Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoicvrrex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoicvrrex 45351
Description: Any subset of the multidimensional reals can be covered by a countable set of half-open intervals, see Definition 115A (b) of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoicvrrex.fi (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
hoicvrrex.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โŠ† (โ„ โ†‘m ๐‘‹))
Assertion
Ref Expression
hoicvrrex (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘– โˆˆ (((โ„ ร— โ„) โ†‘m ๐‘‹) โ†‘m โ„•)(๐‘Œ โŠ† โˆช ๐‘— โˆˆ โ„• X๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (([,) โˆ˜ (๐‘–โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜) โˆง +โˆž = (ฮฃ^โ€˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (volโ€˜(([,) โˆ˜ (๐‘–โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜))))))
Distinct variable groups:   ๐‘–,๐‘‹,๐‘—,๐‘˜   ๐‘–,๐‘Œ   ๐œ‘,๐‘—,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘–)   ๐‘Œ(๐‘—,๐‘˜)

Proof of Theorem hoicvrrex
Dummy variable ๐‘™ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnre 12221 . . . . . . . . 9 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„)
21renegcld 11643 . . . . . . . 8 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ -๐‘— โˆˆ โ„)
3 opelxpi 5713 . . . . . . . 8 ((-๐‘— โˆˆ โ„ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„) โ†’ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ โˆˆ (โ„ ร— โ„))
42, 1, 3syl2anc 584 . . . . . . 7 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ โˆˆ (โ„ ร— โ„))
54ad2antlr 725 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ โˆˆ (โ„ ร— โ„))
6 eqid 2732 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ) = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)
75, 6fmptd 7115 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ):๐‘‹โŸถ(โ„ ร— โ„))
8 reex 11203 . . . . . . . . 9 โ„ โˆˆ V
98, 8xpex 7742 . . . . . . . 8 (โ„ ร— โ„) โˆˆ V
109a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ„ ร— โ„) โˆˆ V)
11 hoicvrrex.fi . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
12 elmapg 8835 . . . . . . 7 (((โ„ ร— โ„) โˆˆ V โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ) โˆˆ ((โ„ ร— โ„) โ†‘m ๐‘‹) โ†” (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ):๐‘‹โŸถ(โ„ ร— โ„)))
1310, 11, 12syl2anc 584 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ) โˆˆ ((โ„ ร— โ„) โ†‘m ๐‘‹) โ†” (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ):๐‘‹โŸถ(โ„ ร— โ„)))
1413adantr 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ) โˆˆ ((โ„ ร— โ„) โ†‘m ๐‘‹) โ†” (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ):๐‘‹โŸถ(โ„ ร— โ„)))
157, 14mpbird 256 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ) โˆˆ ((โ„ ร— โ„) โ†‘m ๐‘‹))
16 eqid 2732 . . . 4 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))
1715, 16fmptd 7115 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)):โ„•โŸถ((โ„ ร— โ„) โ†‘m ๐‘‹))
18 ovex 7444 . . . 4 ((โ„ ร— โ„) โ†‘m ๐‘‹) โˆˆ V
19 nnex 12220 . . . 4 โ„• โˆˆ V
2018, 19elmap 8867 . . 3 ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) โˆˆ (((โ„ ร— โ„) โ†‘m ๐‘‹) โ†‘m โ„•) โ†” (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)):โ„•โŸถ((โ„ ร— โ„) โ†‘m ๐‘‹))
2117, 20sylibr 233 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) โˆˆ (((โ„ ร— โ„) โ†‘m ๐‘‹) โ†‘m โ„•))
22 hoicvrrex.y . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โŠ† (โ„ โ†‘m ๐‘‹))
23 eqid 2732 . . . . . 6 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘™ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘™ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))
2423, 11hoicvr 45343 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ„ โ†‘m ๐‘‹) โŠ† โˆช ๐‘— โˆˆ โ„• X๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘™ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜))
25 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘™ = ๐‘˜ โ†’ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ = โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)
2625cbvmptv 5261 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘™ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ) = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)
2726mpteq2i 5253 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘™ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘™ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)))
2928fveq1d 6893 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘™ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—) = ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))
3029coeq2d 5862 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘™ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—)) = ([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—)))
3130fveq1d 6893 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘™ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜) = (([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜))
3231ixpeq2dv 8909 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ X๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘™ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜) = X๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜))
