MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tglineineq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tglineineq 27002
Description: Two distinct lines intersect in at most one point, variation. Theorem 6.21 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineintmo.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglineintmo.a (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
tglineintmo.b (𝜑𝐵 ∈ ran 𝐿)
tglineintmo.c (𝜑𝐴𝐵)
tglineineq.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐴𝐵))
tglineineq.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐴𝐵))
Assertion
Ref Expression
tglineineq (𝜑𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem tglineineq
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tglineineq.x . 2 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴𝐵))
2 tglineineq.y . 2 (𝜑𝑌 ∈ (𝐴𝐵))
3 tglineintmo.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 tglineintmo.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 tglineintmo.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6 tglineintmo.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
7 tglineintmo.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
8 tglineintmo.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ran 𝐿)
9 tglineintmo.c . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
103, 4, 5, 6, 7, 8, 9tglineintmo 27001 . 2 (𝜑 → ∃*𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐵))
11 elin 3904 . . 3 (𝑋 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑋𝐴𝑋𝐵))
121, 11sylib 217 . 2 (𝜑 → (𝑋𝐴𝑋𝐵))
13 elin 3904 . . 3 (𝑌 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑌𝐴𝑌𝐵))
142, 13sylib 217 . 2 (𝜑 → (𝑌𝐴𝑌𝐵))
15 eleq1 2826 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐴𝑋𝐴))
16 eleq1 2826 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐵𝑋𝐵))
1715, 16anbi12d 631 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ (𝑋𝐴𝑋𝐵)))
18 eleq1 2826 . . . 4 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥𝐴𝑌𝐴))
19 eleq1 2826 . . . 4 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥𝐵𝑌𝐵))
2018, 19anbi12d 631 . . 3 (𝑥 = 𝑌 → ((𝑥𝐴𝑥𝐵) ↔ (𝑌𝐴𝑌𝐵)))
2117, 20moi 3654 . 2 (((𝑋 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∃*𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ ((𝑋𝐴𝑋𝐵) ∧ (𝑌𝐴𝑌𝐵))) → 𝑋 = 𝑌)
221, 2, 10, 12, 14, 21syl212anc 1379 1 (𝜑𝑋 = 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  ∃*wmo 2538  wne 2943  cin 3887  ran crn 5592  cfv 6435  Basecbs 16910  TarskiGcstrkg 26786  Itvcitv 26792  LineGclng 26793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5211  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pow 5290  ax-pr 5354  ax-un 7588  ax-cnex 10925  ax-resscn 10926  ax-1cn 10927  ax-icn 10928  ax-addcl 10929  ax-addrcl 10930  ax-mulcl 10931  ax-mulrcl 10932  ax-mulcom 10933  ax-addass 10934  ax-mulass 10935  ax-distr 10936  ax-i2m1 10937  ax-1ne0 10938  ax-1rid 10939  ax-rnegex 10940  ax-rrecex 10941  ax-cnre 10942  ax-pre-lttri 10943  ax-pre-lttrn 10944  ax-pre-ltadd 10945  ax-pre-mulgt0 10946
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4842  df-int 4882  df-iun 4928  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-tr 5194  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6204  df-ord 6271  df-on 6272  df-lim 6273  df-suc 6274  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-riota 7234  df-ov 7280  df-oprab 7281  df-mpo 7282  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8095  df-wrecs 8126  df-recs 8200  df-rdg 8239  df-1o 8295  df-oadd 8299  df-er 8496  df-pm 8616  df-en 8732  df-dom 8733  df-sdom 8734  df-fin 8735  df-dju 9657  df-card 9695  df-pnf 11009  df-mnf 11010  df-xr 11011  df-ltxr 11012  df-le 11013  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-n0 12232  df-xnn0 12304  df-z 12318  df-uz 12581  df-fz 13238  df-fzo 13381  df-hash 14043  df-word 14216  df-concat 14272  df-s1 14299  df-s2 14559  df-s3 14560  df-trkgc 26807  df-trkgb 26808  df-trkgcb 26809  df-trkg 26812  df-cgrg 26870
This theorem is referenced by:  isperp2  27074  footne  27082  lnopp2hpgb  27122  colopp  27128  lmieu  27143
  Copyright terms: Public domain W3C validator