Theorem tglineineq 28988

Description: Two distinct lines intersect in at most one point, variation. Theorem 6.21 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineintmo.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglineintmo.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
tglineintmo.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
tglineintmo.c	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
tglineineq.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
tglineineq.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
tglineineq	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem tglineineq

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineineq.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
2		tglineineq.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
3		tglineintmo.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		tglineintmo.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		tglineintmo.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		tglineintmo.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		tglineintmo.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
8		tglineintmo.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
9		tglineintmo.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	tglineintmo 28987	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
11		elin 3918	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
12	1, 11	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
13		elin 3918	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
14	2, 13	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
15		eleq1 2850	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑋 ∈ 𝐴))
16		eleq1 2850	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ 𝐵))
17	15, 16	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)))
18		eleq1 2850	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑌 ∈ 𝐴))
19		eleq1 2850	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑌 ∈ 𝐵))
20	18, 19	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)))
21	17, 20	moi 3679	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))) → 𝑋 = 𝑌)
22	1, 2, 10, 12, 14, 21	syl212anc 1407	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃*wmo 2564   ≠ wne 2957   ∩ cin 3901  ran crn 5660  ‘cfv 6537  Basecbs 17305  TarskiGcstrkg 28766  Itvcitv 28772  LineGclng 28773

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-er 8699  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-hash 14397  df-word 14581  df-concat 14638  df-s1 14665  df-s2 14921  df-s3 14922  df-trkgc 28787  df-trkgb 28788  df-trkgcb 28789  df-trkg 28792  df-cgrg 28851

This theorem is used by:  tglineinsn  28989  tglnpt4  29000  isperp2  29067  footne  29075  lnopp2hpgb  29118  colopp  29124  plngrotlem1  29142  plngrotlem2  29143  lnssplng  29147  lmieu  29166  tgaaddcpbllem1  29226  tgaaddcpbl  29229  prlngsymquadlem  29306