Theorem xrletrid 13210

Description: Trichotomy law for extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrletrid.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrletrid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrletrid.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrletrid.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
xrletrid	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem xrletrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrletrid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrletrid.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)
3		xrletrid.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrletrid.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrletri3 13209	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
6	3, 4, 5	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
7	1, 2, 6	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  ℝ^*cxr 11270   ≤ cle 11272

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277

This theorem is used by:  supxrre  13383  infxrre  13393  ixxub  13423  ixxlb  13424  pcadd2  16988  psmetsym  24542  xmetsym  24579  imasdsf1olem  24605  ovolunnul  25734  ovolicc  25757  voliunlem3  25786  uniioovol  25813  uniiccvol  25814  ismbfd  25873  mbflimsup  25900  itg2itg1  25970  itg2seq  25976  itg2eqa  25979  itg2split  25983  itg2mono  25987  deg1add  26335  deg1mul2  26346  deg1tm  26351  xrgepnfd  46169  supxrge  46176  infxrpnf  46282  eliccnelico  46367  liminfgelimsup  46618  liminfgelimsupuz  46624  liminflimsupclim  46643  xlimliminflimsup  46698  ismbl4  46829  rrxsnicc  47136  sge0fsum  47223  sge0split  47245  sge0iunmptlemre  47251  sge0isum  47263  sge0xaddlem2  47270  sge0reuz  47283  meale0eq0  47314  carageniuncl  47359  caratheodorylem2  47363  caragenel2d  47368  omess0  47370  ovn0lem  47401  hoidmv1lelem2  47428  hoidmv1lelem3  47429  hoidmvlelem4  47434  ovnhoi  47439  ovolval2lem  47479  ovolval5lem3  47490