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Theorem sge0le 46422
Description: If all of the terms of sums compare, so do the sums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0le.x (𝜑𝑋𝑉)
sge0le.F (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0le.g (𝜑𝐺:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0le.le ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
Assertion
Ref Expression
sge0le (𝜑 → (Σ^𝐹) ≤ (Σ^𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem sge0le
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0le.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
2 sge0le.F . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
31, 2sge0xrcl 46400 . . . . 5 (𝜑 → (Σ^𝐹) ∈ ℝ*)
4 pnfge 13172 . . . . 5 ((Σ^𝐹) ∈ ℝ* → (Σ^𝐹) ≤ +∞)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝜑 → (Σ^𝐹) ≤ +∞)
65adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐺) = +∞) → (Σ^𝐹) ≤ +∞)
7 id 22 . . . . 5 ((Σ^𝐺) = +∞ → (Σ^𝐺) = +∞)
87eqcomd 2743 . . . 4 ((Σ^𝐺) = +∞ → +∞ = (Σ^𝐺))
98adantl 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐺) = +∞) → +∞ = (Σ^𝐺))
106, 9breqtrd 5169 . 2 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐺) = +∞) → (Σ^𝐹) ≤ (Σ^𝐺))
11 elinel2 4202 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
1211adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
132adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
141adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → 𝑋𝑉)
15 sge0le.g . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺:𝑋⟶(0[,]+∞))
1615adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → 𝐺:𝑋⟶(0[,]+∞))
17 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → +∞ ∈ ran 𝐹)
182ffnd 6737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹 Fn 𝑋)
19 fvelrnb 6969 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 Fn 𝑋 → (+∞ ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥𝑋 (𝐹𝑥) = +∞))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (+∞ ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥𝑋 (𝐹𝑥) = +∞))
2120adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → (+∞ ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥𝑋 (𝐹𝑥) = +∞))
2217, 21mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → ∃𝑥𝑋 (𝐹𝑥) = +∞)
23 iccssxr 13470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2415ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐺𝑥) ∈ (0[,]+∞))
2523, 24sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ*)
2625adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = +∞) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ*)
27 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹𝑥) = +∞ → (𝐹𝑥) = +∞)
2827eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹𝑥) = +∞ → +∞ = (𝐹𝑥))
2928adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = +∞) → +∞ = (𝐹𝑥))
30 sge0le.le . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
3130adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = +∞) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
3229, 31eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = +∞) → +∞ ≤ (𝐺𝑥))
3326, 32xrgepnfd 45342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = +∞) → (𝐺𝑥) = +∞)
3433eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = +∞) → +∞ = (𝐺𝑥))
3515ffnd 6737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐺 Fn 𝑋)
3635adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐺 Fn 𝑋)
37 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
38 fnfvelrn 7100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺 Fn 𝑋𝑥𝑋) → (𝐺𝑥) ∈ ran 𝐺)
3936, 37, 38syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐺𝑥) ∈ ran 𝐺)
4039adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = +∞) → (𝐺𝑥) ∈ ran 𝐺)
4134, 40eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = +∞) → +∞ ∈ ran 𝐺)
4241ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐹𝑥) = +∞ → +∞ ∈ ran 𝐺))
4342adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝐹𝑥) = +∞ → +∞ ∈ ran 𝐺))
4443rexlimdva 3155 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → (∃𝑥𝑋 (𝐹𝑥) = +∞ → +∞ ∈ ran 𝐺))
4522, 44mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → +∞ ∈ ran 𝐺)
4614, 16, 45sge0pnfval 46388 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → (Σ^𝐺) = +∞)
4746adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → (Σ^𝐺) = +∞)
48 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → ¬ (Σ^𝐺) = +∞)
4947, 48pm2.65da 817 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
5013, 49fge0iccico 46385 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
5150adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
52 elpwinss 45054 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑦𝑋)
