Theorem dis1stc 21628

Description: A discrete space is first-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dis1stc	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ 1st𝜔)

Proof of Theorem dis1stc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 5097	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥} ∈ V
2		distop 21125	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥} ∈ V → 𝒫 {𝑥} ∈ Top)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 {𝑥} ∈ Top
4		tgtop 21103	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 {𝑥} ∈ Top → (topGen‘𝒫 {𝑥}) = 𝒫 {𝑥})
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘𝒫 {𝑥}) = 𝒫 {𝑥}
6		topbas 21102	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 {𝑥} ∈ Top → 𝒫 {𝑥} ∈ TopBases)
7	3, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 {𝑥} ∈ TopBases
8		snfi 8278	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥} ∈ Fin
9		pwfi 8501	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥} ∈ Fin ↔ 𝒫 {𝑥} ∈ Fin)
10	8, 9	mpbi 222	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝒫 {𝑥} ∈ Fin
11		isfinite 8797	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝒫 {𝑥} ∈ Fin ↔ 𝒫 {𝑥} ≺ ω)
12	10, 11	mpbi 222	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 {𝑥} ≺ ω
13		sdomdom 8221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 {𝑥} ≺ ω → 𝒫 {𝑥} ≼ ω)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 {𝑥} ≼ ω
15		2ndci 21577	. . . . . . 7 ⊢ ((𝒫 {𝑥} ∈ TopBases ∧ 𝒫 {𝑥} ≼ ω) → (topGen‘𝒫 {𝑥}) ∈ 2nd𝜔)
16	7, 14, 15	mp2an 684	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘𝒫 {𝑥}) ∈ 2nd𝜔
17	5, 16	eqeltrri 2873	. . . . 5 ⊢ 𝒫 {𝑥} ∈ 2nd𝜔
18		2ndc1stc 21580	. . . . 5 ⊢ (𝒫 {𝑥} ∈ 2nd𝜔 → 𝒫 {𝑥} ∈ 1st𝜔)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 {𝑥} ∈ 1st𝜔
20	19	rgenw 3103	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝒫 {𝑥} ∈ 1st𝜔
21		dislly 21626	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝑋 ∈ Locally 1st𝜔 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝒫 {𝑥} ∈ 1st𝜔))
22	20, 21	mpbiri 250	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ Locally 1st𝜔)
23		lly1stc 21625	. 2 ⊢ Locally 1st𝜔 = 1st𝜔
24	22, 23	syl6eleq 2886	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ 1st𝜔)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ∀wral 3087  Vcvv 3383  𝒫 cpw 4347  {csn 4366   class class class wbr 4841  ‘cfv 6099  ωcom 7297   ≼ cdom 8191   ≺ csdm 8192  Fincfn 8193  topGenctg 16410  Topctop 21023  TopBasesctb 21075  1^st𝜔c1stc 21566  2^nd𝜔c2ndc 21567  Locally clly 21593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-inf2 8786

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-se 5270  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-isom 6108  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-2o 7798  df-oadd 7801  df-er 7980  df-map 8095  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-fi 8557  df-card 9049  df-acn 9052  df-rest 16395  df-topgen 16416  df-top 21024  df-topon 21041  df-bases 21076  df-1stc 21568  df-2ndc 21569  df-lly 21595

This theorem is referenced by: (None)