Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0nemnfd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0nemnfd 44032
Description: A nonnegative extended real is not minus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
xrge0nemnfd.1 (𝜑𝐴 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
xrge0nemnfd (𝜑𝐴 ≠ -∞)

Proof of Theorem xrge0nemnfd
StepHypRef Expression
1 mnfxr 11270 . . 3 -∞ ∈ ℝ*
21a1i 11 . 2 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
3 iccssxr 13406 . . 3 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
4 xrge0nemnfd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (0[,]+∞))
53, 4sselid 3980 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
6 0xr 11260 . . . 4 0 ∈ ℝ*
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
8 mnflt0 13104 . . . 4 -∞ < 0
98a1i 11 . . 3 (𝜑 → -∞ < 0)
10 pnfxr 11267 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
12 iccgelb 13379 . . . 4 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐴)
137, 11, 4, 12syl3anc 1371 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
142, 7, 5, 9, 13xrltletrd 13139 . 2 (𝜑 → -∞ < 𝐴)
152, 5, 14xrgtned 44022 1 (𝜑𝐴 ≠ -∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106  wne 2940   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408  0cc0 11109  +∞cpnf 11244  -∞cmnf 11245  *cxr 11246   < clt 11247  cle 11248  [,]cicc 13326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-addrcl 11170  ax-rnegex 11180  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-icc 13330
This theorem is referenced by:  ovolsplit  44694  caragenuncllem  45218
  Copyright terms: Public domain W3C validator