Theorem tglineineq 28699

Description: Two distinct lines intersect in at most one point, variation. Theorem 6.21 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineintmo.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglineintmo.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
tglineintmo.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
tglineintmo.c	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
tglineineq.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
tglineineq.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
tglineineq	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem tglineineq

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineineq.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
2		tglineineq.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
3		tglineintmo.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		tglineintmo.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		tglineintmo.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		tglineintmo.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		tglineintmo.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
8		tglineintmo.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
9		tglineintmo.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	tglineintmo 28698	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
11		elin 3906	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
12	1, 11	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
13		elin 3906	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
14	2, 13	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
15		eleq1 2825	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑋 ∈ 𝐴))
16		eleq1 2825	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ 𝐵))
17	15, 16	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)))
18		eleq1 2825	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑌 ∈ 𝐴))
19		eleq1 2825	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑌 ∈ 𝐵))
20	18, 19	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)))
21	17, 20	moi 3665	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))) → 𝑋 = 𝑌)
22	1, 2, 10, 12, 14, 21	syl212anc 1383	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃*wmo 2538   ≠ wne 2933   ∩ cin 3889  ran crn 5623  ‘cfv 6490  Basecbs 17137  TarskiGcstrkg 28483  Itvcitv 28489  LineGclng 28490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-oadd 8400  df-er 8634  df-pm 8767  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-dju 9814  df-card 9852  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-uz 12753  df-fz 13425  df-fzo 13572  df-hash 14255  df-word 14438  df-concat 14495  df-s1 14521  df-s2 14772  df-s3 14773  df-trkgc 28504  df-trkgb 28505  df-trkgcb 28506  df-trkg 28509  df-cgrg 28567

This theorem is referenced by:  isperp2  28771  footne  28779  lnopp2hpgb  28819  colopp  28825  lmieu  28840