Theorem reust 25373

Description: The Uniform structure of the real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
reust	⊢ (UnifSt‘ℝfld) = (metUnif‘((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ)))

Proof of Theorem reust

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-refld 21587	. . . 4 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
2	1	fveq2i 6837	. . 3 ⊢ (UnifSt‘ℝfld) = (UnifSt‘(ℂfld ↾s ℝ))
3		reex 11127	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
4		ressuss 24252	. . . 4 ⊢ (ℝ ∈ V → (UnifSt‘(ℂfld ↾s ℝ)) = ((UnifSt‘ℂfld) ↾t (ℝ × ℝ)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (UnifSt‘(ℂfld ↾s ℝ)) = ((UnifSt‘ℂfld) ↾t (ℝ × ℝ))
6		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (UnifSt‘ℂfld) = (UnifSt‘ℂfld)
7	6	cnflduss 25348	. . . 4 ⊢ (UnifSt‘ℂfld) = (metUnif‘(abs ∘ − ))
8	7	oveq1i 7373	. . 3 ⊢ ((UnifSt‘ℂfld) ↾t (ℝ × ℝ)) = ((metUnif‘(abs ∘ − )) ↾t (ℝ × ℝ))
9	2, 5, 8	3eqtri 2767	. 2 ⊢ (UnifSt‘ℝfld) = ((metUnif‘(abs ∘ − )) ↾t (ℝ × ℝ))
10		0re 11144	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
11	10	ne0ii 4279	. . 3 ⊢ ℝ ≠ ∅
12		cnxmet 24762	. . . 4 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
13		xmetpsmet 24338	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ))
14	12, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ)
15		ax-resscn 11093	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
16		restmetu 24560	. . 3 ⊢ ((ℝ ≠ ∅ ∧ (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ) ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((metUnif‘(abs ∘ − )) ↾t (ℝ × ℝ)) = (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))))
17	11, 14, 15, 16	mp3an 1469	. 2 ⊢ ((metUnif‘(abs ∘ − )) ↾t (ℝ × ℝ)) = (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
18		reds 21598	. . . 4 ⊢ (abs ∘ − ) = (dist‘ℝfld)
19	18	reseq1i 5934	. . 3 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ))
20	19	fveq2i 6837	. 2 ⊢ (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (metUnif‘((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ)))
21	9, 17, 20	3eqtri 2767	1 ⊢ (UnifSt‘ℝfld) = (metUnif‘((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ)))

Syntax hints:   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  Vcvv 3432   ⊆ wss 3890  ∅c0 4268   × cxp 5623   ↾ cres 5627   ∘ ccom 5629  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  ℝcr 11035  0cc0 11036   − cmin 11375  abscabs 15194   ↾_s cress 17198  distcds 17227   ↾_t crest 17381  PsMetcpsmet 21338  ∞Metcxmet 21339  metUnifcmetu 21345  ℂ_fldccnfld 21354  ℝ_fldcrefld 21586  UnifStcuss 24243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-rp 12941  df-xneg 13061  df-xadd 13062  df-xmul 13063  df-ico 13302  df-fz 13460  df-seq 13962  df-exp 14022  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-rest 17383  df-psmet 21346  df-xmet 21347  df-met 21348  df-fbas 21351  df-fg 21352  df-metu 21353  df-cnfld 21355  df-refld 21587  df-fil 23836  df-ust 24191  df-uss 24246

This theorem is referenced by:  recusp  25374  rerrext  34200