MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmsusp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmsusp 23174
Description: If the uniform set of a metric space is the uniform structure generated by its metric, then it is a uniform space. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xmsusp.x 𝑋 = (Base‘𝐹)
xmsusp.d 𝐷 = ((dist‘𝐹) ↾ (𝑋 × 𝑋))
xmsusp.u 𝑈 = (UnifSt‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
xmsusp ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐹 ∈ UnifSp)

Proof of Theorem xmsusp
StepHypRef Expression
1 simp3 1135 . . 3 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝑈 = (metUnif‘𝐷))
2 simp1 1133 . . . 4 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝑋 ≠ ∅)
3 xmsusp.x . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐹)
4 xmsusp.d . . . . . 6 𝐷 = ((dist‘𝐹) ↾ (𝑋 × 𝑋))
53, 4xmsxmet 23061 . . . . 5 (𝐹 ∈ ∞MetSp → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
653ad2ant2 1131 . . . 4 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7 xmetpsmet 22953 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
8 metuust 23165 . . . . 5 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋))
97, 8sylan2 595 . . . 4 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → (metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋))
102, 6, 9syl2anc 587 . . 3 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → (metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋))
111, 10eqeltrd 2914 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋))
12 xmetutop 23173 . . . 4 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → (unifTop‘(metUnif‘𝐷)) = (MetOpen‘𝐷))
132, 6, 12syl2anc 587 . . 3 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → (unifTop‘(metUnif‘𝐷)) = (MetOpen‘𝐷))
141fveq2d 6656 . . 3 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → (unifTop‘𝑈) = (unifTop‘(metUnif‘𝐷)))
15 eqid 2822 . . . . 5 (TopOpen‘𝐹) = (TopOpen‘𝐹)
1615, 3, 4xmstopn 23056 . . . 4 (𝐹 ∈ ∞MetSp → (TopOpen‘𝐹) = (MetOpen‘𝐷))
17163ad2ant2 1131 . . 3 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → (TopOpen‘𝐹) = (MetOpen‘𝐷))
1813, 14, 173eqtr4rd 2868 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → (TopOpen‘𝐹) = (unifTop‘𝑈))
19 xmsusp.u . . 3 𝑈 = (UnifSt‘𝐹)
203, 19, 15isusp 22865 . 2 (𝐹 ∈ UnifSp ↔ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ (TopOpen‘𝐹) = (unifTop‘𝑈)))
2111, 18, 20sylanbrc 586 1 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐹 ∈ UnifSp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011  c0 4265   × cxp 5530  cres 5534  cfv 6334  Basecbs 16474  distcds 16565  TopOpenctopn 16686  PsMetcpsmet 20073  ∞Metcxmet 20074  MetOpencmopn 20079  metUnifcmetu 20080  UnifOncust 22803  unifTopcutop 22834  UnifStcuss 22857  UnifSpcusp 22858  ∞MetSpcxms 22922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ico 12732  df-topgen 16708  df-psmet 20081  df-xmet 20082  df-bl 20084  df-mopn 20085  df-fbas 20086  df-fg 20087  df-metu 20088  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-fil 22449  df-ust 22804  df-utop 22835  df-usp 22861  df-xms 22925
This theorem is referenced by:  cmetcusp1  23955
  Copyright terms: Public domain W3C validator