Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dis1stc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dis1stc 22114
 Description: A discrete space is first-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
dis1stc (𝑋𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ 1stω)

Proof of Theorem dis1stc
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snex 5298 . . . . . . . 8 {𝑥} ∈ V
2 distop 21610 . . . . . . . 8 ({𝑥} ∈ V → 𝒫 {𝑥} ∈ Top)
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7 𝒫 {𝑥} ∈ Top
4 tgtop 21588 . . . . . . 7 (𝒫 {𝑥} ∈ Top → (topGen‘𝒫 {𝑥}) = 𝒫 {𝑥})
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 (topGen‘𝒫 {𝑥}) = 𝒫 {𝑥}
6 topbas 21587 . . . . . . . 8 (𝒫 {𝑥} ∈ Top → 𝒫 {𝑥} ∈ TopBases)
73, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 𝒫 {𝑥} ∈ TopBases
8 snfi 8580 . . . . . . . . . 10 {𝑥} ∈ Fin
9 pwfi 8806 . . . . . . . . . 10 ({𝑥} ∈ Fin ↔ 𝒫 {𝑥} ∈ Fin)
108, 9mpbi 233 . . . . . . . . 9 𝒫 {𝑥} ∈ Fin
11 isfinite 9102 . . . . . . . . 9 (𝒫 {𝑥} ∈ Fin ↔ 𝒫 {𝑥} ≺ ω)
1210, 11mpbi 233 . . . . . . . 8 𝒫 {𝑥} ≺ ω
13 sdomdom 8523 . . . . . . . 8 (𝒫 {𝑥} ≺ ω → 𝒫 {𝑥} ≼ ω)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 𝒫 {𝑥} ≼ ω
15 2ndci 22063 . . . . . . 7 ((𝒫 {𝑥} ∈ TopBases ∧ 𝒫 {𝑥} ≼ ω) → (topGen‘𝒫 {𝑥}) ∈ 2ndω)
167, 14, 15mp2an 691 . . . . . 6 (topGen‘𝒫 {𝑥}) ∈ 2ndω
175, 16eqeltrri 2887 . . . . 5 𝒫 {𝑥} ∈ 2ndω
18 2ndc1stc 22066 . . . . 5 (𝒫 {𝑥} ∈ 2ndω → 𝒫 {𝑥} ∈ 1stω)
1917, 18ax-mp 5 . . . 4 𝒫 {𝑥} ∈ 1stω
2019rgenw 3118 . . 3 𝑥𝑋 𝒫 {𝑥} ∈ 1stω
21 dislly 22112 . . 3 (𝑋𝑉 → (𝒫 𝑋 ∈ Locally 1stω ↔ ∀𝑥𝑋 𝒫 {𝑥} ∈ 1stω))
2220, 21mpbiri 261 . 2 (𝑋𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ Locally 1stω)
23 lly1stc 22111 . 2 Locally 1stω = 1stω
2422, 23eleqtrdi 2900 1 (𝑋𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ 1stω)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  Vcvv 3441  𝒫 cpw 4497  {csn 4525   class class class wbr 5031  ‘cfv 6325  ωcom 7563   ≼ cdom 8493   ≺ csdm 8494  Fincfn 8495  topGenctg 16706  Topctop 21508  TopBasesctb 21560  1stωc1stc 22052  2ndωc2ndc 22053  Locally clly 22079 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-inf2 9091 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-isom 6334  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-2o 8089  df-oadd 8092  df-er 8275  df-map 8394  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-fi 8862  df-card 9355  df-acn 9358  df-rest 16691  df-topgen 16712  df-top 21509  df-topon 21526  df-bases 21561  df-1stc 22054  df-2ndc 22055  df-lly 22081 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator