Theorem dis1stc 23386

Description: A discrete space is first-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dis1stc	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ 1stω)

Proof of Theorem dis1stc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vsnex 5389	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥} ∈ V
2		distop 22882	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥} ∈ V → 𝒫 {𝑥} ∈ Top)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 {𝑥} ∈ Top
4		tgtop 22860	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 {𝑥} ∈ Top → (topGen‘𝒫 {𝑥}) = 𝒫 {𝑥})
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘𝒫 {𝑥}) = 𝒫 {𝑥}
6		topbas 22859	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 {𝑥} ∈ Top → 𝒫 {𝑥} ∈ TopBases)
7	3, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 {𝑥} ∈ TopBases
8		snfi 9014	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥} ∈ Fin
9		pwfi 9268	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥} ∈ Fin ↔ 𝒫 {𝑥} ∈ Fin)
10	8, 9	mpbi 230	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝒫 {𝑥} ∈ Fin
11		isfinite 9605	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝒫 {𝑥} ∈ Fin ↔ 𝒫 {𝑥} ≺ ω)
12	10, 11	mpbi 230	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 {𝑥} ≺ ω
13		sdomdom 8951	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 {𝑥} ≺ ω → 𝒫 {𝑥} ≼ ω)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 {𝑥} ≼ ω
15		2ndci 23335	. . . . . . 7 ⊢ ((𝒫 {𝑥} ∈ TopBases ∧ 𝒫 {𝑥} ≼ ω) → (topGen‘𝒫 {𝑥}) ∈ 2ndω)
16	7, 14, 15	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘𝒫 {𝑥}) ∈ 2ndω
17	5, 16	eqeltrri 2825	. . . . 5 ⊢ 𝒫 {𝑥} ∈ 2ndω
18		2ndc1stc 23338	. . . . 5 ⊢ (𝒫 {𝑥} ∈ 2ndω → 𝒫 {𝑥} ∈ 1stω)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 {𝑥} ∈ 1stω
20	19	rgenw 3048	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝒫 {𝑥} ∈ 1stω
21		dislly 23384	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝑋 ∈ Locally 1stω ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝒫 {𝑥} ∈ 1stω))
22	20, 21	mpbiri 258	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ Locally 1stω)
23		lly1stc 23383	. 2 ⊢ Locally 1stω = 1stω
24	22, 23	eleqtrdi 2838	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ 1stω)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3447  𝒫 cpw 4563  {csn 4589   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  ωcom 7842   ≼ cdom 8916   ≺ csdm 8917  Fincfn 8918  topGenctg 17400  Topctop 22780  TopBasesctb 22832  1^stωc1stc 23324  2^ndωc2ndc 23325  Locally clly 23351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fi 9362  df-card 9892  df-acn 9895  df-rest 17385  df-topgen 17406  df-top 22781  df-topon 22798  df-bases 22833  df-1stc 23326  df-2ndc 23327  df-lly 23353

This theorem is referenced by: (None)