MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dis1stc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dis1stc 23347
Description: A discrete space is first-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
dis1stc (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝑋 ∈ 1stΟ‰)

Proof of Theorem dis1stc
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vsnex 5420 . . . . . . . 8 {π‘₯} ∈ V
2 distop 22842 . . . . . . . 8 ({π‘₯} ∈ V β†’ 𝒫 {π‘₯} ∈ Top)
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7 𝒫 {π‘₯} ∈ Top
4 tgtop 22820 . . . . . . 7 (𝒫 {π‘₯} ∈ Top β†’ (topGenβ€˜π’« {π‘₯}) = 𝒫 {π‘₯})
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 (topGenβ€˜π’« {π‘₯}) = 𝒫 {π‘₯}
6 topbas 22819 . . . . . . . 8 (𝒫 {π‘₯} ∈ Top β†’ 𝒫 {π‘₯} ∈ TopBases)
73, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 𝒫 {π‘₯} ∈ TopBases
8 snfi 9041 . . . . . . . . . 10 {π‘₯} ∈ Fin
9 pwfi 9175 . . . . . . . . . 10 ({π‘₯} ∈ Fin ↔ 𝒫 {π‘₯} ∈ Fin)
108, 9mpbi 229 . . . . . . . . 9 𝒫 {π‘₯} ∈ Fin
11 isfinite 9644 . . . . . . . . 9 (𝒫 {π‘₯} ∈ Fin ↔ 𝒫 {π‘₯} β‰Ί Ο‰)
1210, 11mpbi 229 . . . . . . . 8 𝒫 {π‘₯} β‰Ί Ο‰
13 sdomdom 8973 . . . . . . . 8 (𝒫 {π‘₯} β‰Ί Ο‰ β†’ 𝒫 {π‘₯} β‰Ό Ο‰)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 𝒫 {π‘₯} β‰Ό Ο‰
15 2ndci 23296 . . . . . . 7 ((𝒫 {π‘₯} ∈ TopBases ∧ 𝒫 {π‘₯} β‰Ό Ο‰) β†’ (topGenβ€˜π’« {π‘₯}) ∈ 2ndΟ‰)
167, 14, 15mp2an 689 . . . . . 6 (topGenβ€˜π’« {π‘₯}) ∈ 2ndΟ‰
175, 16eqeltrri 2822 . . . . 5 𝒫 {π‘₯} ∈ 2ndΟ‰
18 2ndc1stc 23299 . . . . 5 (𝒫 {π‘₯} ∈ 2ndΟ‰ β†’ 𝒫 {π‘₯} ∈ 1stΟ‰)
1917, 18ax-mp 5 . . . 4 𝒫 {π‘₯} ∈ 1stΟ‰
2019rgenw 3057 . . 3 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝒫 {π‘₯} ∈ 1stΟ‰
21 dislly 23345 . . 3 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (𝒫 𝑋 ∈ Locally 1stΟ‰ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝒫 {π‘₯} ∈ 1stΟ‰))
2220, 21mpbiri 258 . 2 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝑋 ∈ Locally 1stΟ‰)
23 lly1stc 23344 . 2 Locally 1stΟ‰ = 1stΟ‰
2422, 23eleqtrdi 2835 1 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝑋 ∈ 1stΟ‰)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  Vcvv 3466  π’« cpw 4595  {csn 4621   class class class wbr 5139  β€˜cfv 6534  Ο‰com 7849   β‰Ό cdom 8934   β‰Ί csdm 8935  Fincfn 8936  topGenctg 17388  Topctop 22739  TopBasesctb 22792  1stΟ‰c1stc 23285  2ndΟ‰c2ndc 23286  Locally clly 23312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fi 9403  df-card 9931  df-acn 9934  df-rest 17373  df-topgen 17394  df-top 22740  df-topon 22757  df-bases 22793  df-1stc 23287  df-2ndc 23288  df-lly 23314
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator