MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resttop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resttop 22352
Description: A subspace topology is a topology. Definition of subspace topology in [Munkres] p. 89. 𝐴 is normally a subset of the base set of 𝐽. (Contributed by FL, 15-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
resttop ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Top)

Proof of Theorem resttop
StepHypRef Expression
1 tgrest 22351 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (topGenβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴)) = ((topGenβ€˜π½) β†Ύt 𝐴))
2 tgtop 22164 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top β†’ (topGenβ€˜π½) = 𝐽)
32adantr 482 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (topGenβ€˜π½) = 𝐽)
43oveq1d 7318 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((topGenβ€˜π½) β†Ύt 𝐴) = (𝐽 β†Ύt 𝐴))
51, 4eqtrd 2776 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (topGenβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴)) = (𝐽 β†Ύt 𝐴))
6 topbas 22163 . . . 4 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐽 ∈ TopBases)
76adantr 482 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝐽 ∈ TopBases)
8 restbas 22350 . . 3 (𝐽 ∈ TopBases β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ TopBases)
9 tgcl 22160 . . 3 ((𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ TopBases β†’ (topGenβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∈ Top)
107, 8, 93syl 18 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (topGenβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∈ Top)
115, 10eqeltrrd 2838 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Top)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  β€˜cfv 6454  (class class class)co 7303   β†Ύt crest 17172  topGenctg 17189  Topctop 22083  TopBasesctb 22136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7616
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5496  df-eprel 5502  df-po 5510  df-so 5511  df-fr 5551  df-we 5553  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-ord 6280  df-on 6281  df-lim 6282  df-suc 6283  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-ov 7306  df-oprab 7307  df-mpo 7308  df-om 7741  df-1st 7859  df-2nd 7860  df-en 8761  df-fin 8764  df-fi 9210  df-rest 17174  df-topgen 17195  df-top 22084  df-bases 22137
This theorem is referenced by:  resttopon  22353  resttopon2  22360  rest0  22361  restcld  22364  neitr  22372  restcls  22373  restntr  22374  ordtrest  22394  cmpsub  22592  fiuncmp  22596  1stcrest  22645  subislly  22673  llyrest  22677  nllyrest  22678  toplly  22682  cldllycmp  22687  kgencmp2  22738  llycmpkgen2  22742  1stckgen  22746  txkgen  22844  cnextfres1  23260  zdis  24020  cnmpopc  24132  dvbss  25106  dvreslem  25114  dvres2lem  25115  dvcnp2  25125  dvmptres  25168  ulmdvlem3  25602  psercn  25626  abelth  25641  zarmxt1  31871  ordtrestNEW  31912  cvxpconn  33245  cvmscld  33276  ptrest  35817  poimirlem29  35847  cnambfre  35866  limcresiooub  43231  limcresioolb  43232  cncfuni  43475  cncfiooicclem1  43482  fourierdlem32  43728  fourierdlem33  43729  fourierdlem48  43743  fourierdlem49  43744  fouriersw  43820  iscnrm3lem1  46284  iscnrm3rlem7  46297
  Copyright terms: Public domain W3C validator