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Theorem sge0le 44638
Description: If all of the terms of sums compare, so do the sums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0le.x (𝜑𝑋𝑉)
sge0le.F (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0le.g (𝜑𝐺:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0le.le ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
Assertion
Ref Expression
sge0le (𝜑 → (Σ^𝐹) ≤ (Σ^𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem sge0le
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0le.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
2 sge0le.F . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
31, 2sge0xrcl 44616 . . . . 5 (𝜑 → (Σ^𝐹) ∈ ℝ*)
4 pnfge 13051 . . . . 5 ((Σ^𝐹) ∈ ℝ* → (Σ^𝐹) ≤ +∞)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝜑 → (Σ^𝐹) ≤ +∞)
65adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐺) = +∞) → (Σ^𝐹) ≤ +∞)
7 id 22 . . . . 5 ((Σ^𝐺) = +∞ → (Σ^𝐺) = +∞)
87eqcomd 2742 . . . 4 ((Σ^𝐺) = +∞ → +∞ = (Σ^𝐺))
98adantl 482 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐺) = +∞) → +∞ = (Σ^𝐺))
106, 9breqtrd 5131 . 2 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐺) = +∞) → (Σ^𝐹) ≤ (Σ^𝐺))
11 elinel2 4156 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
1211adantl 482 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
132adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
141adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → 𝑋𝑉)
15 sge0le.g . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺:𝑋⟶(0[,]+∞))
1615adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → 𝐺:𝑋⟶(0[,]+∞))
17 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → +∞ ∈ ran 𝐹)
182ffnd 6669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹 Fn 𝑋)
19 fvelrnb 6903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 Fn 𝑋 → (+∞ ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥𝑋 (𝐹𝑥) = +∞))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (+∞ ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥𝑋 (𝐹𝑥) = +∞))
2120adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → (+∞ ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥𝑋 (𝐹𝑥) = +∞))
2217, 21mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → ∃𝑥𝑋 (𝐹𝑥) = +∞)
23 iccssxr 13347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2415ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐺𝑥) ∈ (0[,]+∞))
2523, 24sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ*)
2625adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = +∞) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ*)
27 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹𝑥) = +∞ → (𝐹𝑥) = +∞)
2827eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹𝑥) = +∞ → +∞ = (𝐹𝑥))
2928adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = +∞) → +∞ = (𝐹𝑥))
30 sge0le.le . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
3130adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = +∞) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
3229, 31eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = +∞) → +∞ ≤ (𝐺𝑥))
3326, 32xrgepnfd 43555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = +∞) → (𝐺𝑥) = +∞)
3433eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = +∞) → +∞ = (𝐺𝑥))
3515ffnd 6669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐺 Fn 𝑋)
3635adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐺 Fn 𝑋)
37 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
38 fnfvelrn 7031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺 Fn 𝑋𝑥𝑋) → (𝐺𝑥) ∈ ran 𝐺)
3936, 37, 38syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐺𝑥) ∈ ran 𝐺)
4039adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = +∞) → (𝐺𝑥) ∈ ran 𝐺)
4134, 40eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = +∞) → +∞ ∈ ran 𝐺)
4241ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐹𝑥) = +∞ → +∞ ∈ ran 𝐺))
4342adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝐹𝑥) = +∞ → +∞ ∈ ran 𝐺))
4443rexlimdva 3152 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → (∃𝑥𝑋 (𝐹𝑥) = +∞ → +∞ ∈ ran 𝐺))
4522, 44mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → +∞ ∈ ran 𝐺)
4614, 16, 45sge0pnfval 44604 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → (Σ^𝐺) = +∞)
4746adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → (Σ^𝐺) = +∞)
48 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → ¬ (Σ^𝐺) = +∞)
4947, 48pm2.65da 815 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
5013, 49fge0iccico 44601 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
5150adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
52 elpwinss 43247 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑦𝑋)
