MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tglineineq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tglineineq 28567
Description: Two distinct lines intersect in at most one point, variation. Theorem 6.21 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineintmo.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglineintmo.a (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
tglineintmo.b (𝜑𝐵 ∈ ran 𝐿)
tglineintmo.c (𝜑𝐴𝐵)
tglineineq.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐴𝐵))
tglineineq.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐴𝐵))
Assertion
Ref Expression
tglineineq (𝜑𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem tglineineq
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tglineineq.x . 2 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴𝐵))
2 tglineineq.y . 2 (𝜑𝑌 ∈ (𝐴𝐵))
3 tglineintmo.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 tglineintmo.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 tglineintmo.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6 tglineintmo.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
7 tglineintmo.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
8 tglineintmo.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ran 𝐿)
9 tglineintmo.c . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
103, 4, 5, 6, 7, 8, 9tglineintmo 28566 . 2 (𝜑 → ∃*𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐵))
11 elin 3962 . . 3 (𝑋 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑋𝐴𝑋𝐵))
121, 11sylib 217 . 2 (𝜑 → (𝑋𝐴𝑋𝐵))
13 elin 3962 . . 3 (𝑌 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑌𝐴𝑌𝐵))
142, 13sylib 217 . 2 (𝜑 → (𝑌𝐴𝑌𝐵))
15 eleq1 2814 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐴𝑋𝐴))
16 eleq1 2814 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐵𝑋𝐵))
1715, 16anbi12d 630 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ (𝑋𝐴𝑋𝐵)))
18 eleq1 2814 . . . 4 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥𝐴𝑌𝐴))
19 eleq1 2814 . . . 4 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥𝐵𝑌𝐵))
2018, 19anbi12d 630 . . 3 (𝑥 = 𝑌 → ((𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ (𝑌𝐴𝑌𝐵)))
2117, 20moi 3711 . 2 (((𝑋 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∃*𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ ((𝑋𝐴𝑋𝐵) ∧ (𝑌𝐴𝑌𝐵))) → 𝑋 = 𝑌)
221, 2, 10, 12, 14, 21syl212anc 1377 1 (𝜑𝑋 = 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  ∃*wmo 2527  wne 2930  cin 3945  ran crn 5675  cfv 6546  Basecbs 17208  TarskiGcstrkg 28351  Itvcitv 28357  LineGclng 28358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-oadd 8492  df-er 8726  df-pm 8850  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-dju 9937  df-card 9975  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12519  df-xnn0 12591  df-z 12605  df-uz 12869  df-fz 13533  df-fzo 13676  df-hash 14343  df-word 14518  df-concat 14574  df-s1 14599  df-s2 14852  df-s3 14853  df-trkgc 28372  df-trkgb 28373  df-trkgcb 28374  df-trkg 28377  df-cgrg 28435
This theorem is referenced by:  isperp2  28639  footne  28647  lnopp2hpgb  28687  colopp  28693  lmieu  28708
  Copyright terms: Public domain W3C validator