Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tglineineq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tglineineq 26435
 Description: Two distinct lines intersect in at most one point, variation. Theorem 6.21 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineintmo.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglineintmo.a (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
tglineintmo.b (𝜑𝐵 ∈ ran 𝐿)
tglineintmo.c (𝜑𝐴𝐵)
tglineineq.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐴𝐵))
tglineineq.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐴𝐵))
Assertion
Ref Expression
tglineineq (𝜑𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem tglineineq
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tglineineq.x . 2 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴𝐵))
2 tglineineq.y . 2 (𝜑𝑌 ∈ (𝐴𝐵))
3 tglineintmo.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 tglineintmo.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 tglineintmo.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6 tglineintmo.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
7 tglineintmo.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
8 tglineintmo.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ran 𝐿)
9 tglineintmo.c . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
103, 4, 5, 6, 7, 8, 9tglineintmo 26434 . 2 (𝜑 → ∃*𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐵))
11 elin 3924 . . 3 (𝑋 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑋𝐴𝑋𝐵))
121, 11sylib 221 . 2 (𝜑 → (𝑋𝐴𝑋𝐵))
13 elin 3924 . . 3 (𝑌 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑌𝐴𝑌𝐵))
142, 13sylib 221 . 2 (𝜑 → (𝑌𝐴𝑌𝐵))
15 eleq1 2901 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐴𝑋𝐴))
16 eleq1 2901 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐵𝑋𝐵))
1715, 16anbi12d 633 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ (𝑋𝐴𝑋𝐵)))
18 eleq1 2901 . . . 4 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥𝐴𝑌𝐴))
19 eleq1 2901 . . . 4 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥𝐵𝑌𝐵))
2018, 19anbi12d 633 . . 3 (𝑥 = 𝑌 → ((𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ (𝑌𝐴𝑌𝐵)))
2117, 20moi 3684 . 2 (((𝑋 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∃*𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ ((𝑋𝐴𝑋𝐵) ∧ (𝑌𝐴𝑌𝐵))) → 𝑋 = 𝑌)
221, 2, 10, 12, 14, 21syl212anc 1377 1 (𝜑𝑋 = 𝑌)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  ∃*wmo 2620   ≠ wne 3011   ∩ cin 3907  ran crn 5533  ‘cfv 6334  Basecbs 16474  TarskiGcstrkg 26222  Itvcitv 26228  LineGclng 26229 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-hash 13687  df-word 13858  df-concat 13914  df-s1 13941  df-s2 14201  df-s3 14202  df-trkgc 26240  df-trkgb 26241  df-trkgcb 26242  df-trkg 26245  df-cgrg 26303 This theorem is referenced by:  isperp2  26507  footne  26515  lnopp2hpgb  26555  colopp  26561  lmieu  26576
 Copyright terms: Public domain W3C validator