MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dis1stc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dis1stc 21628
Description: A discrete space is first-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
dis1stc (𝑋𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ 1st𝜔)

Proof of Theorem dis1stc
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snex 5097 . . . . . . . 8 {𝑥} ∈ V
2 distop 21125 . . . . . . . 8 ({𝑥} ∈ V → 𝒫 {𝑥} ∈ Top)
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7 𝒫 {𝑥} ∈ Top
4 tgtop 21103 . . . . . . 7 (𝒫 {𝑥} ∈ Top → (topGen‘𝒫 {𝑥}) = 𝒫 {𝑥})
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 (topGen‘𝒫 {𝑥}) = 𝒫 {𝑥}
6 topbas 21102 . . . . . . . 8 (𝒫 {𝑥} ∈ Top → 𝒫 {𝑥} ∈ TopBases)
73, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 𝒫 {𝑥} ∈ TopBases
8 snfi 8278 . . . . . . . . . 10 {𝑥} ∈ Fin
9 pwfi 8501 . . . . . . . . . 10 ({𝑥} ∈ Fin ↔ 𝒫 {𝑥} ∈ Fin)
108, 9mpbi 222 . . . . . . . . 9 𝒫 {𝑥} ∈ Fin
11 isfinite 8797 . . . . . . . . 9 (𝒫 {𝑥} ∈ Fin ↔ 𝒫 {𝑥} ≺ ω)
1210, 11mpbi 222 . . . . . . . 8 𝒫 {𝑥} ≺ ω
13 sdomdom 8221 . . . . . . . 8 (𝒫 {𝑥} ≺ ω → 𝒫 {𝑥} ≼ ω)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 𝒫 {𝑥} ≼ ω
15 2ndci 21577 . . . . . . 7 ((𝒫 {𝑥} ∈ TopBases ∧ 𝒫 {𝑥} ≼ ω) → (topGen‘𝒫 {𝑥}) ∈ 2nd𝜔)
167, 14, 15mp2an 684 . . . . . 6 (topGen‘𝒫 {𝑥}) ∈ 2nd𝜔
175, 16eqeltrri 2873 . . . . 5 𝒫 {𝑥} ∈ 2nd𝜔
18 2ndc1stc 21580 . . . . 5 (𝒫 {𝑥} ∈ 2nd𝜔 → 𝒫 {𝑥} ∈ 1st𝜔)
1917, 18ax-mp 5 . . . 4 𝒫 {𝑥} ∈ 1st𝜔
2019rgenw 3103 . . 3 𝑥𝑋 𝒫 {𝑥} ∈ 1st𝜔
21 dislly 21626 . . 3 (𝑋𝑉 → (𝒫 𝑋 ∈ Locally 1st𝜔 ↔ ∀𝑥𝑋 𝒫 {𝑥} ∈ 1st𝜔))
2220, 21mpbiri 250 . 2 (𝑋𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ Locally 1st𝜔)
23 lly1stc 21625 . 2 Locally 1st𝜔 = 1st𝜔
2422, 23syl6eleq 2886 1 (𝑋𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ 1st𝜔)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3087  Vcvv 3383  𝒫 cpw 4347  {csn 4366   class class class wbr 4841  cfv 6099  ωcom 7297  cdom 8191  csdm 8192  Fincfn 8193  topGenctg 16410  Topctop 21023  TopBasesctb 21075  1st𝜔c1stc 21566  2nd𝜔c2ndc 21567  Locally clly 21593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-inf2 8786
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-se 5270  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-isom 6108  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-2o 7798  df-oadd 7801  df-er 7980  df-map 8095  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-fi 8557  df-card 9049  df-acn 9052  df-rest 16395  df-topgen 16416  df-top 21024  df-topon 21041  df-bases 21076  df-1stc 21568  df-2ndc 21569  df-lly 21595
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator