Theorem xmsusp 24433

Description: If the uniform set of a metric space is the uniform structure generated by its metric, then it is a uniform space. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xmsusp.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐹)
xmsusp.d	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐹) ↾ (𝑋 × 𝑋))
xmsusp.u	⊢ 𝑈 = (UnifSt‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
xmsusp	⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐹 ∈ UnifSp)

Proof of Theorem xmsusp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝑈 = (metUnif‘𝐷))
2		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝑋 ≠ ∅)
3		xmsusp.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐹)
4		xmsusp.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐹) ↾ (𝑋 × 𝑋))
5	3, 4	xmsxmet 24320	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ ∞MetSp → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6	5	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7		xmetpsmet 24212	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
8		metuust 24424	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋))
9	7, 8	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → (metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋))
10	2, 6, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → (metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋))
11	1, 10	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋))
12		xmetutop 24432	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → (unifTop‘(metUnif‘𝐷)) = (MetOpen‘𝐷))
13	2, 6, 12	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → (unifTop‘(metUnif‘𝐷)) = (MetOpen‘𝐷))
14	1	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → (unifTop‘𝑈) = (unifTop‘(metUnif‘𝐷)))
15		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘𝐹) = (TopOpen‘𝐹)
16	15, 3, 4	xmstopn 24315	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ∞MetSp → (TopOpen‘𝐹) = (MetOpen‘𝐷))
17	16	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → (TopOpen‘𝐹) = (MetOpen‘𝐷))
18	13, 14, 17	3eqtr4rd 2775	. 2 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → (TopOpen‘𝐹) = (unifTop‘𝑈))
19		xmsusp.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (UnifSt‘𝐹)
20	3, 19, 15	isusp 24125	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ UnifSp ↔ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ (TopOpen‘𝐹) = (unifTop‘𝑈)))
21	11, 18, 20	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐹 ∈ UnifSp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∅c0 4292   × cxp 5629   ↾ cres 5633  ‘cfv 6499  Basecbs 17155  distcds 17205  TopOpenctopn 17360  PsMetcpsmet 21224  ∞Metcxmet 21225  MetOpencmopn 21230  metUnifcmetu 21231  UnifOncust 24063  unifTopcutop 24094  UnifStcuss 24117  UnifSpcusp 24118  ∞MetSpcxms 24181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ico 13288  df-topgen 17382  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-metu 21239  df-top 22757  df-topon 22774  df-topsp 22796  df-bases 22809  df-fil 23709  df-ust 24064  df-utop 24095  df-usp 24121  df-xms 24184

This theorem is referenced by:  cmetcusp1  25229