MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfin32i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isfin32i 10362
Description: One half of isfin3-2 10364. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfin32i (𝐴 ∈ FinIII → ¬ ω ≼* 𝐴)

Proof of Theorem isfin32i
StepHypRef Expression
1 isfin3 10293 . 2 (𝐴 ∈ FinIII ↔ 𝒫 𝐴 ∈ FinIV)
2 isfin4-2 10311 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∈ FinIV → (𝒫 𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝒫 𝐴))
32ibi 267 . . 3 (𝒫 𝐴 ∈ FinIV → ¬ ω ≼ 𝒫 𝐴)
4 relwdom 9563 . . . . . 6 Rel ≼*
54brrelex1i 5725 . . . . 5 (ω ≼* 𝐴 → ω ∈ V)
6 canth2g 9133 . . . . 5 (ω ∈ V → ω ≺ 𝒫 ω)
7 sdomdom 8978 . . . . 5 (ω ≺ 𝒫 ω → ω ≼ 𝒫 ω)
85, 6, 73syl 18 . . . 4 (ω ≼* 𝐴 → ω ≼ 𝒫 ω)
9 wdompwdom 9575 . . . 4 (ω ≼* 𝐴 → 𝒫 ω ≼ 𝒫 𝐴)
10 domtr 9005 . . . 4 ((ω ≼ 𝒫 ω ∧ 𝒫 ω ≼ 𝒫 𝐴) → ω ≼ 𝒫 𝐴)
118, 9, 10syl2anc 583 . . 3 (ω ≼* 𝐴 → ω ≼ 𝒫 𝐴)
123, 11nsyl 140 . 2 (𝒫 𝐴 ∈ FinIV → ¬ ω ≼* 𝐴)
131, 12sylbi 216 1 (𝐴 ∈ FinIII → ¬ ω ≼* 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wcel 2098  Vcvv 3468  𝒫 cpw 4597   class class class wbr 5141  ωcom 7852  cdom 8939  csdm 8940  * cwdom 9561  FinIVcfin4 10277  FinIIIcfin3 10278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-wdom 9562  df-fin4 10284  df-fin3 10285
This theorem is referenced by:  isf33lem  10363  isfin3-2  10364  fin33i  10366
  Copyright terms: Public domain W3C validator