Theorem dis1stc 23424

Description: A discrete space is first-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dis1stc	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ 1stω)

Proof of Theorem dis1stc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vsnex 5402	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥} ∈ V
2		distop 22920	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥} ∈ V → 𝒫 {𝑥} ∈ Top)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 {𝑥} ∈ Top
4		tgtop 22898	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 {𝑥} ∈ Top → (topGen‘𝒫 {𝑥}) = 𝒫 {𝑥})
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘𝒫 {𝑥}) = 𝒫 {𝑥}
6		topbas 22897	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 {𝑥} ∈ Top → 𝒫 {𝑥} ∈ TopBases)
7	3, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 {𝑥} ∈ TopBases
8		snfi 9052	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥} ∈ Fin
9		pwfi 9324	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥} ∈ Fin ↔ 𝒫 {𝑥} ∈ Fin)
10	8, 9	mpbi 230	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝒫 {𝑥} ∈ Fin
11		isfinite 9659	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝒫 {𝑥} ∈ Fin ↔ 𝒫 {𝑥} ≺ ω)
12	10, 11	mpbi 230	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 {𝑥} ≺ ω
13		sdomdom 8989	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 {𝑥} ≺ ω → 𝒫 {𝑥} ≼ ω)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 {𝑥} ≼ ω
15		2ndci 23373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝒫 {𝑥} ∈ TopBases ∧ 𝒫 {𝑥} ≼ ω) → (topGen‘𝒫 {𝑥}) ∈ 2ndω)
16	7, 14, 15	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘𝒫 {𝑥}) ∈ 2ndω
17	5, 16	eqeltrri 2830	. . . . 5 ⊢ 𝒫 {𝑥} ∈ 2ndω
18		2ndc1stc 23376	. . . . 5 ⊢ (𝒫 {𝑥} ∈ 2ndω → 𝒫 {𝑥} ∈ 1stω)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 {𝑥} ∈ 1stω
20	19	rgenw 3054	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝒫 {𝑥} ∈ 1stω
21		dislly 23422	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝑋 ∈ Locally 1stω ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝒫 {𝑥} ∈ 1stω))
22	20, 21	mpbiri 258	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ Locally 1stω)
23		lly1stc 23421	. 2 ⊢ Locally 1stω = 1stω
24	22, 23	eleqtrdi 2843	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ 1stω)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3050  Vcvv 3457  𝒫 cpw 4573  {csn 4599   class class class wbr 5117  ‘cfv 6528  ωcom 7856   ≼ cdom 8952   ≺ csdm 8953  Fincfn 8954  topGenctg 17438  Topctop 22818  TopBasesctb 22870  1^stωc1stc 23362  2^ndωc2ndc 23363  Locally clly 23389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5247  ax-sep 5264  ax-nul 5274  ax-pow 5333  ax-pr 5400  ax-un 7724  ax-inf2 9648

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4882  df-int 4921  df-iun 4967  df-br 5118  df-opab 5180  df-mpt 5200  df-tr 5228  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6288  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7857  df-1st 7983  df-2nd 7984  df-frecs 8275  df-wrecs 8306  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8475  df-er 8714  df-map 8837  df-en 8955  df-dom 8956  df-sdom 8957  df-fin 8958  df-fi 9418  df-card 9946  df-acn 9949  df-rest 17423  df-topgen 17444  df-top 22819  df-topon 22836  df-bases 22871  df-1stc 23364  df-2ndc 23365  df-lly 23391

This theorem is referenced by: (None)