MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfin32i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isfin32i 9475
Description: One half of isfin3-2 9477. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfin32i (𝐴 ∈ FinIII → ¬ ω ≼* 𝐴)

Proof of Theorem isfin32i
StepHypRef Expression
1 isfin3 9406 . 2 (𝐴 ∈ FinIII ↔ 𝒫 𝐴 ∈ FinIV)
2 isfin4-2 9424 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∈ FinIV → (𝒫 𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝒫 𝐴))
32ibi 259 . . 3 (𝒫 𝐴 ∈ FinIV → ¬ ω ≼ 𝒫 𝐴)
4 relwdom 8713 . . . . . 6 Rel ≼*
54brrelex1i 5363 . . . . 5 (ω ≼* 𝐴 → ω ∈ V)
6 canth2g 8356 . . . . 5 (ω ∈ V → ω ≺ 𝒫 ω)
7 sdomdom 8223 . . . . 5 (ω ≺ 𝒫 ω → ω ≼ 𝒫 ω)
85, 6, 73syl 18 . . . 4 (ω ≼* 𝐴 → ω ≼ 𝒫 ω)
9 wdompwdom 8725 . . . 4 (ω ≼* 𝐴 → 𝒫 ω ≼ 𝒫 𝐴)
10 domtr 8248 . . . 4 ((ω ≼ 𝒫 ω ∧ 𝒫 ω ≼ 𝒫 𝐴) → ω ≼ 𝒫 𝐴)
118, 9, 10syl2anc 580 . . 3 (ω ≼* 𝐴 → ω ≼ 𝒫 𝐴)
123, 11nsyl 138 . 2 (𝒫 𝐴 ∈ FinIV → ¬ ω ≼* 𝐴)
131, 12sylbi 209 1 (𝐴 ∈ FinIII → ¬ ω ≼* 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wcel 2157  Vcvv 3385  𝒫 cpw 4349   class class class wbr 4843  ωcom 7299  cdom 8193  csdm 8194  * cwdom 8704  FinIVcfin4 9390  FinIIIcfin3 9391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-om 7300  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-wdom 8706  df-fin4 9397  df-fin3 9398
This theorem is referenced by:  isf33lem  9476  isfin3-2  9477  fin33i  9479
  Copyright terms: Public domain W3C validator