MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tglineineq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tglineineq 25894
Description: Two distinct lines intersect in at most one point, variation. Theorem 6.21 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineintmo.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglineintmo.a (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
tglineintmo.b (𝜑𝐵 ∈ ran 𝐿)
tglineintmo.c (𝜑𝐴𝐵)
tglineineq.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐴𝐵))
tglineineq.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐴𝐵))
Assertion
Ref Expression
tglineineq (𝜑𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem tglineineq
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tglineineq.x . 2 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴𝐵))
2 tglineineq.y . 2 (𝜑𝑌 ∈ (𝐴𝐵))
3 tglineintmo.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 tglineintmo.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 tglineintmo.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6 tglineintmo.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
7 tglineintmo.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
8 tglineintmo.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ran 𝐿)
9 tglineintmo.c . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
103, 4, 5, 6, 7, 8, 9tglineintmo 25893 . 2 (𝜑 → ∃*𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐵))
11 elin 3994 . . 3 (𝑋 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑋𝐴𝑋𝐵))
121, 11sylib 210 . 2 (𝜑 → (𝑋𝐴𝑋𝐵))
13 elin 3994 . . 3 (𝑌 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑌𝐴𝑌𝐵))
142, 13sylib 210 . 2 (𝜑 → (𝑌𝐴𝑌𝐵))
15 eleq1 2866 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐴𝑋𝐴))
16 eleq1 2866 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐵𝑋𝐵))
1715, 16anbi12d 625 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ (𝑋𝐴𝑋𝐵)))
18 eleq1 2866 . . . 4 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥𝐴𝑌𝐴))
19 eleq1 2866 . . . 4 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥𝐵𝑌𝐵))
2018, 19anbi12d 625 . . 3 (𝑥 = 𝑌 → ((𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ (𝑌𝐴𝑌𝐵)))
2117, 20moi 3585 . 2 (((𝑋 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∃*𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ ((𝑋𝐴𝑋𝐵) ∧ (𝑌𝐴𝑌𝐵))) → 𝑋 = 𝑌)
221, 2, 10, 12, 14, 21syl212anc 1500 1 (𝜑𝑋 = 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  ∃*wmo 2589  wne 2971  cin 3768  ran crn 5313  cfv 6101  Basecbs 16184  TarskiGcstrkg 25681  Itvcitv 25687  LineGclng 25688
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-card 9051  df-cda 9278  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11581  df-xnn0 11653  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-hash 13371  df-word 13535  df-concat 13591  df-s1 13616  df-s2 13933  df-s3 13934  df-trkgc 25699  df-trkgb 25700  df-trkgcb 25701  df-trkg 25704  df-cgrg 25762
This theorem is referenced by:  isperp2  25966  footne  25971  lnopp2hpgb  26011  colopp  26017  lmieu  26032
  Copyright terms: Public domain W3C validator