MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dis1stc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dis1stc 22873
Description: A discrete space is first-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
dis1stc (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝑋 ∈ 1stΟ‰)

Proof of Theorem dis1stc
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vsnex 5390 . . . . . . . 8 {π‘₯} ∈ V
2 distop 22368 . . . . . . . 8 ({π‘₯} ∈ V β†’ 𝒫 {π‘₯} ∈ Top)
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7 𝒫 {π‘₯} ∈ Top
4 tgtop 22346 . . . . . . 7 (𝒫 {π‘₯} ∈ Top β†’ (topGenβ€˜π’« {π‘₯}) = 𝒫 {π‘₯})
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 (topGenβ€˜π’« {π‘₯}) = 𝒫 {π‘₯}
6 topbas 22345 . . . . . . . 8 (𝒫 {π‘₯} ∈ Top β†’ 𝒫 {π‘₯} ∈ TopBases)
73, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 𝒫 {π‘₯} ∈ TopBases
8 snfi 8994 . . . . . . . . . 10 {π‘₯} ∈ Fin
9 pwfi 9128 . . . . . . . . . 10 ({π‘₯} ∈ Fin ↔ 𝒫 {π‘₯} ∈ Fin)
108, 9mpbi 229 . . . . . . . . 9 𝒫 {π‘₯} ∈ Fin
11 isfinite 9596 . . . . . . . . 9 (𝒫 {π‘₯} ∈ Fin ↔ 𝒫 {π‘₯} β‰Ί Ο‰)
1210, 11mpbi 229 . . . . . . . 8 𝒫 {π‘₯} β‰Ί Ο‰
13 sdomdom 8926 . . . . . . . 8 (𝒫 {π‘₯} β‰Ί Ο‰ β†’ 𝒫 {π‘₯} β‰Ό Ο‰)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 𝒫 {π‘₯} β‰Ό Ο‰
15 2ndci 22822 . . . . . . 7 ((𝒫 {π‘₯} ∈ TopBases ∧ 𝒫 {π‘₯} β‰Ό Ο‰) β†’ (topGenβ€˜π’« {π‘₯}) ∈ 2ndΟ‰)
167, 14, 15mp2an 691 . . . . . 6 (topGenβ€˜π’« {π‘₯}) ∈ 2ndΟ‰
175, 16eqeltrri 2831 . . . . 5 𝒫 {π‘₯} ∈ 2ndΟ‰
18 2ndc1stc 22825 . . . . 5 (𝒫 {π‘₯} ∈ 2ndΟ‰ β†’ 𝒫 {π‘₯} ∈ 1stΟ‰)
1917, 18ax-mp 5 . . . 4 𝒫 {π‘₯} ∈ 1stΟ‰
2019rgenw 3065 . . 3 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝒫 {π‘₯} ∈ 1stΟ‰
21 dislly 22871 . . 3 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (𝒫 𝑋 ∈ Locally 1stΟ‰ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝒫 {π‘₯} ∈ 1stΟ‰))
2220, 21mpbiri 258 . 2 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝑋 ∈ Locally 1stΟ‰)
23 lly1stc 22870 . 2 Locally 1stΟ‰ = 1stΟ‰
2422, 23eleqtrdi 2844 1 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝑋 ∈ 1stΟ‰)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  Vcvv 3447  π’« cpw 4564  {csn 4590   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  Ο‰com 7806   β‰Ό cdom 8887   β‰Ί csdm 8888  Fincfn 8889  topGenctg 17327  Topctop 22265  TopBasesctb 22318  1stΟ‰c1stc 22811  2ndΟ‰c2ndc 22812  Locally clly 22838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fi 9355  df-card 9883  df-acn 9886  df-rest 17312  df-topgen 17333  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-1stc 22813  df-2ndc 22814  df-lly 22840
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator