Theorem xrgepnfd 43668

Description: An extended real greater than or equal to +∞ is +∞ (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrgepnfd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrgepnfd.2	⊢ (𝜑 → +∞ ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
xrgepnfd	⊢ (𝜑 → 𝐴 = +∞)

Proof of Theorem xrgepnfd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrgepnfd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		pnfxr 11219	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
4		pnfge 13061	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)
5	1, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ +∞)
6		xrgepnfd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → +∞ ≤ 𝐴)
7	1, 3, 5, 6	xrletrid 13085	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = +∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5111  +∞cpnf 11196  ℝ^*cxr 11198   ≤ cle 11200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2703  ax-sep 5262  ax-nul 5269  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7678  ax-cnex 11117  ax-resscn 11118  ax-pre-lttri 11135  ax-pre-lttrn 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4289  df-if 4493  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4872  df-br 5112  df-opab 5174  df-mpt 5195  df-id 5537  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5645  df-rel 5646  df-cnv 5647  df-co 5648  df-dm 5649  df-rn 5650  df-res 5651  df-ima 5652  df-iota 6454  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-er 8656  df-en 8892  df-dom 8893  df-sdom 8894  df-pnf 11201  df-mnf 11202  df-xr 11203  df-ltxr 11204  df-le 11205

This theorem is referenced by:  fge0iccico  44713  sge0le  44750  sge0iunmpt  44761  sge0xadd  44778  voliunsge0lem  44815  hoicvrrex  44899