Theorem sge0xadd 45720

Description: The extended addition of two generalized sums of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0xadd.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0xadd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0xadd.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0xadd.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0xadd	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem sge0xadd

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
2	1	oveq1d 7420	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = (+∞ +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
3		sge0xadd.kph	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
4		sge0xadd.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		sge0xadd.c	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
6	3, 4, 5	sge0xrclmpt 45713	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ*)
7		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
8	3, 5, 7	fmptdf 7112	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶(0[,]+∞))
9	4, 8	sge0nemnf 45705	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ≠ -∞)
10		xaddpnf2 13212	. . . . 5 ⊢ (((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ* ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = +∞)
11	6, 9, 10	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+∞ +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = +∞)
12	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → (+∞ +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = +∞)
13		sge0xadd.b	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
14		ge0xaddcl 13445	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
15	13, 5, 14	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
16	3, 4, 15	sge0xrclmpt 45713	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) ∈ ℝ*)
17	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) ∈ ℝ*)
18		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞ → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
19	18	eqcomd 2732	. . . . . . 7 ⊢ ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞ → +∞ = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
20	19	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → +∞ = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
21	4	elexd 3489	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
22		iccssxr 13413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
23	22, 13	sselid 3975	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
24	23, 5	xadd0ge 44599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
25	3, 21, 13, 15, 24	sge0lempt 45695	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ≤ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
26	25	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ≤ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
27	20, 26	eqbrtrd 5163	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → +∞ ≤ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
28	17, 27	xrgepnfd 44610	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = +∞)
29	28	eqcomd 2732	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → +∞ = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
30	2, 12, 29	3eqtrrd 2771	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
31		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → 𝜑)
32		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
33		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
34	3, 13, 33	fmptdf 7112	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
35	4, 34	sge0repnf 45671	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞))
36	35	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞))
37	32, 36	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
38		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞)
39	38	oveq2d 7421	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 +∞))
40	4, 34	sge0xrcl 45670	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
41	4, 34	sge0nemnf 45705	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ≠ -∞)
42		xaddpnf1 13211	. . . . . . . 8 ⊢ (((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ≠ -∞) → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 +∞) = +∞)
43	40, 41, 42	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 +∞) = +∞)
44	43	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 +∞) = +∞)
45	16	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) ∈ ℝ*)
46		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞ → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞)
47	46	eqcomd 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞ → +∞ = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)))
48	47	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → +∞ = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)))
49	22, 5	sselid 3975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
50	49, 13	xadd0ge2 44620	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
51	3, 4, 5, 15, 50	sge0lempt 45695	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ≤ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
52	51	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ≤ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
53	48, 52	eqbrtrd 5163	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → +∞ ≤ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
54	45, 53	xrgepnfd 44610	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = +∞)
55	54	eqcomd 2732	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → +∞ = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
56	39, 44, 55	3eqtrrd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
57	56	adantlr 712	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
58		simpl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ))
59		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞)
60	4, 8	sge0repnf 45671	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞))
61	60	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞))
62	59, 61	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
63	62	adantlr 712	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
64	4	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
65		nfcv 2897	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘Σ^
66		nfmpt1 5249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
67	65, 66	nffv 6895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
68		nfcv 2897	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘ℝ
69	67, 68	nfel 2911	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ
70	3, 69	nfan 1894	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
71		nfv 1909	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝐴
72	70, 71	nfan 1894	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)
73		nfcsb1v 3913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
74	73	nfel1 2913	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞)
75	72, 74	nfim 1891	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))
76		eleq1w 2810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑗 ∈ 𝐴))
77	76	anbi2d 628	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)))
78		csbeq1a 3902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
79	78	eleq1d 2812	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
80	77, 79	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ↔ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))))
81	4	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
82	13	adantlr 712	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
83		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
84	70, 81, 82, 83	sge0rernmpt 45707	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
85	75, 80, 84	chvarfv 2225	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))
86	85	adantlr 712	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))
87		nfmpt1 5249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
88	65, 87	nffv 6895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
89	88, 68	nfel 2911	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ
90	3, 89	nfan 1894	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
91	90, 71	nfan 1894	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)
92		nfcsb1v 3913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶
93	92	nfel1 2913	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞)
94	91, 93	nfim 1891	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞))
95	76	anbi2d 628	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)))
96		csbeq1a 3902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐶 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
97	96	eleq1d 2812	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞)))
98	95, 97	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) ↔ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞))))
99	4	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
100	5	adantlr 712	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
101		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
102	90, 99, 100, 101	sge0rernmpt 45707	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
103	94, 98, 102	chvarfv 2225	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞))
104	103	adantllr 716	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞))
105		nfcv 2897	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗𝐵
106	105, 73, 78	cbvmpt 5252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
107	106	fveq2i 6888	. . . . . . . 8 ⊢ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
108		simplr 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
109	107, 108	eqeltrrid 2832	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) ∈ ℝ)
110		nfcv 2897	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗𝐶
111	110, 92, 96	cbvmpt 5252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
112	111	fveq2i 6888	. . . . . . . 8 ⊢ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
113		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
114	112, 113	eqeltrrid 2832	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) ∈ ℝ)
115	64, 86, 104, 109, 114	sge0xaddlem2 45719	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 +𝑒 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))) = ((Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))))
116		nfcv 2897	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐵 +𝑒 𝐶)
117		nfcv 2897	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘 +𝑒
118	73, 117, 92	nfov 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 +𝑒 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
119	78, 96	oveq12d 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 +𝑒 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
120	116, 118, 119	cbvmpt 5252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 +𝑒 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
121	120	fveq2i 6888	. . . . . . 7 ⊢ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 +𝑒 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)))
122	107, 112	oveq12i 7417	. . . . . . 7 ⊢ ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)))
123	121, 122	eqeq12i 2744	. . . . . 6 ⊢ ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) ↔ (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 +𝑒 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))) = ((Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))))
124	115, 123	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
125	58, 63, 124	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
126	57, 125	pm2.61dan 810	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
127	31, 37, 126	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
128	30, 127	pm2.61dan 810	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533  Ⅎwnf 1777   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  Vcvv 3468  ⦋csb 3888   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  ℝcr 11111  0cc0 11112  +∞cpnf 11249  -∞cmnf 11250  ℝ^*cxr 11251   ≤ cle 11253   +_𝑒 cxad 13096  [,)cico 13332  [,]cicc 13333  Σ^{^}csumge0 45647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xadd 13099  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-sumge0 45648

This theorem is referenced by:  ovnsubaddlem1  45855  hspmbllem2  45912  ovolval5lem1  45937