3332iuneq2d 5026 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆช ๐‘— โˆˆ โ„• X๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘™ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜) = โˆช ๐‘— โˆˆ โ„• X๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜))
3424, 33sseqtrd 4022 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โ„ โ†‘m ๐‘‹) โŠ† โˆช ๐‘— โˆˆ โ„• X๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜))
3522, 34sstrd 3992 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โŠ† โˆช ๐‘— โˆˆ โ„• X๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜))
36 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•)
3715elexd 3494 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ) โˆˆ V)
3816fvmpt2 7009 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘— โˆˆ โ„• โˆง (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ) โˆˆ V) โ†’ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—) = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))
3936, 37, 38syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—) = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))
4039, 5fmpt3d 7117 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—):๐‘‹โŸถ(โ„ ร— โ„))
4140adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—):๐‘‹โŸถ(โ„ ร— โ„))
42 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹)
4341, 42fvovco 43971 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜) = ((1st โ€˜(((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—)โ€˜๐‘˜))[,)(2nd โ€˜(((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—)โ€˜๐‘˜))))
4439fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—)โ€˜๐‘˜) = ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)โ€˜๐‘˜))
4544adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—)โ€˜๐‘˜) = ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)โ€˜๐‘˜))
46 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹)
47 opex 5464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ โˆˆ V
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ โˆˆ V)
496fvmpt2 7009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โˆง โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ โˆˆ V) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)โ€˜๐‘˜) = โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)
5046, 48, 49syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)โ€˜๐‘˜) = โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)
5150adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)โ€˜๐‘˜) = โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)
5245, 51eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—)โ€˜๐‘˜) = โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)
5352fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (1st โ€˜(((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—)โ€˜๐‘˜)) = (1st โ€˜โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))
54 negex 11460 . . . . . . . . . . . . . . 15 -๐‘— โˆˆ V
55 vex 3478 . . . . . . . . . . . . . . 15 ๐‘— โˆˆ V
5654, 55op1st 7985 . . . . . . . . . . . . . 14 (1st โ€˜โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ) = -๐‘—
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (1st โ€˜โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ) = -๐‘—)
5853, 57eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (1st โ€˜(((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—)โ€˜๐‘˜)) = -๐‘—)
5952fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (2nd โ€˜(((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—)โ€˜๐‘˜)) = (2nd โ€˜โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))
6054, 55op2nd 7986 . . . . . . . . . . . . . 14 (2nd โ€˜โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ) = ๐‘—
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (2nd โ€˜โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ) = ๐‘—)
6259, 61eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (2nd โ€˜(((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—)โ€˜๐‘˜)) = ๐‘—)
6358, 62oveq12d 7429 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((1st โ€˜(((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—)โ€˜๐‘˜))[,)(2nd โ€˜(((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—)โ€˜๐‘˜))) = (-๐‘—[,)๐‘—))
6443, 63eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜) = (-๐‘—[,)๐‘—))
6564fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (volโ€˜(([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜)) = (volโ€˜(-๐‘—[,)๐‘—)))
66 volico 44778 . . . . . . . . . . . 12 ((-๐‘— โˆˆ โ„ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„) โ†’ (volโ€˜(-๐‘—[,)๐‘—)) = if(-๐‘— < ๐‘—, (๐‘— โˆ’ -๐‘—), 0))
672, 1, 66syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ (volโ€˜(-๐‘—[,)๐‘—)) = if(-๐‘— < ๐‘—, (๐‘— โˆ’ -๐‘—), 0))
68 nnrp 12987 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„+)
69 neglt 44073 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘— โˆˆ โ„+ โ†’ -๐‘— < ๐‘—)
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ -๐‘— < ๐‘—)
7170iftrued 4536 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ if(-๐‘— < ๐‘—, (๐‘— โˆ’ -๐‘—), 0) = (๐‘— โˆ’ -๐‘—))
