Theorem xrge0nemnfd 44619

Description: A nonnegative extended real is not minus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrge0nemnfd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
xrge0nemnfd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ -∞)

Proof of Theorem xrge0nemnfd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 11275	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
3		iccssxr 13413	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
4		xrge0nemnfd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
5	3, 4	sselid 3975	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
6		0xr 11265	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
8		mnflt0 13111	. . . 4 ⊢ -∞ < 0
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → -∞ < 0)
10		pnfxr 11272	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
12		iccgelb 13386	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐴)
13	7, 11, 4, 12	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
14	2, 7, 5, 9, 13	xrltletrd 13146	. 2 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝐴)
15	2, 5, 14	xrgtned 44609	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ -∞)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  0cc0 11112  +∞cpnf 11249  -∞cmnf 11250  ℝ^*cxr 11251   < clt 11252   ≤ cle 11253  [,]cicc 13333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-addrcl 11173  ax-rnegex 11183  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-icc 13337

This theorem is referenced by:  ovolsplit  45281  caragenuncllem  45805