MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dis1stc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dis1stc 21795
Description: A discrete space is first-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
dis1stc (𝑋𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ 1st𝜔)

Proof of Theorem dis1stc
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snex 5230 . . . . . . . 8 {𝑥} ∈ V
2 distop 21291 . . . . . . . 8 ({𝑥} ∈ V → 𝒫 {𝑥} ∈ Top)
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7 𝒫 {𝑥} ∈ Top
4 tgtop 21269 . . . . . . 7 (𝒫 {𝑥} ∈ Top → (topGen‘𝒫 {𝑥}) = 𝒫 {𝑥})
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 (topGen‘𝒫 {𝑥}) = 𝒫 {𝑥}
6 topbas 21268 . . . . . . . 8 (𝒫 {𝑥} ∈ Top → 𝒫 {𝑥} ∈ TopBases)
73, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 𝒫 {𝑥} ∈ TopBases
8 snfi 8449 . . . . . . . . . 10 {𝑥} ∈ Fin
9 pwfi 8672 . . . . . . . . . 10 ({𝑥} ∈ Fin ↔ 𝒫 {𝑥} ∈ Fin)
108, 9mpbi 231 . . . . . . . . 9 𝒫 {𝑥} ∈ Fin
11 isfinite 8968 . . . . . . . . 9 (𝒫 {𝑥} ∈ Fin ↔ 𝒫 {𝑥} ≺ ω)
1210, 11mpbi 231 . . . . . . . 8 𝒫 {𝑥} ≺ ω
13 sdomdom 8392 . . . . . . . 8 (𝒫 {𝑥} ≺ ω → 𝒫 {𝑥} ≼ ω)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 𝒫 {𝑥} ≼ ω
15 2ndci 21744 . . . . . . 7 ((𝒫 {𝑥} ∈ TopBases ∧ 𝒫 {𝑥} ≼ ω) → (topGen‘𝒫 {𝑥}) ∈ 2nd𝜔)
167, 14, 15mp2an 688 . . . . . 6 (topGen‘𝒫 {𝑥}) ∈ 2nd𝜔
175, 16eqeltrri 2882 . . . . 5 𝒫 {𝑥} ∈ 2nd𝜔
18 2ndc1stc 21747 . . . . 5 (𝒫 {𝑥} ∈ 2nd𝜔 → 𝒫 {𝑥} ∈ 1st𝜔)
1917, 18ax-mp 5 . . . 4 𝒫 {𝑥} ∈ 1st𝜔
2019rgenw 3119 . . 3 𝑥𝑋 𝒫 {𝑥} ∈ 1st𝜔
21 dislly 21793 . . 3 (𝑋𝑉 → (𝒫 𝑋 ∈ Locally 1st𝜔 ↔ ∀𝑥𝑋 𝒫 {𝑥} ∈ 1st𝜔))
2220, 21mpbiri 259 . 2 (𝑋𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ Locally 1st𝜔)
23 lly1stc 21792 . 2 Locally 1st𝜔 = 1st𝜔
2422, 23syl6eleq 2895 1 (𝑋𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ 1st𝜔)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1525  wcel 2083  wral 3107  Vcvv 3440  𝒫 cpw 4459  {csn 4478   class class class wbr 4968  cfv 6232  ωcom 7443  cdom 8362  csdm 8363  Fincfn 8364  topGenctg 16544  Topctop 21189  TopBasesctb 21241  1st𝜔c1stc 21733  2nd𝜔c2ndc 21734  Locally clly 21760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-inf2 8957
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-2o 7961  df-oadd 7964  df-er 8146  df-map 8265  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-fi 8728  df-card 9221  df-acn 9224  df-rest 16529  df-topgen 16550  df-top 21190  df-topon 21207  df-bases 21242  df-1stc 21735  df-2ndc 21736  df-lly 21762
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator