MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reust Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reust 23655
Description: The Uniform structure of the real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
reust (UnifSt‘ℝfld) = (metUnif‘((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ)))

Proof of Theorem reust
StepHypRef Expression
1 df-refld 20419 . . . 4 fld = (ℂflds ℝ)
21fveq2i 6533 . . 3 (UnifSt‘ℝfld) = (UnifSt‘(ℂflds ℝ))
3 reex 10463 . . . 4 ℝ ∈ V
4 ressuss 22543 . . . 4 (ℝ ∈ V → (UnifSt‘(ℂflds ℝ)) = ((UnifSt‘ℂfld) ↾t (ℝ × ℝ)))
53, 4ax-mp 5 . . 3 (UnifSt‘(ℂflds ℝ)) = ((UnifSt‘ℂfld) ↾t (ℝ × ℝ))
6 eqid 2793 . . . . 5 (UnifSt‘ℂfld) = (UnifSt‘ℂfld)
76cnflduss 23630 . . . 4 (UnifSt‘ℂfld) = (metUnif‘(abs ∘ − ))
87oveq1i 7017 . . 3 ((UnifSt‘ℂfld) ↾t (ℝ × ℝ)) = ((metUnif‘(abs ∘ − )) ↾t (ℝ × ℝ))
92, 5, 83eqtri 2821 . 2 (UnifSt‘ℝfld) = ((metUnif‘(abs ∘ − )) ↾t (ℝ × ℝ))
10 0re 10478 . . . 4 0 ∈ ℝ
1110ne0ii 4217 . . 3 ℝ ≠ ∅
12 cnxmet 23052 . . . 4 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
13 xmetpsmet 22629 . . . 4 ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ))
1412, 13ax-mp 5 . . 3 (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ)
15 ax-resscn 10429 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
16 restmetu 22851 . . 3 ((ℝ ≠ ∅ ∧ (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ) ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((metUnif‘(abs ∘ − )) ↾t (ℝ × ℝ)) = (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))))
1711, 14, 15, 16mp3an 1451 . 2 ((metUnif‘(abs ∘ − )) ↾t (ℝ × ℝ)) = (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
18 reds 20430 . . . 4 (abs ∘ − ) = (dist‘ℝfld)
1918reseq1i 5722 . . 3 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ))
2019fveq2i 6533 . 2 (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (metUnif‘((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ)))
219, 17, 203eqtri 2821 1 (UnifSt‘ℝfld) = (metUnif‘((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1520  wcel 2079  wne 2982  Vcvv 3432  wss 3854  c0 4206   × cxp 5433  cres 5437  ccom 5439  cfv 6217  (class class class)co 7007  cc 10370  cr 10371  0cc0 10372  cmin 10706  abscabs 14415  s cress 16301  distcds 16391  t crest 16511  PsMetcpsmet 20199  ∞Metcxmet 20200  metUnifcmetu 20206  fldccnfld 20215  fldcrefld 20418  UnifStcuss 22533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449  ax-pre-sup 10450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-1o 7944  df-oadd 7948  df-er 8130  df-map 8249  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-sup 8742  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-div 11135  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-4 11539  df-5 11540  df-6 11541  df-7 11542  df-8 11543  df-9 11544  df-n0 11735  df-z 11819  df-dec 11937  df-uz 12083  df-rp 12229  df-xneg 12346  df-xadd 12347  df-xmul 12348  df-ico 12583  df-fz 12732  df-seq 13208  df-exp 13268  df-cj 14280  df-re 14281  df-im 14282  df-sqrt 14416  df-abs 14417  df-struct 16302  df-ndx 16303  df-slot 16304  df-base 16306  df-sets 16307  df-ress 16308  df-plusg 16395  df-mulr 16396  df-starv 16397  df-tset 16401  df-ple 16402  df-ds 16404  df-unif 16405  df-rest 16513  df-psmet 20207  df-xmet 20208  df-met 20209  df-fbas 20212  df-fg 20213  df-metu 20214  df-cnfld 20216  df-refld 20419  df-fil 22126  df-ust 22480  df-uss 22536
This theorem is referenced by:  recusp  23656  rerrext  30823
  Copyright terms: Public domain W3C validator