MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resttop Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem resttop 22664
Description: A subspace topology is a topology. Definition of subspace topology in [Munkres] p. 89. 𝐴 is normally a subset of the base set of 𝐽. (Contributed by FL, 15-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
resttop ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Top)
Proof of Theorem resttop
StepHypRef Expression
1 tgrest 22663 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (topGenβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴)) = ((topGenβ€˜π½) β†Ύt 𝐴))
2 tgtop 22476 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top β†’ (topGenβ€˜π½) = 𝐽)
32adantr 482 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (topGenβ€˜π½) = 𝐽)
43oveq1d 7424 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((topGenβ€˜π½) β†Ύt 𝐴) = (𝐽 β†Ύt 𝐴))
51, 4eqtrd 2773 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (topGenβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴)) = (𝐽 β†Ύt 𝐴))
6 topbas 22475 . . . 4 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐽 ∈ TopBases)
76adantr 482 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝐽 ∈ TopBases)
8 restbas 22662 . . 3 (𝐽 ∈ TopBases β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ TopBases)
9 tgcl 22472 . . 3 ((𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ TopBases β†’ (topGenβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∈ Top)
107, 8, 93syl 18 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (topGenβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴)) ∈ Top)
115, 10eqeltrrd 2835 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Top)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   β†Ύt crest 17366  topGenctg 17383  Topctop 22395  TopBasesctb 22448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-en 8940  df-fin 8943  df-fi 9406  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-top 22396  df-bases 22449
This theorem is referenced by:  resttopon  22665  resttopon2  22672  rest0  22673  restcld  22676  neitr  22684  restcls  22685  restntr  22686  ordtrest  22706  cmpsub  22904  fiuncmp  22908  1stcrest  22957  subislly  22985  llyrest  22989  nllyrest  22990  toplly  22994  cldllycmp  22999  kgencmp2  23050  llycmpkgen2  23054  1stckgen  23058  txkgen  23156  cnextfres1  23572  zdis  24332  cnmpopc  24444  dvbss  25418  dvreslem  25426  dvres2lem  25427  dvcnp2  25437  dvmptres  25480  ulmdvlem3  25914  psercn  25938  abelth  25953  zarmxt1  32891  ordtrestNEW  32932  cvxpconn  34264  cvmscld  34295  gg-dvcnp2  35205  ptrest  36535  poimirlem29  36565  cnambfre  36584  limcresiooub  44406  limcresioolb  44407  cncfuni  44650  cncfiooicclem1  44657  fourierdlem32  44903  fourierdlem33  44904  fourierdlem48  44918  fourierdlem49  44919  fouriersw  44995  iscnrm3lem1  47614  iscnrm3rlem7  47627
  Copyright terms: Public domain W3C validator