Theorem xrgepnfd 43814

Description: An extended real greater than or equal to +∞ is +∞ (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrgepnfd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrgepnfd.2	⊢ (𝜑 → +∞ ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
xrgepnfd	⊢ (𝜑 → 𝐴 = +∞)

Proof of Theorem xrgepnfd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrgepnfd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		pnfxr 11250	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
4		pnfge 13092	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)
5	1, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ +∞)
6		xrgepnfd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → +∞ ≤ 𝐴)
7	1, 3, 5, 6	xrletrid 13116	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = +∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5141  +∞cpnf 11227  ℝ^*cxr 11229   ≤ cle 11231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236

This theorem is referenced by:  fge0iccico  44859  sge0le  44896  sge0iunmpt  44907  sge0xadd  44924  voliunsge0lem  44961  hoicvrrex  45045