Theorem tglineineq 28720

Description: Two distinct lines intersect in at most one point, variation. Theorem 6.21 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineintmo.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglineintmo.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
tglineintmo.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
tglineintmo.c	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
tglineineq.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
tglineineq.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
tglineineq	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem tglineineq

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineineq.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
2		tglineineq.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
3		tglineintmo.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		tglineintmo.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		tglineintmo.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		tglineintmo.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		tglineintmo.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
8		tglineintmo.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
9		tglineintmo.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	tglineintmo 28719	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
11		elin 3918	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
12	1, 11	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
13		elin 3918	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
14	2, 13	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
15		eleq1 2825	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑋 ∈ 𝐴))
16		eleq1 2825	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ 𝐵))
17	15, 16	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)))
18		eleq1 2825	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑌 ∈ 𝐴))
19		eleq1 2825	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑌 ∈ 𝐵))
20	18, 19	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)))
21	17, 20	moi 3677	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))) → 𝑋 = 𝑌)
22	1, 2, 10, 12, 14, 21	syl212anc 1383	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃*wmo 2538   ≠ wne 2933   ∩ cin 3901  ran crn 5626  ‘cfv 6493  Basecbs 17141  TarskiGcstrkg 28504  Itvcitv 28510  LineGclng 28511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-oadd 8404  df-er 8638  df-pm 8771  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-dju 9818  df-card 9856  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-n0 12407  df-xnn0 12480  df-z 12494  df-uz 12757  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-hash 14259  df-word 14442  df-concat 14499  df-s1 14525  df-s2 14776  df-s3 14777  df-trkgc 28525  df-trkgb 28526  df-trkgcb 28527  df-trkg 28530  df-cgrg 28588

This theorem is referenced by:  isperp2  28792  footne  28800  lnopp2hpgb  28840  colopp  28846  lmieu  28861