Theorem sge0xadd 46863

Description: The extended addition of two generalized sums of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0xadd.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0xadd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0xadd.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0xadd.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0xadd	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem sge0xadd

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
2	1	oveq1d 7382	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = (+∞ +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
3		sge0xadd.kph	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
4		sge0xadd.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		sge0xadd.c	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
6	3, 4, 5	sge0xrclmpt 46856	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ*)
7		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
8	3, 5, 7	fmptdf 7069	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶(0[,]+∞))
9	4, 8	sge0nemnf 46848	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ≠ -∞)
10		xaddpnf2 13179	. . . . 5 ⊢ (((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ* ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = +∞)
11	6, 9, 10	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+∞ +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = +∞)
12	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → (+∞ +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = +∞)
13		sge0xadd.b	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
14		ge0xaddcl 13415	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
15	13, 5, 14	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
16	3, 4, 15	sge0xrclmpt 46856	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) ∈ ℝ*)
17	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) ∈ ℝ*)
18		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞ → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
19	18	eqcomd 2742	. . . . . . 7 ⊢ ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞ → +∞ = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
20	19	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → +∞ = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
21	4	elexd 3453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
22		iccssxr 13383	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
23	22, 13	sselid 3919	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
24	23, 5	xadd0ge 45752	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
25	3, 21, 13, 15, 24	sge0lempt 46838	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ≤ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
26	25	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ≤ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
27	20, 26	eqbrtrd 5107	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → +∞ ≤ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
28	17, 27	xrgepnfd 45761	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = +∞)
29	28	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → +∞ = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
30	2, 12, 29	3eqtrrd 2776	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
31		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → 𝜑)
32		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
33		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
34	3, 13, 33	fmptdf 7069	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
35	4, 34	sge0repnf 46814	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞))
36	35	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞))
37	32, 36	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
38		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞)
39	38	oveq2d 7383	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 +∞))
40	4, 34	sge0xrcl 46813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
41	4, 34	sge0nemnf 46848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ≠ -∞)
42		xaddpnf1 13178	. . . . . . . 8 ⊢ (((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ≠ -∞) → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 +∞) = +∞)
43	40, 41, 42	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 +∞) = +∞)
44	43	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 +∞) = +∞)
45	16	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) ∈ ℝ*)
46		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞ → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞)
47	46	eqcomd 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞ → +∞ = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)))
48	47	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → +∞ = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)))
49	22, 5	sselid 3919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
50	49, 13	xadd0ge2 45771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
51	3, 4, 5, 15, 50	sge0lempt 46838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ≤ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
52	51	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ≤ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
53	48, 52	eqbrtrd 5107	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → +∞ ≤ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
54	45, 53	xrgepnfd 45761	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = +∞)
55	54	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → +∞ = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
56	39, 44, 55	3eqtrrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
57	56	adantlr 716	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
58		simpl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ))
59		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞)
60	4, 8	sge0repnf 46814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞))
61	60	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞))
62	59, 61	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
63	62	adantlr 716	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
64	4	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
65		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘Σ^
66		nfmpt1 5184	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
67	65, 66	nffv 6850	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
68		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘ℝ
69	67, 68	nfel 2913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ
70	3, 69	nfan 1901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
71		nfv 1916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝐴
72	70, 71	nfan 1901	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)
73		nfcsb1v 3861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
74	73	nfel1 2915	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞)
75	72, 74	nfim 1898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))
76		eleq1w 2819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑗 ∈ 𝐴))
77	76	anbi2d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)))
78		csbeq1a 3851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
79	78	eleq1d 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
80	77, 79	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ↔ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))))
81	4	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
82	13	adantlr 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
83		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
84	70, 81, 82, 83	sge0rernmpt 46850	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
85	75, 80, 84	chvarfv 2248	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))
86	85	adantlr 716	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))
87		nfmpt1 5184	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
88	65, 87	nffv 6850	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
89	88, 68	nfel 2913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ
90	3, 89	nfan 1901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
91	90, 71	nfan 1901	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)
92		nfcsb1v 3861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶
93	92	nfel1 2915	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞)
94	91, 93	nfim 1898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞))
95	76	anbi2d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)))
96		csbeq1a 3851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐶 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
97	96	eleq1d 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞)))
98	95, 97	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) ↔ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞))))
99	4	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
100	5	adantlr 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
101		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
102	90, 99, 100, 101	sge0rernmpt 46850	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
103	94, 98, 102	chvarfv 2248	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞))
104	103	adantllr 720	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞))
105		nfcv 2898	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗𝐵
106	105, 73, 78	cbvmpt 5187	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
107	106	fveq2i 6843	. . . . . . . 8 ⊢ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
108		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
109	107, 108	eqeltrrid 2841	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) ∈ ℝ)
110		nfcv 2898	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗𝐶
111	110, 92, 96	cbvmpt 5187	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
112	111	fveq2i 6843	. . . . . . . 8 ⊢ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
113		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
114	112, 113	eqeltrrid 2841	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) ∈ ℝ)
115	64, 86, 104, 109, 114	sge0xaddlem2 46862	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 +𝑒 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))) = ((Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))))
116		nfcv 2898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐵 +𝑒 𝐶)
117		nfcv 2898	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘 +𝑒
118	73, 117, 92	nfov 7397	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 +𝑒 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
119	78, 96	oveq12d 7385	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 +𝑒 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
120	116, 118, 119	cbvmpt 5187	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 +𝑒 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
121	120	fveq2i 6843	. . . . . . 7 ⊢ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 +𝑒 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)))
122	107, 112	oveq12i 7379	. . . . . . 7 ⊢ ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)))
123	121, 122	eqeq12i 2754	. . . . . 6 ⊢ ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) ↔ (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 +𝑒 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))) = ((Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))))
124	115, 123	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
125	58, 63, 124	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
126	57, 125	pm2.61dan 813	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
127	31, 37, 126	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
128	30, 127	pm2.61dan 813	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  Vcvv 3429  ⦋csb 3837   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  0cc0 11038  +∞cpnf 11176  -∞cmnf 11177  ℝ^*cxr 11178   ≤ cle 11180   +_𝑒 cxad 13061  [,)cico 13300  [,]cicc 13301  Σ^{^}csumge0 46790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xadd 13064  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649  df-sumge0 46791

This theorem is referenced by:  ovnsubaddlem1  46998  hspmbllem2  47055  ovolval5lem1  47080