Theorem sge0xadd 46431

Description: The extended addition of two generalized sums of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0xadd.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0xadd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0xadd.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0xadd.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0xadd	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem sge0xadd

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
2	1	oveq1d 7425	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = (+∞ +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
3		sge0xadd.kph	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
4		sge0xadd.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		sge0xadd.c	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
6	3, 4, 5	sge0xrclmpt 46424	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ*)
7		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
8	3, 5, 7	fmptdf 7112	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶(0[,]+∞))
9	4, 8	sge0nemnf 46416	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ≠ -∞)
10		xaddpnf2 13248	. . . . 5 ⊢ (((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ* ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = +∞)
11	6, 9, 10	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+∞ +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = +∞)
12	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → (+∞ +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = +∞)
13		sge0xadd.b	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
14		ge0xaddcl 13484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
15	13, 5, 14	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
16	3, 4, 15	sge0xrclmpt 46424	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) ∈ ℝ*)
17	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) ∈ ℝ*)
18		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞ → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
19	18	eqcomd 2742	. . . . . . 7 ⊢ ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞ → +∞ = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
20	19	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → +∞ = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
21	4	elexd 3488	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
22		iccssxr 13452	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
23	22, 13	sselid 3961	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
24	23, 5	xadd0ge 45315	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
25	3, 21, 13, 15, 24	sge0lempt 46406	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ≤ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
26	25	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ≤ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
27	20, 26	eqbrtrd 5146	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → +∞ ≤ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
28	17, 27	xrgepnfd 45325	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = +∞)
29	28	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → +∞ = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
30	2, 12, 29	3eqtrrd 2776	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
31		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → 𝜑)
32		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
33		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
34	3, 13, 33	fmptdf 7112	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
35	4, 34	sge0repnf 46382	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞))
36	35	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞))
37	32, 36	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
38		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞)
39	38	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 +∞))
40	4, 34	sge0xrcl 46381	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
41	4, 34	sge0nemnf 46416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ≠ -∞)
42		xaddpnf1 13247	. . . . . . . 8 ⊢ (((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ≠ -∞) → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 +∞) = +∞)
43	40, 41, 42	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 +∞) = +∞)
44	43	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 +∞) = +∞)
45	16	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) ∈ ℝ*)
46		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞ → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞)
47	46	eqcomd 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞ → +∞ = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)))
48	47	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → +∞ = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)))
49	22, 5	sselid 3961	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
50	49, 13	xadd0ge2 45335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
51	3, 4, 5, 15, 50	sge0lempt 46406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ≤ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
52	51	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ≤ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
53	48, 52	eqbrtrd 5146	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → +∞ ≤ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
54	45, 53	xrgepnfd 45325	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = +∞)
55	54	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → +∞ = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
56	39, 44, 55	3eqtrrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
57	56	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
58		simpl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ))
59		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞)
60	4, 8	sge0repnf 46382	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞))
61	60	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞))
62	59, 61	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
63	62	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
64	4	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
65		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘Σ^
66		nfmpt1 5225	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
67	65, 66	nffv 6891	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
68		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘ℝ
69	67, 68	nfel 2914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ
70	3, 69	nfan 1899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
71		nfv 1914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝐴
72	70, 71	nfan 1899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)
73		nfcsb1v 3903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
74	73	nfel1 2916	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞)
75	72, 74	nfim 1896	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))
76		eleq1w 2818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑗 ∈ 𝐴))
77	76	anbi2d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)))
78		csbeq1a 3893	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
79	78	eleq1d 2820	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
80	77, 79	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ↔ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))))
81	4	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
82	13	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
83		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
84	70, 81, 82, 83	sge0rernmpt 46418	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
85	75, 80, 84	chvarfv 2241	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))
86	85	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))
87		nfmpt1 5225	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
88	65, 87	nffv 6891	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
89	88, 68	nfel 2914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ
90	3, 89	nfan 1899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
91	90, 71	nfan 1899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)
92		nfcsb1v 3903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶
93	92	nfel1 2916	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞)
94	91, 93	nfim 1896	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞))
95	76	anbi2d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)))
96		csbeq1a 3893	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐶 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
97	96	eleq1d 2820	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞)))
98	95, 97	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) ↔ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞))))
99	4	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
100	5	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
101		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
102	90, 99, 100, 101	sge0rernmpt 46418	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
103	94, 98, 102	chvarfv 2241	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞))
104	103	adantllr 719	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞))
105		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗𝐵
106	105, 73, 78	cbvmpt 5228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
107	106	fveq2i 6884	. . . . . . . 8 ⊢ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
108		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
109	107, 108	eqeltrrid 2840	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) ∈ ℝ)
110		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗𝐶
111	110, 92, 96	cbvmpt 5228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
112	111	fveq2i 6884	. . . . . . . 8 ⊢ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
113		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
114	112, 113	eqeltrrid 2840	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) ∈ ℝ)
115	64, 86, 104, 109, 114	sge0xaddlem2 46430	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 +𝑒 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))) = ((Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))))
116		nfcv 2899	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐵 +𝑒 𝐶)
117		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘 +𝑒
118	73, 117, 92	nfov 7440	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 +𝑒 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
119	78, 96	oveq12d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 +𝑒 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
120	116, 118, 119	cbvmpt 5228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 +𝑒 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
121	120	fveq2i 6884	. . . . . . 7 ⊢ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 +𝑒 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)))
122	107, 112	oveq12i 7422	. . . . . . 7 ⊢ ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)))
123	121, 122	eqeq12i 2754	. . . . . 6 ⊢ ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) ↔ (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 +𝑒 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))) = ((Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))))
124	115, 123	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
125	58, 63, 124	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
126	57, 125	pm2.61dan 812	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
127	31, 37, 126	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
128	30, 127	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  Vcvv 3464  ⦋csb 3879   class class class wbr 5124   ↦ cmpt 5206  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11133  0cc0 11134  +∞cpnf 11271  -∞cmnf 11272  ℝ^*cxr 11273   ≤ cle 11275   +_𝑒 cxad 13131  [,)cico 13369  [,]cicc 13370  Σ^{^}csumge0 46358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-xadd 13134  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-clim 15509  df-sum 15708  df-sumge0 46359

This theorem is referenced by:  ovnsubaddlem1  46566  hspmbllem2  46623  ovolval5lem1  46648