβ€˜πΉ) ∈ 𝑇)
15143adant2r 1179 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ˆβ€˜πΉ) ∈ 𝑇)
161, 6, 7, 11trlcl 39121 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
175, 15, 16syl2anc 584 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
186, 7, 8tendocl 39724 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‰β€˜πΉ) ∈ 𝑇)
19183adant2l 1178 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‰β€˜πΉ) ∈ 𝑇)
201, 6, 7, 11trlcl 39121 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘‰β€˜πΉ) ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(π‘‰β€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
215, 19, 20syl2anc 584 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(π‘‰β€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
22 eqid 2732 . . . 4 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
231, 22latjcl 18394 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜(π‘‰β€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(π‘‰β€˜πΉ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
244, 17, 21, 23syl3anc 1371 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(π‘‰β€˜πΉ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
25 simp3 1138 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
261, 6, 7, 11trlcl 39121 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
275, 25, 26syl2anc 584 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
28 simp2l 1199 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
29 simp2r 1200 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝑉 ∈ 𝐸)
309, 7tendopl2 39734 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜πΉ) = ((π‘ˆβ€˜πΉ) ∘ (π‘‰β€˜πΉ)))
3128, 29, 25, 30syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜πΉ) = ((π‘ˆβ€˜πΉ) ∘ (π‘‰β€˜πΉ)))
3231fveq2d 6895 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜πΉ)) = (π‘…β€˜((π‘ˆβ€˜πΉ) ∘ (π‘‰β€˜πΉ))))
332, 22, 6, 7, 11trlco 39684 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) ∈ 𝑇 ∧ (π‘‰β€˜πΉ) ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜((π‘ˆβ€˜πΉ) ∘ (π‘‰β€˜πΉ))) ≀ ((π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(π‘‰β€˜πΉ))))
345, 15, 19, 33syl3anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜((π‘ˆβ€˜πΉ) ∘ (π‘‰β€˜πΉ))) ≀ ((π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(π‘‰β€˜πΉ))))
3532, 34eqbrtrd 5170 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜πΉ)) ≀ ((π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(π‘‰β€˜πΉ))))
362, 6, 7, 11, 8tendotp 39718 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ)) ≀ (π‘…β€˜πΉ))
37363adant2r 1179 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ)) ≀ (π‘…β€˜πΉ))
382, 6, 7, 11, 8tendotp 39718 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(π‘‰β€˜πΉ)) ≀ (π‘…β€˜πΉ))
39383adant2l 1178 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(π‘‰β€˜πΉ)) ≀ (π‘…β€˜πΉ))
401, 2, 22latjle12 18405 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜(π‘‰β€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (((π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ)) ≀ (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜(π‘‰β€˜πΉ)) ≀ (π‘…β€˜πΉ)) ↔ ((π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(π‘‰β€˜πΉ))) ≀ (π‘…β€˜πΉ)))
414, 17, 21, 27, 40syl13anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (((π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ)) ≀ (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜(π‘‰β€˜πΉ)) ≀ (π‘…β€˜πΉ)) ↔ ((π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(π‘‰β€˜πΉ))) ≀ (π‘…β€˜πΉ)))
4237, 39, 41mpbi2and 710 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(π‘‰β€˜πΉ))) ≀ (π‘…β€˜πΉ))
431, 2, 4, 13, 24, 27, 35, 42lattrd 18401 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜πΉ)) ≀ (π‘…β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   ∘ ccom 5680  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  Basecbs 17146  lecple 17206  joincjn 18266  Latclat 18386  HLchlt 38306  LHypclh 38941  LTrncltrn 39058  trLctrl 39115  TEndoctendo 39709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-riotaBAD 37909
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-undef 8260  df-map 8824  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18387  df-clat 18454  df-oposet 38132  df-ol 38134  df-oml 38135  df-covers 38222  df-ats 38223  df-atl 38254  df-cvlat 38278  df-hlat 38307  df-llines 38455  df-lplanes 38456  df-lvols 38457  df-lines 38458  df-psubsp 38460  df-pmap 38461  df-padd 38753  df-lhyp 38945  df-laut 38946  df-ldil 39061  df-ltrn 39062  df-trl 39116  df-tendo 39712
This theorem is referenced by:  tendoplcl  39738
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