MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dis1stc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dis1stc 22995
Description: A discrete space is first-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
dis1stc (𝑋𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ 1stω)

Proof of Theorem dis1stc
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vsnex 5429 . . . . . . . 8 {𝑥} ∈ V
2 distop 22490 . . . . . . . 8 ({𝑥} ∈ V → 𝒫 {𝑥} ∈ Top)
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7 𝒫 {𝑥} ∈ Top
4 tgtop 22468 . . . . . . 7 (𝒫 {𝑥} ∈ Top → (topGen‘𝒫 {𝑥}) = 𝒫 {𝑥})
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 (topGen‘𝒫 {𝑥}) = 𝒫 {𝑥}
6 topbas 22467 . . . . . . . 8 (𝒫 {𝑥} ∈ Top → 𝒫 {𝑥} ∈ TopBases)
73, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 𝒫 {𝑥} ∈ TopBases
8 snfi 9041 . . . . . . . . . 10 {𝑥} ∈ Fin
9 pwfi 9175 . . . . . . . . . 10 ({𝑥} ∈ Fin ↔ 𝒫 {𝑥} ∈ Fin)
108, 9mpbi 229 . . . . . . . . 9 𝒫 {𝑥} ∈ Fin
11 isfinite 9644 . . . . . . . . 9 (𝒫 {𝑥} ∈ Fin ↔ 𝒫 {𝑥} ≺ ω)
1210, 11mpbi 229 . . . . . . . 8 𝒫 {𝑥} ≺ ω
13 sdomdom 8973 . . . . . . . 8 (𝒫 {𝑥} ≺ ω → 𝒫 {𝑥} ≼ ω)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 𝒫 {𝑥} ≼ ω
15 2ndci 22944 . . . . . . 7 ((𝒫 {𝑥} ∈ TopBases ∧ 𝒫 {𝑥} ≼ ω) → (topGen‘𝒫 {𝑥}) ∈ 2ndω)
167, 14, 15mp2an 691 . . . . . 6 (topGen‘𝒫 {𝑥}) ∈ 2ndω
175, 16eqeltrri 2831 . . . . 5 𝒫 {𝑥} ∈ 2ndω
18 2ndc1stc 22947 . . . . 5 (𝒫 {𝑥} ∈ 2ndω → 𝒫 {𝑥} ∈ 1stω)
1917, 18ax-mp 5 . . . 4 𝒫 {𝑥} ∈ 1stω
2019rgenw 3066 . . 3 𝑥𝑋 𝒫 {𝑥} ∈ 1stω
21 dislly 22993 . . 3 (𝑋𝑉 → (𝒫 𝑋 ∈ Locally 1stω ↔ ∀𝑥𝑋 𝒫 {𝑥} ∈ 1stω))
2220, 21mpbiri 258 . 2 (𝑋𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ Locally 1stω)
23 lly1stc 22992 . 2 Locally 1stω = 1stω
2422, 23eleqtrdi 2844 1 (𝑋𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ 1stω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  Vcvv 3475  𝒫 cpw 4602  {csn 4628   class class class wbr 5148  cfv 6541  ωcom 7852  cdom 8934  csdm 8935  Fincfn 8936  topGenctg 17380  Topctop 22387  TopBasesctb 22440  1stωc1stc 22933  2ndωc2ndc 22934  Locally clly 22960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fi 9403  df-card 9931  df-acn 9934  df-rest 17365  df-topgen 17386  df-top 22388  df-topon 22405  df-bases 22441  df-1stc 22935  df-2ndc 22936  df-lly 22962
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator