Theorem dis1stc 23384

Description: A discrete space is first-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dis1stc	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ 1stω)

Proof of Theorem dis1stc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vsnex 5373	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥} ∈ V
2		distop 22880	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥} ∈ V → 𝒫 {𝑥} ∈ Top)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 {𝑥} ∈ Top
4		tgtop 22858	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 {𝑥} ∈ Top → (topGen‘𝒫 {𝑥}) = 𝒫 {𝑥})
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘𝒫 {𝑥}) = 𝒫 {𝑥}
6		topbas 22857	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 {𝑥} ∈ Top → 𝒫 {𝑥} ∈ TopBases)
7	3, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 {𝑥} ∈ TopBases
8		snfi 8968	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥} ∈ Fin
9		pwfi 9208	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥} ∈ Fin ↔ 𝒫 {𝑥} ∈ Fin)
10	8, 9	mpbi 230	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝒫 {𝑥} ∈ Fin
11		isfinite 9548	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝒫 {𝑥} ∈ Fin ↔ 𝒫 {𝑥} ≺ ω)
12	10, 11	mpbi 230	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 {𝑥} ≺ ω
13		sdomdom 8905	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 {𝑥} ≺ ω → 𝒫 {𝑥} ≼ ω)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 {𝑥} ≼ ω
15		2ndci 23333	. . . . . . 7 ⊢ ((𝒫 {𝑥} ∈ TopBases ∧ 𝒫 {𝑥} ≼ ω) → (topGen‘𝒫 {𝑥}) ∈ 2ndω)
16	7, 14, 15	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘𝒫 {𝑥}) ∈ 2ndω
17	5, 16	eqeltrri 2825	. . . . 5 ⊢ 𝒫 {𝑥} ∈ 2ndω
18		2ndc1stc 23336	. . . . 5 ⊢ (𝒫 {𝑥} ∈ 2ndω → 𝒫 {𝑥} ∈ 1stω)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 {𝑥} ∈ 1stω
20	19	rgenw 3048	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝒫 {𝑥} ∈ 1stω
21		dislly 23382	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝑋 ∈ Locally 1stω ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝒫 {𝑥} ∈ 1stω))
22	20, 21	mpbiri 258	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ Locally 1stω)
23		lly1stc 23381	. 2 ⊢ Locally 1stω = 1stω
24	22, 23	eleqtrdi 2838	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ 1stω)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3436  𝒫 cpw 4551  {csn 4577   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  ωcom 7799   ≼ cdom 8870   ≺ csdm 8871  Fincfn 8872  topGenctg 17341  Topctop 22778  TopBasesctb 22830  1^stωc1stc 23322  2^ndωc2ndc 23323  Locally clly 23349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fi 9301  df-card 9835  df-acn 9838  df-rest 17326  df-topgen 17347  df-top 22779  df-topon 22796  df-bases 22831  df-1stc 23324  df-2ndc 23325  df-lly 23351

This theorem is referenced by: (None)