Theorem xmsusp 24598

Description: If the uniform set of a metric space is the uniform structure generated by its metric, then it is a uniform space. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xmsusp.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐹)
xmsusp.d	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐹) ↾ (𝑋 × 𝑋))
xmsusp.u	⊢ 𝑈 = (UnifSt‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
xmsusp	⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐹 ∈ UnifSp)

Proof of Theorem xmsusp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1137	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝑈 = (metUnif‘𝐷))
2		simp1 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝑋 ≠ ∅)
3		xmsusp.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐹)
4		xmsusp.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐹) ↾ (𝑋 × 𝑋))
5	3, 4	xmsxmet 24482	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ ∞MetSp → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6	5	3ad2ant2 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7		xmetpsmet 24374	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
8		metuust 24589	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋))
9	7, 8	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → (metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋))
10	2, 6, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → (metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋))
11	1, 10	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋))
12		xmetutop 24597	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → (unifTop‘(metUnif‘𝐷)) = (MetOpen‘𝐷))
13	2, 6, 12	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → (unifTop‘(metUnif‘𝐷)) = (MetOpen‘𝐷))
14	1	fveq2d 6911	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → (unifTop‘𝑈) = (unifTop‘(metUnif‘𝐷)))
15		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘𝐹) = (TopOpen‘𝐹)
16	15, 3, 4	xmstopn 24477	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ∞MetSp → (TopOpen‘𝐹) = (MetOpen‘𝐷))
17	16	3ad2ant2 1133	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → (TopOpen‘𝐹) = (MetOpen‘𝐷))
18	13, 14, 17	3eqtr4rd 2786	. 2 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → (TopOpen‘𝐹) = (unifTop‘𝑈))
19		xmsusp.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (UnifSt‘𝐹)
20	3, 19, 15	isusp 24286	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ UnifSp ↔ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ (TopOpen‘𝐹) = (unifTop‘𝑈)))
21	11, 18, 20	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐹 ∈ UnifSp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∅c0 4339   × cxp 5687   ↾ cres 5691  ‘cfv 6563  Basecbs 17245  distcds 17307  TopOpenctopn 17468  PsMetcpsmet 21366  ∞Metcxmet 21367  MetOpencmopn 21372  metUnifcmetu 21373  UnifOncust 24224  unifTopcutop 24255  UnifStcuss 24278  UnifSpcusp 24279  ∞MetSpcxms 24343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ico 13390  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-metu 21381  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-fil 23870  df-ust 24225  df-utop 24256  df-usp 24282  df-xms 24346

This theorem is referenced by:  cmetcusp1  25401