Theorem xrletrid 13084

Description: Trichotomy law for extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrletrid.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrletrid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrletrid.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrletrid.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
xrletrid	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem xrletrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrletrid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrletrid.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)
3		xrletrid.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrletrid.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrletri3 13083	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
7	1, 2, 6	mpbir2and 711	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5110  ℝ^*cxr 11197   ≤ cle 11199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204

This theorem is referenced by:  supxrre  13256  infxrre  13265  ixxub  13295  ixxlb  13296  pcadd2  16773  psmetsym  23700  xmetsym  23737  imasdsf1olem  23763  ovolunnul  24901  ovolicc  24924  voliunlem3  24953  uniioovol  24980  uniiccvol  24981  ismbfd  25040  mbflimsup  25067  itg2itg1  25138  itg2seq  25144  itg2eqa  25147  itg2split  25151  itg2mono  25155  deg1add  25505  deg1mul2  25516  deg1tm  25520  xrgepnfd  43686  supxrge  43693  infxrpnf  43801  eliccnelico  43887  liminfgelimsup  44143  liminfgelimsupuz  44149  liminflimsupclim  44168  xlimliminflimsup  44223  ismbl4  44354  rrxsnicc  44661  sge0fsum  44748  sge0split  44770  sge0iunmptlemre  44776  sge0isum  44788  sge0xaddlem2  44795  sge0reuz  44808  meale0eq0  44839  carageniuncl  44884  caratheodorylem2  44888  caragenel2d  44893  omess0  44895  ovn0lem  44926  hoidmv1lelem2  44953  hoidmv1lelem3  44954  hoidmvlelem4  44959  ovnhoi  44964  ovolval2lem  45004  ovolval5lem3  45015