Theorem reust 25228

Description: The Uniform structure of the real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
reust	⊢ (UnifSt‘ℝfld) = (metUnif‘((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ)))

Proof of Theorem reust

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-refld 21467	. . . 4 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
2	1	fveq2i 6894	. . 3 ⊢ (UnifSt‘ℝfld) = (UnifSt‘(ℂfld ↾s ℝ))
3		reex 11207	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
4		ressuss 24086	. . . 4 ⊢ (ℝ ∈ V → (UnifSt‘(ℂfld ↾s ℝ)) = ((UnifSt‘ℂfld) ↾t (ℝ × ℝ)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (UnifSt‘(ℂfld ↾s ℝ)) = ((UnifSt‘ℂfld) ↾t (ℝ × ℝ))
6		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (UnifSt‘ℂfld) = (UnifSt‘ℂfld)
7	6	cnflduss 25203	. . . 4 ⊢ (UnifSt‘ℂfld) = (metUnif‘(abs ∘ − ))
8	7	oveq1i 7422	. . 3 ⊢ ((UnifSt‘ℂfld) ↾t (ℝ × ℝ)) = ((metUnif‘(abs ∘ − )) ↾t (ℝ × ℝ))
9	2, 5, 8	3eqtri 2763	. 2 ⊢ (UnifSt‘ℝfld) = ((metUnif‘(abs ∘ − )) ↾t (ℝ × ℝ))
10		0re 11223	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
11	10	ne0ii 4337	. . 3 ⊢ ℝ ≠ ∅
12		cnxmet 24608	. . . 4 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
13		xmetpsmet 24173	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ))
14	12, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ)
15		ax-resscn 11173	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
16		restmetu 24398	. . 3 ⊢ ((ℝ ≠ ∅ ∧ (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ) ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((metUnif‘(abs ∘ − )) ↾t (ℝ × ℝ)) = (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))))
17	11, 14, 15, 16	mp3an 1460	. 2 ⊢ ((metUnif‘(abs ∘ − )) ↾t (ℝ × ℝ)) = (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
18		reds 21478	. . . 4 ⊢ (abs ∘ − ) = (dist‘ℝfld)
19	18	reseq1i 5977	. . 3 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ))
20	19	fveq2i 6894	. 2 ⊢ (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (metUnif‘((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ)))
21	9, 17, 20	3eqtri 2763	1 ⊢ (UnifSt‘ℝfld) = (metUnif‘((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ)))

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  Vcvv 3473   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322   × cxp 5674   ↾ cres 5678   ∘ ccom 5680  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℂcc 11114  ℝcr 11115  0cc0 11116   − cmin 11451  abscabs 15188   ↾_s cress 17180  distcds 17213   ↾_t crest 17373  PsMetcpsmet 21216  ∞Metcxmet 21217  metUnifcmetu 21223  ℂ_fldccnfld 21232  ℝ_fldcrefld 21466  UnifStcuss 24077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ico 13337  df-fz 13492  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-rest 17375  df-psmet 21224  df-xmet 21225  df-met 21226  df-fbas 21229  df-fg 21230  df-metu 21231  df-cnfld 21233  df-refld 21467  df-fil 23669  df-ust 24024  df-uss 24080

This theorem is referenced by:  recusp  25229  rerrext  33452