MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reust Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reust 25253
Description: The Uniform structure of the real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
reust (UnifSt‘ℝfld) = (metUnif‘((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ)))

Proof of Theorem reust
StepHypRef Expression
1 df-refld 21487 . . . 4 fld = (ℂflds ℝ)
21fveq2i 6885 . . 3 (UnifSt‘ℝfld) = (UnifSt‘(ℂflds ℝ))
3 reex 11198 . . . 4 ℝ ∈ V
4 ressuss 24111 . . . 4 (ℝ ∈ V → (UnifSt‘(ℂflds ℝ)) = ((UnifSt‘ℂfld) ↾t (ℝ × ℝ)))
53, 4ax-mp 5 . . 3 (UnifSt‘(ℂflds ℝ)) = ((UnifSt‘ℂfld) ↾t (ℝ × ℝ))
6 eqid 2724 . . . . 5 (UnifSt‘ℂfld) = (UnifSt‘ℂfld)
76cnflduss 25228 . . . 4 (UnifSt‘ℂfld) = (metUnif‘(abs ∘ − ))
87oveq1i 7412 . . 3 ((UnifSt‘ℂfld) ↾t (ℝ × ℝ)) = ((metUnif‘(abs ∘ − )) ↾t (ℝ × ℝ))
92, 5, 83eqtri 2756 . 2 (UnifSt‘ℝfld) = ((metUnif‘(abs ∘ − )) ↾t (ℝ × ℝ))
10 0re 11215 . . . 4 0 ∈ ℝ
1110ne0ii 4330 . . 3 ℝ ≠ ∅
12 cnxmet 24633 . . . 4 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
13 xmetpsmet 24198 . . . 4 ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ))
1412, 13ax-mp 5 . . 3 (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ)
15 ax-resscn 11164 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
16 restmetu 24423 . . 3 ((ℝ ≠ ∅ ∧ (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ) ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((metUnif‘(abs ∘ − )) ↾t (ℝ × ℝ)) = (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))))
1711, 14, 15, 16mp3an 1457 . 2 ((metUnif‘(abs ∘ − )) ↾t (ℝ × ℝ)) = (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
18 reds 21498 . . . 4 (abs ∘ − ) = (dist‘ℝfld)
1918reseq1i 5968 . . 3 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ))
2019fveq2i 6885 . 2 (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (metUnif‘((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ)))
219, 17, 203eqtri 2756 1 (UnifSt‘ℝfld) = (metUnif‘((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  Vcvv 3466  wss 3941  c0 4315   × cxp 5665  cres 5669  ccom 5671  cfv 6534  (class class class)co 7402  cc 11105  cr 11106  0cc0 11107  cmin 11443  abscabs 15183  s cress 17178  distcds 17211  t crest 17371  PsMetcpsmet 21218  ∞Metcxmet 21219  metUnifcmetu 21225  fldccnfld 21234  fldcrefld 21486  UnifStcuss 24102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-xmul 13095  df-ico 13331  df-fz 13486  df-seq 13968  df-exp 14029  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-rest 17373  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-fbas 21231  df-fg 21232  df-metu 21233  df-cnfld 21235  df-refld 21487  df-fil 23694  df-ust 24049  df-uss 24105
This theorem is referenced by:  recusp  25254  rerrext  33508
  Copyright terms: Public domain W3C validator