Theorem tglineineq 28778

Description: Two distinct lines intersect in at most one point, variation. Theorem 6.21 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineintmo.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglineintmo.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
tglineintmo.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
tglineintmo.c	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
tglineineq.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
tglineineq.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
tglineineq	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem tglineineq

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineineq.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
2		tglineineq.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
3		tglineintmo.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		tglineintmo.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		tglineintmo.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		tglineintmo.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		tglineintmo.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
8		tglineintmo.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
9		tglineintmo.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	tglineintmo 28777	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
11		elin 3911	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
12	1, 11	sylib 220	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
13		elin 3911	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
14	2, 13	sylib 220	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
15		eleq1 2840	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑋 ∈ 𝐴))
16		eleq1 2840	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ 𝐵))
17	15, 16	anbi12d 640	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)))
18		eleq1 2840	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑌 ∈ 𝐴))
19		eleq1 2840	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑌 ∈ 𝐵))
20	18, 19	anbi12d 640	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)))
21	17, 20	moi 3671	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))) → 𝑋 = 𝑌)
22	1, 2, 10, 12, 14, 21	syl212anc 1391	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  ∃*wmo 2554   ≠ wne 2947   ∩ cin 3894  ran crn 5637  ‘cfv 6506  Basecbs 17217  TarskiGcstrkg 28562  Itvcitv 28568  LineGclng 28569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-oadd 8425  df-er 8662  df-pm 8795  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-n0 12468  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12826  df-fz 13499  df-fzo 13646  df-hash 14330  df-word 14513  df-concat 14570  df-s1 14596  df-s2 14847  df-s3 14848  df-trkgc 28583  df-trkgb 28584  df-trkgcb 28585  df-trkg 28588  df-cgrg 28646

This theorem is referenced by:  isperp2  28850  footne  28858  lnopp2hpgb  28898  colopp  28904  lmieu  28919