Theorem xmsusp 24552

Description: If the uniform set of a metric space is the uniform structure generated by its metric, then it is a uniform space. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xmsusp.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐹)
xmsusp.d	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐹) ↾ (𝑋 × 𝑋))
xmsusp.u	⊢ 𝑈 = (UnifSt‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
xmsusp	⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐹 ∈ UnifSp)

Proof of Theorem xmsusp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1144	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝑈 = (metUnif‘𝐷))
2		simp1 1142	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝑋 ≠ ∅)
3		xmsusp.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐹)
4		xmsusp.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐹) ↾ (𝑋 × 𝑋))
5	3, 4	xmsxmet 24439	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ ∞MetSp → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6	5	3ad2ant2 1140	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7		xmetpsmet 24331	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
8		metuust 24543	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋))
9	7, 8	sylan2 599	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → (metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋))
10	2, 6, 9	syl2anc 590	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → (metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋))
11	1, 10	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋))
12		xmetutop 24551	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → (unifTop‘(metUnif‘𝐷)) = (MetOpen‘𝐷))
13	2, 6, 12	syl2anc 590	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → (unifTop‘(metUnif‘𝐷)) = (MetOpen‘𝐷))
14	1	fveq2d 6831	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → (unifTop‘𝑈) = (unifTop‘(metUnif‘𝐷)))
15		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘𝐹) = (TopOpen‘𝐹)
16	15, 3, 4	xmstopn 24434	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ∞MetSp → (TopOpen‘𝐹) = (MetOpen‘𝐷))
17	16	3ad2ant2 1140	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → (TopOpen‘𝐹) = (MetOpen‘𝐷))
18	13, 14, 17	3eqtr4rd 2785	. 2 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → (TopOpen‘𝐹) = (unifTop‘𝑈))
19		xmsusp.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (UnifSt‘𝐹)
20	3, 19, 15	isusp 24244	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ UnifSp ↔ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ (TopOpen‘𝐹) = (unifTop‘𝑈)))
21	11, 18, 20	sylanbrc 589	1 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐹 ∈ UnifSp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∅c0 4261   × cxp 5616   ↾ cres 5620  ‘cfv 6485  Basecbs 17170  distcds 17220  TopOpenctopn 17375  PsMetcpsmet 21331  ∞Metcxmet 21332  MetOpencmopn 21337  metUnifcmetu 21338  UnifOncust 24183  unifTopcutop 24213  UnifStcuss 24236  UnifSpcusp 24237  ∞MetSpcxms 24300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ico 13295  df-topgen 17397  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-metu 21346  df-top 22877  df-topon 22894  df-topsp 22916  df-bases 22929  df-fil 23829  df-ust 24184  df-utop 24214  df-usp 24240  df-xms 24303

This theorem is referenced by:  cmetcusp1  25338