Theorem xrletrid 13171

Description: Trichotomy law for extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrletrid.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrletrid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrletrid.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrletrid.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
xrletrid	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem xrletrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrletrid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrletrid.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)
3		xrletrid.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrletrid.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrletri3 13170	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
6	3, 4, 5	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
7	1, 2, 6	mpbir2and 725	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5105  ℝ^*cxr 11230   ≤ cle 11232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237

This theorem is referenced by:  supxrre  13344  infxrre  13354  ixxub  13384  ixxlb  13385  pcadd2  16940  psmetsym  24428  xmetsym  24465  imasdsf1olem  24491  ovolunnul  25620  ovolicc  25643  voliunlem3  25672  uniioovol  25699  uniiccvol  25700  ismbfd  25759  mbflimsup  25786  itg2itg1  25856  itg2seq  25862  itg2eqa  25865  itg2split  25869  itg2mono  25873  deg1add  26221  deg1mul2  26232  deg1tm  26237  xrgepnfd  45905  supxrge  45912  infxrpnf  46018  eliccnelico  46103  liminfgelimsup  46354  liminfgelimsupuz  46360  liminflimsupclim  46379  xlimliminflimsup  46434  ismbl4  46565  rrxsnicc  46872  sge0fsum  46959  sge0split  46981  sge0iunmptlemre  46987  sge0isum  46999  sge0xaddlem2  47006  sge0reuz  47019  meale0eq0  47050  carageniuncl  47095  caratheodorylem2  47099  caragenel2d  47104  omess0  47106  ovn0lem  47137  hoidmv1lelem2  47164  hoidmv1lelem3  47165  hoidmvlelem4  47170  ovnhoi  47175  ovolval2lem  47215  ovolval5lem3  47226