MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmettpos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmettpos 24359
Description: The distance function of an extended metric space is symmetric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmettpos (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → tpos 𝐷 = 𝐷)

Proof of Theorem xmettpos
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmetsym 24357 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
213expb 1121 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
32ralrimivva 3202 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
4 xmetf 24339 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
5 ffn 6736 . . 3 (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋))
6 tpossym 8283 . . 3 (𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋) → (tpos 𝐷 = 𝐷 ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥)))
74, 5, 63syl 18 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (tpos 𝐷 = 𝐷 ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥)))
83, 7mpbird 257 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → tpos 𝐷 = 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061   × cxp 5683   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  tpos ctpos 8250  *cxr 11294  ∞Metcxmet 21349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-tpos 8251  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-xadd 13155  df-xmet 21357
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator