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Theorem sge0le 44734
Description: If all of the terms of sums compare, so do the sums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0le.x (𝜑𝑋𝑉)
sge0le.F (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0le.g (𝜑𝐺:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0le.le ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
Assertion
Ref Expression
sge0le (𝜑 → (Σ^𝐹) ≤ (Σ^𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem sge0le
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0le.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
2 sge0le.F . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
31, 2sge0xrcl 44712 . . . . 5 (𝜑 → (Σ^𝐹) ∈ ℝ*)
4 pnfge 13056 . . . . 5 ((Σ^𝐹) ∈ ℝ* → (Σ^𝐹) ≤ +∞)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝜑 → (Σ^𝐹) ≤ +∞)
65adantr 482 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐺) = +∞) → (Σ^𝐹) ≤ +∞)
7 id 22 . . . . 5 ((Σ^𝐺) = +∞ → (Σ^𝐺) = +∞)
87eqcomd 2739 . . . 4 ((Σ^𝐺) = +∞ → +∞ = (Σ^𝐺))
98adantl 483 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐺) = +∞) → +∞ = (Σ^𝐺))
106, 9breqtrd 5132 . 2 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐺) = +∞) → (Σ^𝐹) ≤ (Σ^𝐺))
11 elinel2 4157 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
1211adantl 483 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
132adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
141adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → 𝑋𝑉)
15 sge0le.g . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺:𝑋⟶(0[,]+∞))
1615adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → 𝐺:𝑋⟶(0[,]+∞))
17 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → +∞ ∈ ran 𝐹)
182ffnd 6670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹 Fn 𝑋)
19 fvelrnb 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 Fn 𝑋 → (+∞ ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥𝑋 (𝐹𝑥) = +∞))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (+∞ ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥𝑋 (𝐹𝑥) = +∞))
2120adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → (+∞ ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥𝑋 (𝐹𝑥) = +∞))
2217, 21mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → ∃𝑥𝑋 (𝐹𝑥) = +∞)
23 iccssxr 13353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2415ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐺𝑥) ∈ (0[,]+∞))
2523, 24sselid 3943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ*)
2625adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = +∞) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ*)
27 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹𝑥) = +∞ → (𝐹𝑥) = +∞)
2827eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹𝑥) = +∞ → +∞ = (𝐹𝑥))
2928adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = +∞) → +∞ = (𝐹𝑥))
30 sge0le.le . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
3130adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = +∞) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
3229, 31eqbrtrd 5128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = +∞) → +∞ ≤ (𝐺𝑥))
3326, 32xrgepnfd 43652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = +∞) → (𝐺𝑥) = +∞)
3433eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = +∞) → +∞ = (𝐺𝑥))
3515ffnd 6670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐺 Fn 𝑋)
3635adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐺 Fn 𝑋)
37 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
38 fnfvelrn 7032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺 Fn 𝑋𝑥𝑋) → (𝐺𝑥) ∈ ran 𝐺)
3936, 37, 38syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐺𝑥) ∈ ran 𝐺)
4039adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = +∞) → (𝐺𝑥) ∈ ran 𝐺)
4134, 40eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = +∞) → +∞ ∈ ran 𝐺)
4241ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐹𝑥) = +∞ → +∞ ∈ ran 𝐺))
4342adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝐹𝑥) = +∞ → +∞ ∈ ran 𝐺))
4443rexlimdva 3149 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → (∃𝑥𝑋 (𝐹𝑥) = +∞ → +∞ ∈ ran 𝐺))
4522, 44mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → +∞ ∈ ran 𝐺)
4614, 16, 45sge0pnfval 44700 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → (Σ^𝐺) = +∞)
4746adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → (Σ^𝐺) = +∞)
48 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → ¬ (Σ^𝐺) = +∞)
4947, 48pm2.65da 816 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
5013, 49fge0iccico 44697 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
5150adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
52 elpwinss 43345 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑦𝑋)