721recnd 11244 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
7372, 72subnegd 11580 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘— โˆ’ -๐‘—) = (๐‘— + ๐‘—))
74722timesd 12457 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘—) = (๐‘— + ๐‘—))
7573, 74eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘— โˆ’ -๐‘—) = (2 ยท ๐‘—))
7667, 71, 753eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ (volโ€˜(-๐‘—[,)๐‘—)) = (2 ยท ๐‘—))
7776ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (volโ€˜(-๐‘—[,)๐‘—)) = (2 ยท ๐‘—))
7865, 77eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (volโ€˜(([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜)) = (2 ยท ๐‘—))
7978prodeq2dv 15869 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (volโ€˜(([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜)) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (2 ยท ๐‘—))
8011adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
81 2cnd 12292 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
8272adantl 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
8381, 82mulcld 11236 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘—) โˆˆ โ„‚)
84 fprodconst 15924 . . . . . . . 8 ((๐‘‹ โˆˆ Fin โˆง (2 ยท ๐‘—) โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (2 ยท ๐‘—) = ((2 ยท ๐‘—)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘‹)))
8580, 83, 84syl2anc 584 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (2 ยท ๐‘—) = ((2 ยท ๐‘—)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘‹)))
8679, 85eqtrd 2772 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (volโ€˜(([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜)) = ((2 ยท ๐‘—)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘‹)))
8786mpteq2dva 5248 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (volโ€˜(([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜))) = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ((2 ยท ๐‘—)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘‹))))
8887fveq2d 6895 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ^โ€˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (volโ€˜(([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜)))) = (ฮฃ^โ€˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ((2 ยท ๐‘—)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘‹)))))
8919a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โ„• โˆˆ V)
9068ssriv 3986 . . . . . . . . . 10 โ„• โŠ† โ„+
91 ioorp 13404 . . . . . . . . . . 11 (0(,)+โˆž) = โ„+
9291eqcomi 2741 . . . . . . . . . 10 โ„+ = (0(,)+โˆž)
9390, 92sseqtri 4018 . . . . . . . . 9 โ„• โŠ† (0(,)+โˆž)
94 ioossicc 13412 . . . . . . . . 9 (0(,)+โˆž) โŠ† (0[,]+โˆž)
9593, 94sstri 3991 . . . . . . . 8 โ„• โŠ† (0[,]+โˆž)
96 2nn 12287 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„•
9796a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
9897, 36nnmulcld 12267 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘—) โˆˆ โ„•)
99 hashcl 14318 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‹ โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„•0)
10011, 99syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„•0)
101100adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„•0)
102 nnexpcl 14042 . . . . . . . . 9 (((2 ยท ๐‘—) โˆˆ โ„• โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2 ยท ๐‘—)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘‹)) โˆˆ โ„•)
10398, 101, 102syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((2 ยท ๐‘—)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘‹)) โˆˆ โ„•)
10495, 103sselid 3980 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((2 ยท ๐‘—)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘‹)) โˆˆ (0[,]+โˆž))
105 eqid 2732 . . . . . . 7 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ((2 ยท ๐‘—)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘‹))) = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ((2 ยท ๐‘—)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘‹)))
106104, 105fmptd 7115 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ((2 ยท ๐‘—)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘‹))):โ„•โŸถ(0[,]+โˆž))
10789, 106sge0xrcl 45180 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ^โ€˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ((2 ยท ๐‘—)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘‹)))) โˆˆ โ„*)
108 pnfxr 11270 . . . . . . 7 +โˆž โˆˆ โ„*
109108a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ +โˆž โˆˆ โ„*)
110 1nn 12225 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„•
11195, 110sselii 3979 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ (0[,]+โˆž)
112111a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ (0[,]+โˆž))
113 eqid 2732 . . . . . . . 8 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ 1) = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ 1)
114112, 113fmptd 7115 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ 1):โ„•โŸถ(0[,]+โˆž))
11589, 114sge0xrcl 45180 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ^โ€˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ 1)) โˆˆ โ„*)
