Theorem resttop 23116

Description: A subspace topology is a topology. Definition of subspace topology in [Munkres] p. 89. 𝐴 is normally a subset of the base set of 𝐽. (Contributed by FL, 15-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
resttop	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Top)

Proof of Theorem resttop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgrest 23115	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (topGen‘(𝐽 ↾t 𝐴)) = ((topGen‘𝐽) ↾t 𝐴))
2		tgtop 22929	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (topGen‘𝐽) = 𝐽)
3	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (topGen‘𝐽) = 𝐽)
4	3	oveq1d 7383	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((topGen‘𝐽) ↾t 𝐴) = (𝐽 ↾t 𝐴))
5	1, 4	eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (topGen‘(𝐽 ↾t 𝐴)) = (𝐽 ↾t 𝐴))
6		topbas 22928	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ∈ TopBases)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐽 ∈ TopBases)
8		restbas 23114	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ TopBases → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ TopBases)
9		tgcl 22925	. . 3 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ TopBases → (topGen‘(𝐽 ↾t 𝐴)) ∈ Top)
10	7, 8, 9	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (topGen‘(𝐽 ↾t 𝐴)) ∈ Top)
11	5, 10	eqeltrrd 2838	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ↾_t crest 17352  topGenctg 17369  Topctop 22849  TopBasesctb 22901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-en 8896  df-fin 8899  df-fi 9326  df-rest 17354  df-topgen 17375  df-top 22850  df-bases 22902

This theorem is referenced by:  resttopon  23117  resttopon2  23124  rest0  23125  restcld  23128  neitr  23136  restcls  23137  restntr  23138  ordtrest  23158  cmpsub  23356  fiuncmp  23360  1stcrest  23409  subislly  23437  llyrest  23441  nllyrest  23442  toplly  23446  cldllycmp  23451  kgencmp2  23502  llycmpkgen2  23506  1stckgen  23510  txkgen  23608  cnextfres1  24024  zdis  24773  cnmpopc  24890  dvbss  25870  dvreslem  25878  dvres2lem  25879  dvcnp2  25889  dvcnp2OLD  25890  dvmptres  25935  ulmdvlem3  26379  psercn  26404  abelth  26419  zarmxt1  34058  ordtrestNEW  34099  cvxpconn  35458  cvmscld  35489  ptrest  37870  poimirlem29  37900  cnambfre  37919  limcresiooub  46000  limcresioolb  46001  cncfuni  46244  cncfiooicclem1  46251  fourierdlem32  46497  fourierdlem33  46498  fourierdlem48  46512  fourierdlem49  46513  fouriersw  46589  iscnrm3lem1  49293  iscnrm3rlem7  49305