5352adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑦𝑋)
5451, 53fssresd 6710 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (𝐹𝑦):𝑦⟶(0[,)+∞))
5512, 54sge0fsum 44714 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹𝑦)) = Σ𝑥𝑦 ((𝐹𝑦)‘𝑥))
56 rge0ssre 13379 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
5754ffvelcdmda 7036 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝐹𝑦)‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
5856, 57sselid 3943 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝐹𝑦)‘𝑥) ∈ ℝ)
5912, 58fsumrecl 15624 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑥𝑦 ((𝐹𝑦)‘𝑥) ∈ ℝ)
6055, 59eqeltrd 2834 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹𝑦)) ∈ ℝ)
6115adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → 𝐺:𝑋⟶(0[,]+∞))
621adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → 𝑋𝑉)
63 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → ¬ (Σ^𝐺) = +∞)
6462, 61sge0repnf 44713 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → ((Σ^𝐺) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^𝐺) = +∞))
6563, 64mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → (Σ^𝐺) ∈ ℝ)
6662, 61, 65sge0rern 44715 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → ¬ +∞ ∈ ran 𝐺)
6761, 66fge0iccico 44697 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → 𝐺:𝑋⟶(0[,)+∞))
6867adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐺:𝑋⟶(0[,)+∞))
6968, 53fssresd 6710 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (𝐺𝑦):𝑦⟶(0[,)+∞))
7012, 69sge0fsum 44714 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐺𝑦)) = Σ𝑥𝑦 ((𝐺𝑦)‘𝑥))
7169ffvelcdmda 7036 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝐺𝑦)‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
7256, 71sselid 3943 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝐺𝑦)‘𝑥) ∈ ℝ)
7312, 72fsumrecl 15624 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑥𝑦 ((𝐺𝑦)‘𝑥) ∈ ℝ)
7470, 73eqeltrd 2834 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐺𝑦)) ∈ ℝ)
7565adantr 482 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^𝐺) ∈ ℝ)
76 simplll 774 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝜑)
7753sselda 3945 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝑋)
7876, 77, 30syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
79 fvres 6862 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑦 → ((𝐹𝑦)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
8079adantl 483 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝐹𝑦)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
81 fvres 6862 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑦 → ((𝐺𝑦)‘𝑥) = (𝐺𝑥))
8281adantl 483 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝐺𝑦)‘𝑥) = (𝐺𝑥))
8380, 82breq12d 5119 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → (((𝐹𝑦)‘𝑥) ≤ ((𝐺𝑦)‘𝑥) ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥)))
8478, 83mpbird 257 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝐹𝑦)‘𝑥) ≤ ((𝐺𝑦)‘𝑥))
8512, 58, 72, 84fsumle 15689 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑥𝑦 ((𝐹𝑦)‘𝑥) ≤ Σ𝑥𝑦 ((𝐺𝑦)‘𝑥))
8655, 70breq12d 5119 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → ((Σ^‘(𝐹𝑦)) ≤ (Σ^‘(𝐺𝑦)) ↔ Σ𝑥𝑦 ((𝐹𝑦)‘𝑥) ≤ Σ𝑥𝑦 ((𝐺𝑦)‘𝑥)))
8785, 86mpbird 257 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹𝑦)) ≤ (Σ^‘(𝐺𝑦)))
881adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑋𝑉)
8915adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐺:𝑋⟶(0[,]+∞))
9088, 89sge0less 44719 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐺𝑦)) ≤ (Σ^𝐺))
9190adantlr 714 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐺𝑦)) ≤ (Σ^𝐺))
9260, 74, 75, 87, 91letrd 11317 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹𝑦)) ≤ (Σ^𝐺))
9392ralrimiva 3140 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑦)) ≤ (Σ^𝐺))
9462, 61sge0xrcl 44712 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → (Σ^𝐺) ∈ ℝ*)
9562, 13, 94sge0lefi 44725 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → ((Σ^𝐹) ≤ (Σ^𝐺) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑦)) ≤ (Σ^𝐺)))
9693, 95mpbird 257 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → (Σ^𝐹) ≤ (Σ^𝐺))
9710, 96pm2.61dan 812 1 (𝜑 → (Σ^𝐹) ≤ (Σ^𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3061  wrex 3070  cin 3910  wss 3911  𝒫 cpw 4561   class class class wbr 5106  ran crn 5635  cres 5636   Fn wfn 6492  wf 6493  cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  cr 11055  0cc0 11056  +∞cpnf 11191  *cxr 11193  cle 11195  [,)cico 13272  [,]cicc 13273  Σcsu 15576  Σ^csumge0 44689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577  df-sumge0 44690
This theorem is referenced by:  sge0lempt  44737
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