Theorem tglineineq 26908

Description: Two distinct lines intersect in at most one point, variation. Theorem 6.21 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineintmo.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglineintmo.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
tglineintmo.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
tglineintmo.c	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
tglineineq.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
tglineineq.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
tglineineq	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem tglineineq

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineineq.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
2		tglineineq.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
3		tglineintmo.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		tglineintmo.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		tglineintmo.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		tglineintmo.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		tglineintmo.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
8		tglineintmo.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
9		tglineintmo.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	tglineintmo 26907	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
11		elin 3899	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
12	1, 11	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
13		elin 3899	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
14	2, 13	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
15		eleq1 2826	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑋 ∈ 𝐴))
16		eleq1 2826	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ 𝐵))
17	15, 16	anbi12d 630	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)))
18		eleq1 2826	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑌 ∈ 𝐴))
19		eleq1 2826	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑌 ∈ 𝐵))
20	18, 19	anbi12d 630	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)))
21	17, 20	moi 3648	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))) → 𝑋 = 𝑌)
22	1, 2, 10, 12, 14, 21	syl212anc 1378	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃*wmo 2538   ≠ wne 2942   ∩ cin 3882  ran crn 5581  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  TarskiGcstrkg 26693  Itvcitv 26699  LineGclng 26700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-er 8456  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-concat 14202  df-s1 14229  df-s2 14489  df-s3 14490  df-trkgc 26713  df-trkgb 26714  df-trkgcb 26715  df-trkg 26718  df-cgrg 26776

This theorem is referenced by:  isperp2  26980  footne  26988  lnopp2hpgb  27028  colopp  27034  lmieu  27049