Theorem sge0xadd 42707

Description: The extended addition of two generalized sums of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0xadd.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0xadd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0xadd.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0xadd.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0xadd	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem sge0xadd

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
2	1	oveq1d 7163	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = (+∞ +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
3		sge0xadd.kph	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
4		sge0xadd.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		sge0xadd.c	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
6	3, 4, 5	sge0xrclmpt 42700	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ*)
7		eqid 2819	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
8	3, 5, 7	fmptdf 6874	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶(0[,]+∞))
9	4, 8	sge0nemnf 42692	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ≠ -∞)
10		xaddpnf2 12612	. . . . 5 ⊢ (((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ* ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = +∞)
11	6, 9, 10	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+∞ +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = +∞)
12	11	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → (+∞ +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = +∞)
13		sge0xadd.b	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
14		ge0xaddcl 12842	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
15	13, 5, 14	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
16	3, 4, 15	sge0xrclmpt 42700	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) ∈ ℝ*)
17	16	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) ∈ ℝ*)
18		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞ → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
19	18	eqcomd 2825	. . . . . . 7 ⊢ ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞ → +∞ = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
20	19	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → +∞ = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
21	4	elexd 3513	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
22		iccssxr 12811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
23	22, 13	sseldi 3963	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
24	23, 5	xadd0ge 41577	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
25	3, 21, 13, 15, 24	sge0lempt 42682	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ≤ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
26	25	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ≤ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
27	20, 26	eqbrtrd 5079	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → +∞ ≤ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
28	17, 27	xrgepnfd 41588	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = +∞)
29	28	eqcomd 2825	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → +∞ = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
30	2, 12, 29	3eqtrrd 2859	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
31		simpl 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → 𝜑)
32		simpr 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
33		eqid 2819	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
34	3, 13, 33	fmptdf 6874	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
35	4, 34	sge0repnf 42658	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞))
36	35	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞))
37	32, 36	mpbird 259	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
38		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞)
39	38	oveq2d 7164	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 +∞))
40	4, 34	sge0xrcl 42657	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
41	4, 34	sge0nemnf 42692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ≠ -∞)
42		xaddpnf1 12611	. . . . . . . 8 ⊢ (((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ≠ -∞) → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 +∞) = +∞)
43	40, 41, 42	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 +∞) = +∞)
44	43	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 +∞) = +∞)
45	16	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) ∈ ℝ*)
46		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞ → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞)
47	46	eqcomd 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞ → +∞ = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)))
48	47	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → +∞ = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)))
49	22, 5	sseldi 3963	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
50	49, 13	xadd0ge2 41598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
51	3, 4, 5, 15, 50	sge0lempt 42682	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ≤ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
52	51	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ≤ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
53	48, 52	eqbrtrd 5079	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → +∞ ≤ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
54	45, 53	xrgepnfd 41588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = +∞)
55	54	eqcomd 2825	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → +∞ = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
56	39, 44, 55	3eqtrrd 2859	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
57	56	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
58		simpl 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ))
59		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞)
60	4, 8	sge0repnf 42658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞))
61	60	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞))
62	59, 61	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
63	62	adantlr 713	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
64	4	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
65		nfcv 2975	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘Σ^
66		nfmpt1 5155	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
67	65, 66	nffv 6673	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
68		nfcv 2975	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘ℝ
69	67, 68	nfel 2990	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ
70	3, 69	nfan 1894	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
71		nfv 1909	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝐴
72	70, 71	nfan 1894	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)
73		nfcsb1v 3905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
74	73	nfel1 2992	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞)
75	72, 74	nfim 1891	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))
76		eleq1w 2893	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑗 ∈ 𝐴))
77	76	anbi2d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)))
78		csbeq1a 3895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
79	78	eleq1d 2895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
80	77, 79	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ↔ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))))
81	4	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
82	13	adantlr 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
83		simpr 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
84	70, 81, 82, 83	sge0rernmpt 42694	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
85	75, 80, 84	chvarfv 2235	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))
86	85	adantlr 713	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))
87		nfmpt1 5155	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
88	65, 87	nffv 6673	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
89	88, 68	nfel 2990	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ
90	3, 89	nfan 1894	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
91	90, 71	nfan 1894	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)
92		nfcsb1v 3905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶
93	92	nfel1 2992	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞)
94	91, 93	nfim 1891	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞))
95	76	anbi2d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)))
96		csbeq1a 3895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐶 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
97	96	eleq1d 2895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞)))
98	95, 97	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) ↔ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞))))
99	4	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
100	5	adantlr 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
101		simpr 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
102	90, 99, 100, 101	sge0rernmpt 42694	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
103	94, 98, 102	chvarfv 2235	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞))
104	103	adantllr 717	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,)+∞))
105		nfcv 2975	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗𝐵
106	105, 73, 78	cbvmpt 5158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
107	106	fveq2i 6666	. . . . . . . 8 ⊢ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
108		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
109	107, 108	eqeltrrid 2916	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) ∈ ℝ)
110		nfcv 2975	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗𝐶
111	110, 92, 96	cbvmpt 5158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
112	111	fveq2i 6666	. . . . . . . 8 ⊢ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
113		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
114	112, 113	eqeltrrid 2916	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) ∈ ℝ)
115	64, 86, 104, 109, 114	sge0xaddlem2 42706	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 +𝑒 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))) = ((Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))))
116		nfcv 2975	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐵 +𝑒 𝐶)
117		nfcv 2975	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘 +𝑒
118	73, 117, 92	nfov 7178	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 +𝑒 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
119	78, 96	oveq12d 7166	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 +𝑒 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
120	116, 118, 119	cbvmpt 5158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 +𝑒 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
121	120	fveq2i 6666	. . . . . . 7 ⊢ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 +𝑒 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)))
122	107, 112	oveq12i 7160	. . . . . . 7 ⊢ ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)))
123	121, 122	eqeq12i 2834	. . . . . 6 ⊢ ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) ↔ (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 +𝑒 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))) = ((Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))))
124	115, 123	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
125	58, 63, 124	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
126	57, 125	pm2.61dan 811	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
127	31, 37, 126	syl2anc 586	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))
128	30, 127	pm2.61dan 811	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1531  Ⅎwnf 1778   ∈ wcel 2108   ≠ wne 3014  Vcvv 3493  ⦋csb 3881   class class class wbr 5057   ↦ cmpt 5137  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  ℝcr 10528  0cc0 10529  +∞cpnf 10664  -∞cmnf 10665  ℝ^*cxr 10666   ≤ cle 10668   +_𝑒 cxad 12497  [,)cico 12732  [,]cicc 12733  Σ^{^}csumge0 42634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-fal 1544  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xadd 12500  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-seq 13362  df-exp 13422  df-hash 13683  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035  df-sumge0 42635

This theorem is referenced by:  ovnsubaddlem1  42842  hspmbllem2  42899  ovolval5lem1  42924