Theorem reust 25501

Description: The Uniform structure of the real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
reust	⊢ (UnifSt‘ℝfld) = (metUnif‘((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ)))

Proof of Theorem reust

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-refld 21715	. . . 4 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
2	1	fveq2i 6874	. . 3 ⊢ (UnifSt‘ℝfld) = (UnifSt‘(ℂfld ↾s ℝ))
3		reex 11179	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
4		ressuss 24380	. . . 4 ⊢ (ℝ ∈ V → (UnifSt‘(ℂfld ↾s ℝ)) = ((UnifSt‘ℂfld) ↾t (ℝ × ℝ)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (UnifSt‘(ℂfld ↾s ℝ)) = ((UnifSt‘ℂfld) ↾t (ℝ × ℝ))
6		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (UnifSt‘ℂfld) = (UnifSt‘ℂfld)
7	6	cnflduss 25476	. . . 4 ⊢ (UnifSt‘ℂfld) = (metUnif‘(abs ∘ − ))
8	7	oveq1i 7410	. . 3 ⊢ ((UnifSt‘ℂfld) ↾t (ℝ × ℝ)) = ((metUnif‘(abs ∘ − )) ↾t (ℝ × ℝ))
9	2, 5, 8	3eqtri 2792	. 2 ⊢ (UnifSt‘ℝfld) = ((metUnif‘(abs ∘ − )) ↾t (ℝ × ℝ))
10		0re 11198	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
11	10	ne0ii 4299	. . 3 ⊢ ℝ ≠ ∅
12		cnxmet 24890	. . . 4 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
13		xmetpsmet 24466	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ))
14	12, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ)
15		ax-resscn 11145	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
16		restmetu 24688	. . 3 ⊢ ((ℝ ≠ ∅ ∧ (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ) ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((metUnif‘(abs ∘ − )) ↾t (ℝ × ℝ)) = (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))))
17	11, 14, 15, 16	mp3an 1485	. 2 ⊢ ((metUnif‘(abs ∘ − )) ↾t (ℝ × ℝ)) = (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
18		reds 21726	. . . 4 ⊢ (abs ∘ − ) = (dist‘ℝfld)
19	18	reseq1i 5965	. . 3 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ))
20	19	fveq2i 6874	. 2 ⊢ (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (metUnif‘((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ)))
21	9, 17, 20	3eqtri 2792	1 ⊢ (UnifSt‘ℝfld) = (metUnif‘((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ)))

Syntax hints:   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  Vcvv 3457   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288   × cxp 5650   ↾ cres 5654   ∘ ccom 5656  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  ℝcr 11087  0cc0 11088   − cmin 11429  abscabs 15275   ↾_s cress 17280  distcds 17309   ↾_t crest 17463  PsMetcpsmet 21466  ∞Metcxmet 21467  metUnifcmetu 21473  ℂ_fldccnfld 21482  ℝ_fldcrefld 21714  UnifStcuss 24371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-rp 13008  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ico 13369  df-fz 13527  df-seq 14029  df-exp 14089  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-starv 17315  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-unif 17323  df-rest 17465  df-psmet 21474  df-xmet 21475  df-met 21476  df-fbas 21479  df-fg 21480  df-metu 21481  df-cnfld 21483  df-refld 21715  df-fil 23964  df-ust 24319  df-uss 24374

This theorem is referenced by:  recusp  25502  rerrext  34316