Theorem resttop 23317

Description: A subspace topology is a topology. Definition of subspace topology in [Munkres] p. 89. 𝐴 is normally a subset of the base set of 𝐽. (Contributed by FL, 15-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
resttop	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Top)

Proof of Theorem resttop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgrest 23316	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (topGen‘(𝐽 ↾t 𝐴)) = ((topGen‘𝐽) ↾t 𝐴))
2		tgtop 23130	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (topGen‘𝐽) = 𝐽)
3	2	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (topGen‘𝐽) = 𝐽)
4	3	oveq1d 7425	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((topGen‘𝐽) ↾t 𝐴) = (𝐽 ↾t 𝐴))
5	1, 4	eqtrd 2798	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (topGen‘(𝐽 ↾t 𝐴)) = (𝐽 ↾t 𝐴))
6		topbas 23129	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ∈ TopBases)
7	6	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐽 ∈ TopBases)
8		restbas 23315	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ TopBases → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ TopBases)
9		tgcl 23126	. . 3 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ TopBases → (topGen‘(𝐽 ↾t 𝐴)) ∈ Top)
10	7, 8, 9	3syl 19	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (topGen‘(𝐽 ↾t 𝐴)) ∈ Top)
11	5, 10	eqeltrrd 2864	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↾_t crest 17468  topGenctg 17485  Topctop 23050  TopBasesctb 23102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-en 8940  df-fin 8943  df-fi 9367  df-rest 17470  df-topgen 17491  df-top 23051  df-bases 23103

This theorem is referenced by:  resttopon  23318  resttopon2  23325  rest0  23326  restcld  23329  neitr  23337  restcls  23338  restntr  23339  ordtrest  23359  cmpsub  23557  fiuncmp  23561  1stcrest  23610  subislly  23638  llyrest  23642  nllyrest  23643  toplly  23647  cldllycmp  23652  kgencmp2  23703  llycmpkgen2  23707  1stckgen  23711  txkgen  23809  cnextfres1  24225  zdis  24974  cnmpopc  25087  dvbss  26060  dvreslem  26068  dvres2lem  26069  dvcnp2  26079  dvmptres  26122  ulmdvlem3  26565  psercn  26589  abelth  26604  zarmxt1  34270  ordtrestNEW  34311  cvxpconn  35734  cvmscld  35765  ptrest  38270  poimirlem29  38300  cnambfre  38319  limcresiooub  46356  limcresioolb  46357  cncfuni  46600  cncfiooicclem1  46607  fourierdlem32  46853  fourierdlem33  46854  fourierdlem48  46868  fourierdlem49  46869  fouriersw  46945  iscnrm3lem1  49712  iscnrm3rlem7  49724