Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrgepnfd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrgepnfd 41588
Description: An extended real greater than or equal to +∞ is +∞ (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
xrgepnfd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xrgepnfd.2 (𝜑 → +∞ ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
xrgepnfd (𝜑𝐴 = +∞)

Proof of Theorem xrgepnfd
StepHypRef Expression
1 xrgepnfd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2 pnfxr 10687 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
32a1i 11 . 2 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
4 pnfge 12517 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≤ +∞)
51, 4syl 17 . 2 (𝜑𝐴 ≤ +∞)
6 xrgepnfd.2 . 2 (𝜑 → +∞ ≤ 𝐴)
71, 3, 5, 6xrletrid 12540 1 (𝜑𝐴 = +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1531  wcel 2108   class class class wbr 5057  +∞cpnf 10664  *cxr 10666  cle 10668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673
This theorem is referenced by:  fge0iccico  42642  sge0le  42679  sge0iunmpt  42690  sge0xadd  42707  voliunsge0lem  42744  hoicvrrex  42828
  Copyright terms: Public domain W3C validator