Theorem xrge0nemnfd 45276

Description: A nonnegative extended real is not minus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrge0nemnfd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
xrge0nemnfd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ -∞)

Proof of Theorem xrge0nemnfd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 11299	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
3		iccssxr 13451	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
4		xrge0nemnfd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
5	3, 4	sselid 3961	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
6		0xr 11289	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
8		mnflt0 13148	. . . 4 ⊢ -∞ < 0
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → -∞ < 0)
10		pnfxr 11296	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
12		iccgelb 13424	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐴)
13	7, 11, 4, 12	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
14	2, 7, 5, 9, 13	xrltletrd 13184	. 2 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝐴)
15	2, 5, 14	xrgtned 45266	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ -∞)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931   class class class wbr 5123  (class class class)co 7412  0cc0 11136  +∞cpnf 11273  -∞cmnf 11274  ℝ^*cxr 11275   < clt 11276   ≤ cle 11277  [,]cicc 13371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-addrcl 11197  ax-rnegex 11207  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-po 5572  df-so 5573  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-icc 13375

This theorem is referenced by:  ovolsplit  45936  caragenuncllem  46460