Theorem resttop 23068

Description: A subspace topology is a topology. Definition of subspace topology in [Munkres] p. 89. 𝐴 is normally a subset of the base set of 𝐽. (Contributed by FL, 15-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
resttop	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Top)

Proof of Theorem resttop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgrest 23067	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (topGen‘(𝐽 ↾t 𝐴)) = ((topGen‘𝐽) ↾t 𝐴))
2		tgtop 22881	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (topGen‘𝐽) = 𝐽)
3	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (topGen‘𝐽) = 𝐽)
4	3	oveq1d 7356	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((topGen‘𝐽) ↾t 𝐴) = (𝐽 ↾t 𝐴))
5	1, 4	eqtrd 2765	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (topGen‘(𝐽 ↾t 𝐴)) = (𝐽 ↾t 𝐴))
6		topbas 22880	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ∈ TopBases)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐽 ∈ TopBases)
8		restbas 23066	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ TopBases → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ TopBases)
9		tgcl 22877	. . 3 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ TopBases → (topGen‘(𝐽 ↾t 𝐴)) ∈ Top)
10	7, 8, 9	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (topGen‘(𝐽 ↾t 𝐴)) ∈ Top)
11	5, 10	eqeltrrd 2830	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341   ↾_t crest 17316  topGenctg 17333  Topctop 22801  TopBasesctb 22853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-en 8865  df-fin 8868  df-fi 9290  df-rest 17318  df-topgen 17339  df-top 22802  df-bases 22854

This theorem is referenced by:  resttopon  23069  resttopon2  23076  rest0  23077  restcld  23080  neitr  23088  restcls  23089  restntr  23090  ordtrest  23110  cmpsub  23308  fiuncmp  23312  1stcrest  23361  subislly  23389  llyrest  23393  nllyrest  23394  toplly  23398  cldllycmp  23403  kgencmp2  23454  llycmpkgen2  23458  1stckgen  23462  txkgen  23560  cnextfres1  23976  zdis  24725  cnmpopc  24842  dvbss  25822  dvreslem  25830  dvres2lem  25831  dvcnp2  25841  dvcnp2OLD  25842  dvmptres  25887  ulmdvlem3  26331  psercn  26356  abelth  26371  zarmxt1  33883  ordtrestNEW  33924  cvxpconn  35254  cvmscld  35285  ptrest  37638  poimirlem29  37668  cnambfre  37687  limcresiooub  45659  limcresioolb  45660  cncfuni  45903  cncfiooicclem1  45910  fourierdlem32  46156  fourierdlem33  46157  fourierdlem48  46171  fourierdlem49  46172  fouriersw  46248  iscnrm3lem1  48944  iscnrm3rlem7  48956