Theorem xrletrid 13056

Description: Trichotomy law for extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrletrid.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrletrid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrletrid.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrletrid.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
xrletrid	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem xrletrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrletrid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrletrid.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)
3		xrletrid.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrletrid.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrletri3 13055	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
7	1, 2, 6	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5093  ℝ^*cxr 11152   ≤ cle 11154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159

This theorem is referenced by:  supxrre  13228  infxrre  13238  ixxub  13268  ixxlb  13269  pcadd2  16804  psmetsym  24226  xmetsym  24263  imasdsf1olem  24289  ovolunnul  25429  ovolicc  25452  voliunlem3  25481  uniioovol  25508  uniiccvol  25509  ismbfd  25568  mbflimsup  25595  itg2itg1  25665  itg2seq  25671  itg2eqa  25674  itg2split  25678  itg2mono  25682  deg1add  26036  deg1mul2  26047  deg1tm  26052  xrgepnfd  45454  supxrge  45461  infxrpnf  45568  eliccnelico  45653  liminfgelimsup  45904  liminfgelimsupuz  45910  liminflimsupclim  45929  xlimliminflimsup  45984  ismbl4  46115  rrxsnicc  46422  sge0fsum  46509  sge0split  46531  sge0iunmptlemre  46537  sge0isum  46549  sge0xaddlem2  46556  sge0reuz  46569  meale0eq0  46600  carageniuncl  46645  caratheodorylem2  46649  caragenel2d  46654  omess0  46656  ovn0lem  46687  hoidmv1lelem2  46714  hoidmv1lelem3  46715  hoidmvlelem4  46720  ovnhoi  46725  ovolval2lem  46765  ovolval5lem3  46776