Theorem xrletrid 12358

Description: Trichotomy law for extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrletrid.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrletrid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrletrid.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrletrid.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
xrletrid	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem xrletrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrletrid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrletrid.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)
3		xrletrid.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrletrid.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrletri3 12357	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
6	3, 4, 5	syl2anc 576	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
7	1, 2, 6	mpbir2and 700	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2048   class class class wbr 4923  ℝ^*cxr 10465   ≤ cle 10467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4707  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-id 5305  df-po 5319  df-so 5320  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472

This theorem is referenced by:  supxrre  12529  infxrre  12538  ixxub  12568  ixxlb  12569  pcadd2  16072  psmetsym  22613  xmetsym  22650  imasdsf1olem  22676  ovolunnul  23794  ovolicc  23817  voliunlem3  23846  uniioovol  23873  uniiccvol  23874  ismbfd  23933  mbflimsup  23960  itg2itg1  24030  itg2seq  24036  itg2eqa  24039  itg2split  24043  itg2mono  24047  deg1add  24390  deg1mul2  24401  deg1tm  24405  xrgepnfd  40974  supxrge  40981  infxrpnf  41098  eliccnelico  41182  liminfgelimsup  41440  liminfgelimsupuz  41446  liminflimsupclim  41465  xlimliminflimsup  41520  ismbl4  41655  rrxsnicc  41962  sge0fsum  42046  sge0split  42068  sge0iunmptlemre  42074  sge0isum  42086  sge0xaddlem2  42093  sge0reuz  42106  meale0eq0  42137  carageniuncl  42182  caratheodorylem2  42186  caragenel2d  42191  omess0  42193  ovn0lem  42224  hoidmv1lelem2  42251  hoidmv1lelem3  42252  hoidmvlelem4  42257  ovnhoi  42262  ovolval2lem  42302  ovolval5lem3  42313