MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reust Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reust 25308
Description: The Uniform structure of the real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
reust (UnifSt‘ℝfld) = (metUnif‘((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ)))

Proof of Theorem reust
StepHypRef Expression
1 df-refld 21536 . . . 4 fld = (ℂflds ℝ)
21fveq2i 6900 . . 3 (UnifSt‘ℝfld) = (UnifSt‘(ℂflds ℝ))
3 reex 11229 . . . 4 ℝ ∈ V
4 ressuss 24166 . . . 4 (ℝ ∈ V → (UnifSt‘(ℂflds ℝ)) = ((UnifSt‘ℂfld) ↾t (ℝ × ℝ)))
53, 4ax-mp 5 . . 3 (UnifSt‘(ℂflds ℝ)) = ((UnifSt‘ℂfld) ↾t (ℝ × ℝ))
6 eqid 2728 . . . . 5 (UnifSt‘ℂfld) = (UnifSt‘ℂfld)
76cnflduss 25283 . . . 4 (UnifSt‘ℂfld) = (metUnif‘(abs ∘ − ))
87oveq1i 7430 . . 3 ((UnifSt‘ℂfld) ↾t (ℝ × ℝ)) = ((metUnif‘(abs ∘ − )) ↾t (ℝ × ℝ))
92, 5, 83eqtri 2760 . 2 (UnifSt‘ℝfld) = ((metUnif‘(abs ∘ − )) ↾t (ℝ × ℝ))
10 0re 11246 . . . 4 0 ∈ ℝ
1110ne0ii 4338 . . 3 ℝ ≠ ∅
12 cnxmet 24688 . . . 4 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
13 xmetpsmet 24253 . . . 4 ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ))
1412, 13ax-mp 5 . . 3 (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ)
15 ax-resscn 11195 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
16 restmetu 24478 . . 3 ((ℝ ≠ ∅ ∧ (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ) ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((metUnif‘(abs ∘ − )) ↾t (ℝ × ℝ)) = (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))))
1711, 14, 15, 16mp3an 1458 . 2 ((metUnif‘(abs ∘ − )) ↾t (ℝ × ℝ)) = (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
18 reds 21547 . . . 4 (abs ∘ − ) = (dist‘ℝfld)
1918reseq1i 5981 . . 3 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ))
2019fveq2i 6900 . 2 (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (metUnif‘((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ)))
219, 17, 203eqtri 2760 1 (UnifSt‘ℝfld) = (metUnif‘((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2937  Vcvv 3471  wss 3947  c0 4323   × cxp 5676  cres 5680  ccom 5682  cfv 6548  (class class class)co 7420  cc 11136  cr 11137  0cc0 11138  cmin 11474  abscabs 15213  s cress 17208  distcds 17241  t crest 17401  PsMetcpsmet 21262  ∞Metcxmet 21263  metUnifcmetu 21269  fldccnfld 21278  fldcrefld 21535  UnifStcuss 24157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ico 13362  df-fz 13517  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-rest 17403  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-fbas 21275  df-fg 21276  df-metu 21277  df-cnfld 21279  df-refld 21536  df-fil 23749  df-ust 24104  df-uss 24160
This theorem is referenced by:  recusp  25309  rerrext  33610
  Copyright terms: Public domain W3C validator