5352adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑦𝑋)
5451, 53fssresd 6775 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (𝐹𝑦):𝑦⟶(0[,)+∞))
5512, 54sge0fsum 46402 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹𝑦)) = Σ𝑥𝑦 ((𝐹𝑦)‘𝑥))
56 rge0ssre 13496 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
5754ffvelcdmda 7104 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝐹𝑦)‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
5856, 57sselid 3981 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝐹𝑦)‘𝑥) ∈ ℝ)
5912, 58fsumrecl 15770 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑥𝑦 ((𝐹𝑦)‘𝑥) ∈ ℝ)
6055, 59eqeltrd 2841 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹𝑦)) ∈ ℝ)
6115adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → 𝐺:𝑋⟶(0[,]+∞))
621adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → 𝑋𝑉)
63 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → ¬ (Σ^𝐺) = +∞)
6462, 61sge0repnf 46401 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → ((Σ^𝐺) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^𝐺) = +∞))
6563, 64mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → (Σ^𝐺) ∈ ℝ)
6662, 61, 65sge0rern 46403 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → ¬ +∞ ∈ ran 𝐺)
6761, 66fge0iccico 46385 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → 𝐺:𝑋⟶(0[,)+∞))
6867adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐺:𝑋⟶(0[,)+∞))
6968, 53fssresd 6775 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (𝐺𝑦):𝑦⟶(0[,)+∞))
7012, 69sge0fsum 46402 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐺𝑦)) = Σ𝑥𝑦 ((𝐺𝑦)‘𝑥))
7169ffvelcdmda 7104 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝐺𝑦)‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
7256, 71sselid 3981 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝐺𝑦)‘𝑥) ∈ ℝ)
7312, 72fsumrecl 15770 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑥𝑦 ((𝐺𝑦)‘𝑥) ∈ ℝ)
7470, 73eqeltrd 2841 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐺𝑦)) ∈ ℝ)
7565adantr 480 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^𝐺) ∈ ℝ)
76 simplll 775 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝜑)
7753sselda 3983 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝑋)
7876, 77, 30syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
79 fvres 6925 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑦 → ((𝐹𝑦)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
8079adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝐹𝑦)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
81 fvres 6925 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑦 → ((𝐺𝑦)‘𝑥) = (𝐺𝑥))
8281adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝐺𝑦)‘𝑥) = (𝐺𝑥))
8380, 82breq12d 5156 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → (((𝐹𝑦)‘𝑥) ≤ ((𝐺𝑦)‘𝑥) ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥)))
8478, 83mpbird 257 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝐹𝑦)‘𝑥) ≤ ((𝐺𝑦)‘𝑥))
8512, 58, 72, 84fsumle 15835 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑥𝑦 ((𝐹𝑦)‘𝑥) ≤ Σ𝑥𝑦 ((𝐺𝑦)‘𝑥))
8655, 70breq12d 5156 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → ((Σ^‘(𝐹𝑦)) ≤ (Σ^‘(𝐺𝑦)) ↔ Σ𝑥𝑦 ((𝐹𝑦)‘𝑥) ≤ Σ𝑥𝑦 ((𝐺𝑦)‘𝑥)))
8785, 86mpbird 257 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹𝑦)) ≤ (Σ^‘(𝐺𝑦)))
881adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑋𝑉)
8915adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐺:𝑋⟶(0[,]+∞))
9088, 89sge0less 46407 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐺𝑦)) ≤ (Σ^𝐺))
9190adantlr 715 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐺𝑦)) ≤ (Σ^𝐺))
9260, 74, 75, 87, 91letrd 11418 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹𝑦)) ≤ (Σ^𝐺))
9392ralrimiva 3146 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑦)) ≤ (Σ^𝐺))
9462, 61sge0xrcl 46400 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → (Σ^𝐺) ∈ ℝ*)
9562, 13, 94sge0lefi 46413 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → ((Σ^𝐹) ≤ (Σ^𝐺) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑦)) ≤ (Σ^𝐺)))
9693, 95mpbird 257 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → (Σ^𝐹) ≤ (Σ^𝐺))
9710, 96pm2.61dan 813 1 (𝜑 → (Σ^𝐹) ≤ (Σ^𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  cin 3950  wss 3951  𝒫 cpw 4600   class class class wbr 5143  ran crn 5686  cres 5687   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cr 11154  0cc0 11155  +∞cpnf 11292  *cxr 11294  cle 11296  [,)cico 13389  [,]cicc 13390  Σcsu 15722  Σ^csumge0 46377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-sumge0 46378
This theorem is referenced by:  sge0lempt  46425
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