Theorem reust 24545

Description: The Uniform structure of the real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
reust	⊢ (UnifSt‘ℝfld) = (metUnif‘((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ)))

Proof of Theorem reust

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-refld 20810	. . . 4 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
2	1	fveq2i 6777	. . 3 ⊢ (UnifSt‘ℝfld) = (UnifSt‘(ℂfld ↾s ℝ))
3		reex 10962	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
4		ressuss 23414	. . . 4 ⊢ (ℝ ∈ V → (UnifSt‘(ℂfld ↾s ℝ)) = ((UnifSt‘ℂfld) ↾t (ℝ × ℝ)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (UnifSt‘(ℂfld ↾s ℝ)) = ((UnifSt‘ℂfld) ↾t (ℝ × ℝ))
6		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (UnifSt‘ℂfld) = (UnifSt‘ℂfld)
7	6	cnflduss 24520	. . . 4 ⊢ (UnifSt‘ℂfld) = (metUnif‘(abs ∘ − ))
8	7	oveq1i 7285	. . 3 ⊢ ((UnifSt‘ℂfld) ↾t (ℝ × ℝ)) = ((metUnif‘(abs ∘ − )) ↾t (ℝ × ℝ))
9	2, 5, 8	3eqtri 2770	. 2 ⊢ (UnifSt‘ℝfld) = ((metUnif‘(abs ∘ − )) ↾t (ℝ × ℝ))
10		0re 10977	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
11	10	ne0ii 4271	. . 3 ⊢ ℝ ≠ ∅
12		cnxmet 23936	. . . 4 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
13		xmetpsmet 23501	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ))
14	12, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ)
15		ax-resscn 10928	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
16		restmetu 23726	. . 3 ⊢ ((ℝ ≠ ∅ ∧ (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ) ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((metUnif‘(abs ∘ − )) ↾t (ℝ × ℝ)) = (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))))
17	11, 14, 15, 16	mp3an 1460	. 2 ⊢ ((metUnif‘(abs ∘ − )) ↾t (ℝ × ℝ)) = (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
18		reds 20821	. . . 4 ⊢ (abs ∘ − ) = (dist‘ℝfld)
19	18	reseq1i 5887	. . 3 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ))
20	19	fveq2i 6777	. 2 ⊢ (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (metUnif‘((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ)))
21	9, 17, 20	3eqtri 2770	1 ⊢ (UnifSt‘ℝfld) = (metUnif‘((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ)))

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256   × cxp 5587   ↾ cres 5591   ∘ ccom 5593  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871   − cmin 11205  abscabs 14945   ↾_s cress 16941  distcds 16971   ↾_t crest 17131  PsMetcpsmet 20581  ∞Metcxmet 20582  metUnifcmetu 20588  ℂ_fldccnfld 20597  ℝ_fldcrefld 20809  UnifStcuss 23405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ico 13085  df-fz 13240  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-rest 17133  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-metu 20596  df-cnfld 20598  df-refld 20810  df-fil 22997  df-ust 23352  df-uss 23408

This theorem is referenced by:  recusp  24546  rerrext  31959