Theorem xrge0nemnfd 45519

Description: A nonnegative extended real is not minus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrge0nemnfd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
xrge0nemnfd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ -∞)

Proof of Theorem xrge0nemnfd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 11187	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
3		iccssxr 13344	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
4		xrge0nemnfd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
5	3, 4	sselid 3929	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
6		0xr 11177	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
8		mnflt0 13037	. . . 4 ⊢ -∞ < 0
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → -∞ < 0)
10		pnfxr 11184	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
12		iccgelb 13316	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐴)
13	7, 11, 4, 12	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
14	2, 7, 5, 9, 13	xrltletrd 13073	. 2 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝐴)
15	2, 5, 14	xrgtned 13076	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ -∞)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930   class class class wbr 5096  (class class class)co 7356  0cc0 11024  +∞cpnf 11161  -∞cmnf 11162  ℝ^*cxr 11163   < clt 11164   ≤ cle 11165  [,]cicc 13262

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-addrcl 11085  ax-rnegex 11095  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-icc 13266

This theorem is referenced by:  ovolsplit  46174  caragenuncllem  46698