116 nnnfi 13933 . . . . . . . . . 10 ยฌ โ„• โˆˆ Fin
117116a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ยฌ โ„• โˆˆ Fin)
118 1rp 12980 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„+
119118a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„+)
12089, 117, 119sge0rpcpnf 45216 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ^โ€˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ 1)) = +โˆž)
121120eqcomd 2738 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ +โˆž = (ฮฃ^โ€˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ 1)))
122109, 121xreqled 44119 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ +โˆž โ‰ค (ฮฃ^โ€˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ 1)))
123 nfv 1917 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘—๐œ‘
124114fvmptelcdm 7114 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ (0[,]+โˆž))
125103nnge1d 12262 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โ‰ค ((2 ยท ๐‘—)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘‹)))
126123, 89, 124, 104, 125sge0lempt 45205 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ^โ€˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ 1)) โ‰ค (ฮฃ^โ€˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ((2 ยท ๐‘—)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘‹)))))
127109, 115, 107, 122, 126xrletrd 13143 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ +โˆž โ‰ค (ฮฃ^โ€˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ((2 ยท ๐‘—)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘‹)))))
128107, 127xrgepnfd 44120 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ^โ€˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ((2 ยท ๐‘—)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘‹)))) = +โˆž)
129 eqidd 2733 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ +โˆž = +โˆž)
13088, 128, 1293eqtrrd 2777 . . 3 (๐œ‘ โ†’ +โˆž = (ฮฃ^โ€˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (volโ€˜(([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜)))))
13135, 130jca 512 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โŠ† โˆช ๐‘— โˆˆ โ„• X๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜) โˆง +โˆž = (ฮฃ^โ€˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (volโ€˜(([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜))))))
132 nfcv 2903 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘—๐‘–
133 nfmpt1 5256 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘—(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))
134132, 133nfeq 2916 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘— ๐‘– = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))
135 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘˜๐‘–
136 nfcv 2903 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘˜โ„•
137 nfmpt1 5256 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘˜(๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)
138136, 137nfmpt 5255 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))
139135, 138nfeq 2916 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘˜ ๐‘– = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))
140 fveq1 6890 . . . . . . . . . . 11 (๐‘– = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) โ†’ (๐‘–โ€˜๐‘—) = ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))
141140coeq2d 5862 . . . . . . . . . 10 (๐‘– = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) โ†’ ([,) โˆ˜ (๐‘–โ€˜๐‘—)) = ([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—)))
142141fveq1d 6893 . . . . . . . . 9 (๐‘– = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) โ†’ (([,) โˆ˜ (๐‘–โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜) = (([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜))
143142adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐‘– = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (([,) โˆ˜ (๐‘–โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜) = (([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜))
144139, 143ixpeq2d 43837 . . . . . . 7 (๐‘– = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) โ†’ X๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (([,) โˆ˜ (๐‘–โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜) = X๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜))
145144adantr 481 . . . . . 6 ((๐‘– = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ X๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (([,) โˆ˜ (๐‘–โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜) = X๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜))
146134, 145iuneq2df 43815 . . . . 5 (๐‘– = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) โ†’ โˆช ๐‘— โˆˆ โ„• X๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (([,) โˆ˜ (๐‘–โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜) = โˆช ๐‘— โˆˆ โ„• X๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜))
147146sseq2d 4014 . . . 4 (๐‘– = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) โ†’ (๐‘Œ โŠ† โˆช ๐‘— โˆˆ โ„• X๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (([,) โˆ˜ (๐‘–โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜) โ†” ๐‘Œ โŠ† โˆช ๐‘— โˆˆ โ„• X๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜)))
