Theorem xrge0nemnfd 44776

Description: A nonnegative extended real is not minus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrge0nemnfd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
xrge0nemnfd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ -∞)

Proof of Theorem xrge0nemnfd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 11299	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
3		iccssxr 13437	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
4		xrge0nemnfd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
5	3, 4	sselid 3970	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
6		0xr 11289	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
8		mnflt0 13135	. . . 4 ⊢ -∞ < 0
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → -∞ < 0)
10		pnfxr 11296	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
12		iccgelb 13410	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐴)
13	7, 11, 4, 12	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
14	2, 7, 5, 9, 13	xrltletrd 13170	. 2 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝐴)
15	2, 5, 14	xrgtned 44766	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ -∞)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930   class class class wbr 5143  (class class class)co 7415  0cc0 11136  +∞cpnf 11273  -∞cmnf 11274  ℝ^*cxr 11275   < clt 11276   ≤ cle 11277  [,]cicc 13357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-addrcl 11197  ax-rnegex 11207  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-icc 13361

This theorem is referenced by:  ovolsplit  45438  caragenuncllem  45962