Theorem sge0xadd 43433

Description: The extended addition of two generalized sums of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0xadd.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0xadd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0xadd.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0xadd.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0xadd	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem sge0xadd

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
2	1	oveq1d 7166	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = (+∞ +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
3		sge0xadd.kph	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
4		sge0xadd.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		sge0xadd.c	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
6	3, 4, 5	sge0xrclmpt 43426	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ*)
7		eqid 2759	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
8	3, 5, 7	fmptdf 6873	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶(0[,]+∞))
9	4, 8	sge0nemnf 43418	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ≠ -∞)
10		xaddpnf2 12654	. . . . 5 ⊢ (((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ* ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = +∞)
11	6, 9, 10	syl2anc 588	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+∞ +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = +∞)
12	11	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → (+∞ +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = +∞)
13		sge0xadd.b	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
14		ge0xaddcl 12887	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
15	13, 5, 14	syl2anc 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
16	3, 4, 15	sge0xrclmpt 43426	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) ∈ ℝ*)
17	16	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) ∈ ℝ*)
18		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞ → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
19	18	eqcomd 2765	. . . . . . 7 ⊢ ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞ → +∞ = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
20	19	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → +∞ = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
21	4	elexd 3431	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
22		iccssxr 12855	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
23	22, 13	sseldi 3891	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
24	23, 5	xadd0ge 42313	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
25	3, 21, 13, 15, 24	sge0lempt 43408	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ≤ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
26	25	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ≤ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
27	20, 26	eqbrtrd 5055	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → +∞ ≤ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
28	17, 27	xrgepnfd 42324	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = +∞)
29	28	eqcomd 2765	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → +∞ = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
30	2, 12, 29	3eqtrrd 2799	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
31		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → 𝜑)
32		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
33		eqid 2759	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
34	3, 13, 33	fmptdf 6873	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
35	4, 34	sge0repnf 43384	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞))
36	35	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞))
37	32, 36	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
38		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞)
39	38	oveq2d 7167	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 +∞))
40	4, 34	sge0xrcl 43383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
41	4, 34	sge0nemnf 43418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ≠ -∞)
42		xaddpnf1 12653	. . . . . . . 8 ⊢ (((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ≠ -∞) → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 +∞) = +∞)
43	40, 41, 42	syl2anc 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 +∞) = +∞)
44	43	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 +∞) = +∞)
45	16	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) ∈ ℝ*)
46		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞ → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞)
47	46	eqcomd 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞ → +∞ = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)))
48	47	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → +∞ = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)))
49	22, 5	sseldi 3891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
50	49, 13	xadd0ge2 42334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
51	3, 4, 5, 15, 50	sge0lempt 43408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ≤ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
52	51	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ≤ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
53	48, 52	eqbrtrd 5055	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → +∞ ≤ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
54	45, 53	xrgepnfd 42324	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = +∞)
55	54	eqcomd 2765	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → +∞ = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
56	39, 44, 55	3eqtrrd 2799	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
57	56	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
58		simpl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ))
59		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞)
60	4, 8	sge0repnf 43384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞))
61	60	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞))
62	59, 61	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
63	62	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
64	4	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
65		nfcv 2920	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘Σ^
66		nfmpt1 5131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
67	65, 66	nffv 6669	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
68		nfcv 2920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘ℝ
69	67, 68	nfel 2934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ
70	3, 69	nfan 1901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
71		nfv 1916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝐴
72	70, 71	nfan 1901	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)
73		nfcsb1v 3830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
74	73	nfel1 2936	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞)
75	72, 74	nfim 1898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))
76		eleq1w 2835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑗 ∈ 𝐴))
77	76	anbi2d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)))
78		csbeq1a 3820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
79	78	eleq1d 2837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
80	77, 79	imbi12d 349	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ↔ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))))
81	4	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
82	13	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
83		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
84	70, 81, 82, 83	sge0rernmpt 43420	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
85	75, 80, 84	chvarfv 2241	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))
86	85	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))
87		nfmpt1 5131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
88	65, 87	nffv 6669	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
89	88, 68	nfel 2934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ
90	3, 89	nfan 1901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
91	90, 71	nfan 1901	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)
92		nfcsb1v 3830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶
93	92	nfel1 2936	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞)
94	91, 93	nfim 1898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞))
95	76	anbi2d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)))
96		csbeq1a 3820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐶 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
97	96	eleq1d 2837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞)))
98	95, 97	imbi12d 349	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) ↔ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞))))
99	4	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
100	5	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
101		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
102	90, 99, 100, 101	sge0rernmpt 43420	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
103	94, 98, 102	chvarfv 2241	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞))
104	103	adantllr 719	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞))
105		nfcv 2920	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗𝐵
106	105, 73, 78	cbvmpt 5134	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
107	106	fveq2i 6662	. . . . . . . 8 ⊢ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
108		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
109	107, 108	eqeltrrid 2858	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) ∈ ℝ)
110		nfcv 2920	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗𝐶
111	110, 92, 96	cbvmpt 5134	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
112	111	fveq2i 6662	. . . . . . . 8 ⊢ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
113		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
114	112, 113	eqeltrrid 2858	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) ∈ ℝ)
115	64, 86, 104, 109, 114	sge0xaddlem2 43432	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 +𝑒 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))) = ((Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))))
116		nfcv 2920	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐵 +𝑒 𝐶)
117		nfcv 2920	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘 +𝑒
118	73, 117, 92	nfov 7181	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 +𝑒 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
119	78, 96	oveq12d 7169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 +𝑒 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
120	116, 118, 119	cbvmpt 5134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 +𝑒 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
121	120	fveq2i 6662	. . . . . . 7 ⊢ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 +𝑒 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)))
122	107, 112	oveq12i 7163	. . . . . . 7 ⊢ ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)))
123	121, 122	eqeq12i 2774	. . . . . 6 ⊢ ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) ↔ (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 +𝑒 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))) = ((Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))))
124	115, 123	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
125	58, 63, 124	syl2anc 588	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
126	57, 125	pm2.61dan 813	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
127	31, 37, 126	syl2anc 588	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
128	30, 127	pm2.61dan 813	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1539  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952  Vcvv 3410  ⦋csb 3806   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  ℝcr 10567  0cc0 10568  +∞cpnf 10703  -∞cmnf 10704  ℝ^*cxr 10705   ≤ cle 10707   +_𝑒 cxad 12539  [,)cico 12774  [,]cicc 12775  Σ^{^}csumge0 43360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-inf2 9130  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645  ax-pre-sup 10646

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-oadd 8117  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-sup 8932  df-inf 8933  df-oi 9000  df-card 9394  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-div 11329  df-nn 11668  df-2 11730  df-3 11731  df-n0 11928  df-z 12014  df-uz 12276  df-q 12382  df-rp 12424  df-xadd 12542  df-ico 12778  df-icc 12779  df-fz 12933  df-fzo 13076  df-seq 13412  df-exp 13473  df-hash 13734  df-cj 14499  df-re 14500  df-im 14501  df-sqrt 14635  df-abs 14636  df-clim 14886  df-sum 15084  df-sumge0 43361

This theorem is referenced by:  ovnsubaddlem1  43568  hspmbllem2  43625  ovolval5lem1  43650