5352adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑦𝑋)
5451, 53fssresd 6709 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (𝐹𝑦):𝑦⟶(0[,)+∞))
5512, 54sge0fsum 44618 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹𝑦)) = Σ𝑥𝑦 ((𝐹𝑦)‘𝑥))
56 rge0ssre 13373 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
5754ffvelcdmda 7035 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝐹𝑦)‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
5856, 57sselid 3942 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝐹𝑦)‘𝑥) ∈ ℝ)
5912, 58fsumrecl 15619 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑥𝑦 ((𝐹𝑦)‘𝑥) ∈ ℝ)
6055, 59eqeltrd 2838 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹𝑦)) ∈ ℝ)
6115adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → 𝐺:𝑋⟶(0[,]+∞))
621adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → 𝑋𝑉)
63 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → ¬ (Σ^𝐺) = +∞)
6462, 61sge0repnf 44617 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → ((Σ^𝐺) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^𝐺) = +∞))
6563, 64mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → (Σ^𝐺) ∈ ℝ)
6662, 61, 65sge0rern 44619 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → ¬ +∞ ∈ ran 𝐺)
6761, 66fge0iccico 44601 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → 𝐺:𝑋⟶(0[,)+∞))
6867adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐺:𝑋⟶(0[,)+∞))
6968, 53fssresd 6709 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (𝐺𝑦):𝑦⟶(0[,)+∞))
7012, 69sge0fsum 44618 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐺𝑦)) = Σ𝑥𝑦 ((𝐺𝑦)‘𝑥))
7169ffvelcdmda 7035 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝐺𝑦)‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
7256, 71sselid 3942 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝐺𝑦)‘𝑥) ∈ ℝ)
7312, 72fsumrecl 15619 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑥𝑦 ((𝐺𝑦)‘𝑥) ∈ ℝ)
7470, 73eqeltrd 2838 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐺𝑦)) ∈ ℝ)
7565adantr 481 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^𝐺) ∈ ℝ)
76 simplll 773 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝜑)
7753sselda 3944 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝑋)
7876, 77, 30syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
79 fvres 6861 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑦 → ((𝐹𝑦)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
8079adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝐹𝑦)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
81 fvres 6861 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑦 → ((𝐺𝑦)‘𝑥) = (𝐺𝑥))
8281adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝐺𝑦)‘𝑥) = (𝐺𝑥))
8380, 82breq12d 5118 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → (((𝐹𝑦)‘𝑥) ≤ ((𝐺𝑦)‘𝑥) ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥)))
8478, 83mpbird 256 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝐹𝑦)‘𝑥) ≤ ((𝐺𝑦)‘𝑥))
8512, 58, 72, 84fsumle 15684 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑥𝑦 ((𝐹𝑦)‘𝑥) ≤ Σ𝑥𝑦 ((𝐺𝑦)‘𝑥))
8655, 70breq12d 5118 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → ((Σ^‘(𝐹𝑦)) ≤ (Σ^‘(𝐺𝑦)) ↔ Σ𝑥𝑦 ((𝐹𝑦)‘𝑥) ≤ Σ𝑥𝑦 ((𝐺𝑦)‘𝑥)))
8785, 86mpbird 256 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹𝑦)) ≤ (Σ^‘(𝐺𝑦)))
881adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑋𝑉)
8915adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐺:𝑋⟶(0[,]+∞))
9088, 89sge0less 44623 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐺𝑦)) ≤ (Σ^𝐺))
9190adantlr 713 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐺𝑦)) ≤ (Σ^𝐺))
9260, 74, 75, 87, 91letrd 11312 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹𝑦)) ≤ (Σ^𝐺))
9392ralrimiva 3143 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑦)) ≤ (Σ^𝐺))
9462, 61sge0xrcl 44616 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → (Σ^𝐺) ∈ ℝ*)
9562, 13, 94sge0lefi 44629 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → ((Σ^𝐹) ≤ (Σ^𝐺) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑦)) ≤ (Σ^𝐺)))
9693, 95mpbird 256 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → (Σ^𝐹) ≤ (Σ^𝐺))
9710, 96pm2.61dan 811 1 (𝜑 → (Σ^𝐹) ≤ (Σ^𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  cin 3909  wss 3910  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5105  ran crn 5634  cres 5635   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  cr 11050  0cc0 11051  +∞cpnf 11186  *cxr 11188  cle 11190  [,)cico 13266  [,]cicc 13267  Σcsu 15570  Σ^csumge0 44593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-sumge0 44594
This theorem is referenced by:  sge0lempt  44641
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