Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0nemnfd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0nemnfd 45182
Description: A nonnegative extended real is not minus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
xrge0nemnfd.1 (𝜑𝐴 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
xrge0nemnfd (𝜑𝐴 ≠ -∞)

Proof of Theorem xrge0nemnfd
StepHypRef Expression
1 mnfxr 11343 . . 3 -∞ ∈ ℝ*
21a1i 11 . 2 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
3 iccssxr 13486 . . 3 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
4 xrge0nemnfd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (0[,]+∞))
53, 4sselid 4000 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
6 0xr 11333 . . . 4 0 ∈ ℝ*
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
8 mnflt0 13184 . . . 4 -∞ < 0
98a1i 11 . . 3 (𝜑 → -∞ < 0)
10 pnfxr 11340 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
12 iccgelb 13459 . . . 4 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐴)
137, 11, 4, 12syl3anc 1371 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
142, 7, 5, 9, 13xrltletrd 13219 . 2 (𝜑 → -∞ < 𝐴)
152, 5, 14xrgtned 45172 1 (𝜑𝐴 ≠ -∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2103  wne 2942   class class class wbr 5169  (class class class)co 7445  0cc0 11180  +∞cpnf 11317  -∞cmnf 11318  *cxr 11319   < clt 11320  cle 11321  [,]cicc 13406
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-addrcl 11241  ax-rnegex 11251  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-id 5597  df-po 5611  df-so 5612  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-icc 13410
This theorem is referenced by:  ovolsplit  45844  caragenuncllem  46368
  Copyright terms: Public domain W3C validator