Theorem xmsusp 24511

Description: If the uniform set of a metric space is the uniform structure generated by its metric, then it is a uniform space. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xmsusp.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐹)
xmsusp.d	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐹) ↾ (𝑋 × 𝑋))
xmsusp.u	⊢ 𝑈 = (UnifSt‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
xmsusp	⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐹 ∈ UnifSp)

Proof of Theorem xmsusp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝑈 = (metUnif‘𝐷))
2		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝑋 ≠ ∅)
3		xmsusp.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐹)
4		xmsusp.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐹) ↾ (𝑋 × 𝑋))
5	3, 4	xmsxmet 24398	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ ∞MetSp → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6	5	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7		xmetpsmet 24290	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
8		metuust 24502	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋))
9	7, 8	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → (metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋))
10	2, 6, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → (metUnif‘𝐷) ∈ (UnifOn‘𝑋))
11	1, 10	eqeltrd 2834	. 2 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋))
12		xmetutop 24510	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → (unifTop‘(metUnif‘𝐷)) = (MetOpen‘𝐷))
13	2, 6, 12	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → (unifTop‘(metUnif‘𝐷)) = (MetOpen‘𝐷))
14	1	fveq2d 6836	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → (unifTop‘𝑈) = (unifTop‘(metUnif‘𝐷)))
15		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘𝐹) = (TopOpen‘𝐹)
16	15, 3, 4	xmstopn 24393	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ∞MetSp → (TopOpen‘𝐹) = (MetOpen‘𝐷))
17	16	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → (TopOpen‘𝐹) = (MetOpen‘𝐷))
18	13, 14, 17	3eqtr4rd 2780	. 2 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → (TopOpen‘𝐹) = (unifTop‘𝑈))
19		xmsusp.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (UnifSt‘𝐹)
20	3, 19, 15	isusp 24203	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ UnifSp ↔ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ (TopOpen‘𝐹) = (unifTop‘𝑈)))
21	11, 18, 20	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐹 ∈ UnifSp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∅c0 4283   × cxp 5620   ↾ cres 5624  ‘cfv 6490  Basecbs 17134  distcds 17184  TopOpenctopn 17339  PsMetcpsmet 21291  ∞Metcxmet 21292  MetOpencmopn 21297  metUnifcmetu 21298  UnifOncust 24142  unifTopcutop 24172  UnifStcuss 24195  UnifSpcusp 24196  ∞MetSpcxms 24259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-sup 9343  df-inf 9344  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-ico 13265  df-topgen 17361  df-psmet 21299  df-xmet 21300  df-bl 21302  df-mopn 21303  df-fbas 21304  df-fg 21305  df-metu 21306  df-top 22836  df-topon 22853  df-topsp 22875  df-bases 22888  df-fil 23788  df-ust 24143  df-utop 24173  df-usp 24199  df-xms 24262

This theorem is referenced by:  cmetcusp1  25307