148142fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 (๐‘– = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) โ†’ (volโ€˜(([,) โˆ˜ (๐‘–โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜)) = (volโ€˜(([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜)))
149148a1d 25 . . . . . . . . . 10 (๐‘– = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (volโ€˜(([,) โˆ˜ (๐‘–โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜)) = (volโ€˜(([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜))))
150139, 149ralrimi 3254 . . . . . . . . 9 (๐‘– = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (volโ€˜(([,) โˆ˜ (๐‘–โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜)) = (volโ€˜(([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜)))
151150adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐‘– = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (volโ€˜(([,) โˆ˜ (๐‘–โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜)) = (volโ€˜(([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜)))
152151prodeq2d 15868 . . . . . . 7 ((๐‘– = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (volโ€˜(([,) โˆ˜ (๐‘–โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜)) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (volโ€˜(([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜)))
153134, 152mpteq2da 5246 . . . . . 6 (๐‘– = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) โ†’ (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (volโ€˜(([,) โˆ˜ (๐‘–โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜))) = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (volโ€˜(([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜))))
154153fveq2d 6895 . . . . 5 (๐‘– = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) โ†’ (ฮฃ^โ€˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (volโ€˜(([,) โˆ˜ (๐‘–โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜)))) = (ฮฃ^โ€˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (volโ€˜(([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜)))))
155154eqeq2d 2743 . . . 4 (๐‘– = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) โ†’ (+โˆž = (ฮฃ^โ€˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (volโ€˜(([,) โˆ˜ (๐‘–โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜)))) โ†” +โˆž = (ฮฃ^โ€˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (volโ€˜(([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜))))))
156147, 155anbi12d 631 . . 3 (๐‘– = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) โ†’ ((๐‘Œ โŠ† โˆช ๐‘— โˆˆ โ„• X๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (([,) โˆ˜ (๐‘–โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜) โˆง +โˆž = (ฮฃ^โ€˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (volโ€˜(([,) โˆ˜ (๐‘–โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜))))) โ†” (๐‘Œ โŠ† โˆช ๐‘— โˆˆ โ„• X๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜) โˆง +โˆž = (ฮฃ^โ€˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (volโ€˜(([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜)))))))
157156rspcev 3612 . 2 (((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) โˆˆ (((โ„ ร— โ„) โ†‘m ๐‘‹) โ†‘m โ„•) โˆง (๐‘Œ โŠ† โˆช ๐‘— โˆˆ โ„• X๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜) โˆง +โˆž = (ฮฃ^โ€˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (volโ€˜(([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜)))))) โ†’ โˆƒ๐‘– โˆˆ (((โ„ ร— โ„) โ†‘m ๐‘‹) โ†‘m โ„•)(๐‘Œ โŠ† โˆช ๐‘— โˆˆ โ„• X๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (([,) โˆ˜ (๐‘–โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜) โˆง +โˆž = (ฮฃ^โ€˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (volโ€˜(([,) โˆ˜ (๐‘–โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜))))))
15821, 131, 157syl2anc 584 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘– โˆˆ (((โ„ ร— โ„) โ†‘m ๐‘‹) โ†‘m โ„•)(๐‘Œ โŠ† โˆช ๐‘— โˆˆ โ„• X๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (([,) โˆ˜ (๐‘–โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜) โˆง +โˆž = (ฮฃ^โ€˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (volโ€˜(([,) โˆ˜ (๐‘–โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   โŠ† wss 3948  ifcif 4528  โŸจcop 4634  โˆช ciun 4997   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231   ร— cxp 5674   โˆ˜ ccom 5680  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  1st c1st 7975  2nd c2nd 7976   โ†‘m cmap 8822  Xcixp 8893  Fincfn 8941  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117  +โˆžcpnf 11247  โ„*cxr 11249   < clt 11250   โˆ’ cmin 11446  -cneg 11447  โ„•cn 12214  2c2 12269  โ„•0cn0 12474  โ„+crp 12976  (,)cioo 13326  [,)cico 13328  [,]cicc 13329  โ†‘cexp 14029  โ™ฏchash 14292  โˆcprod 15851  volcvol 24987  ฮฃ^csumge0 45157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-prod 15852  df-rest 17370  df-topgen 17391  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-top 22403  df-topon 22420  df-bases 22456  df-cmp 22898  df-ovol 24988  df-vol 24989  df-sumge0 45158
This theorem is referenced by:  ovnpnfelsup  45354
  Copyright terms: Public domain W3C validator