Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoicvrrex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoicvrrex 45272
Description: Any subset of the multidimensional reals can be covered by a countable set of half-open intervals, see Definition 115A (b) of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoicvrrex.fi (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
hoicvrrex.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โŠ† (โ„ โ†‘m ๐‘‹))
Assertion
Ref Expression
hoicvrrex (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘– โˆˆ (((โ„ ร— โ„) โ†‘m ๐‘‹) โ†‘m โ„•)(๐‘Œ โŠ† โˆช ๐‘— โˆˆ โ„• X๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (([,) โˆ˜ (๐‘–โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜) โˆง +โˆž = (ฮฃ^โ€˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (volโ€˜(([,) โˆ˜ (๐‘–โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜))))))
Distinct variable groups:   ๐‘–,๐‘‹,๐‘—,๐‘˜   ๐‘–,๐‘Œ   ๐œ‘,๐‘—,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘–)   ๐‘Œ(๐‘—,๐‘˜)

Proof of Theorem hoicvrrex
Dummy variable ๐‘™ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnre 12219 . . . . . . . . 9 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„)
21renegcld 11641 . . . . . . . 8 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ -๐‘— โˆˆ โ„)
3 opelxpi 5714 . . . . . . . 8 ((-๐‘— โˆˆ โ„ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„) โ†’ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ โˆˆ (โ„ ร— โ„))
42, 1, 3syl2anc 585 . . . . . . 7 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ โˆˆ (โ„ ร— โ„))
54ad2antlr 726 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ โˆˆ (โ„ ร— โ„))
6 eqid 2733 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ) = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)
75, 6fmptd 7114 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ):๐‘‹โŸถ(โ„ ร— โ„))
8 reex 11201 . . . . . . . . 9 โ„ โˆˆ V
98, 8xpex 7740 . . . . . . . 8 (โ„ ร— โ„) โˆˆ V
109a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ„ ร— โ„) โˆˆ V)
11 hoicvrrex.fi . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
12 elmapg 8833 . . . . . . 7 (((โ„ ร— โ„) โˆˆ V โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ) โˆˆ ((โ„ ร— โ„) โ†‘m ๐‘‹) โ†” (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ):๐‘‹โŸถ(โ„ ร— โ„)))
1310, 11, 12syl2anc 585 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ) โˆˆ ((โ„ ร— โ„) โ†‘m ๐‘‹) โ†” (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ):๐‘‹โŸถ(โ„ ร— โ„)))
1413adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ) โˆˆ ((โ„ ร— โ„) โ†‘m ๐‘‹) โ†” (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ):๐‘‹โŸถ(โ„ ร— โ„)))
157, 14mpbird 257 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ) โˆˆ ((โ„ ร— โ„) โ†‘m ๐‘‹))
16 eqid 2733 . . . 4 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))
1715, 16fmptd 7114 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)):โ„•โŸถ((โ„ ร— โ„) โ†‘m ๐‘‹))
18 ovex 7442 . . . 4 ((โ„ ร— โ„) โ†‘m ๐‘‹) โˆˆ V
19 nnex 12218 . . . 4 โ„• โˆˆ V
2018, 19elmap 8865 . . 3 ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) โˆˆ (((โ„ ร— โ„) โ†‘m ๐‘‹) โ†‘m โ„•) โ†” (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)):โ„•โŸถ((โ„ ร— โ„) โ†‘m ๐‘‹))
2117, 20sylibr 233 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) โˆˆ (((โ„ ร— โ„) โ†‘m ๐‘‹) โ†‘m โ„•))
22 hoicvrrex.y . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โŠ† (โ„ โ†‘m ๐‘‹))
23 eqid 2733 . . . . . 6 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘™ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘™ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))
2423, 11hoicvr 45264 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ„ โ†‘m ๐‘‹) โŠ† โˆช ๐‘— โˆˆ โ„• X๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘™ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜))
25 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘™ = ๐‘˜ โ†’ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ = โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)
2625cbvmptv 5262 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘™ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ) = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)
2726mpteq2i 5254 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘™ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘™ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)))
2928fveq1d 6894 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘™ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—) = ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))
3029coeq2d 5863 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘™ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—)) = ([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—)))
3130fveq1d 6894 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘™ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜) = (([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜))
3231ixpeq2dv 8907 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ X๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘™ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜) = X๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜))
3332iuneq2d 5027 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆช ๐‘— โˆˆ โ„• X๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘™ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜) = โˆช ๐‘— โˆˆ โ„• X๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜))
3424, 33sseqtrd 4023 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โ„ โ†‘m ๐‘‹) โŠ† โˆช ๐‘— โˆˆ โ„• X๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜))
3522, 34sstrd 3993 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โŠ† โˆช ๐‘— โˆˆ โ„• X๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜))
36 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•)
3715elexd 3495 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ) โˆˆ V)
3816fvmpt2 7010 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘— โˆˆ โ„• โˆง (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ) โˆˆ V) โ†’ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—) = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))
3936, 37, 38syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—) = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))
4039, 5fmpt3d 7116 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—):๐‘‹โŸถ(โ„ ร— โ„))
4140adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—):๐‘‹โŸถ(โ„ ร— โ„))
42 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹)
4341, 42fvovco 43892 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜) = ((1st โ€˜(((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—)โ€˜๐‘˜))[,)(2nd โ€˜(((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—)โ€˜๐‘˜))))
4439fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—)โ€˜๐‘˜) = ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)โ€˜๐‘˜))
4544adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—)โ€˜๐‘˜) = ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)โ€˜๐‘˜))
46 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹)
47 opex 5465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ โˆˆ V
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ โˆˆ V)
496fvmpt2 7010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โˆง โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ โˆˆ V) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)โ€˜๐‘˜) = โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)
5046, 48, 49syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)โ€˜๐‘˜) = โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)
5150adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)โ€˜๐‘˜) = โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)
5245, 51eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—)โ€˜๐‘˜) = โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)
5352fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (1st โ€˜(((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—)โ€˜๐‘˜)) = (1st โ€˜โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))
54 negex 11458 . . . . . . . . . . . . . . 15 -๐‘— โˆˆ V
55 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ๐‘— โˆˆ V
5654, 55op1st 7983 . . . . . . . . . . . . . 14 (1st โ€˜โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ) = -๐‘—
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (1st โ€˜โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ) = -๐‘—)
5853, 57eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (1st โ€˜(((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—)โ€˜๐‘˜)) = -๐‘—)
5952fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (2nd โ€˜(((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—)โ€˜๐‘˜)) = (2nd โ€˜โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))
6054, 55op2nd 7984 . . . . . . . . . . . . . 14 (2nd โ€˜โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ) = ๐‘—
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (2nd โ€˜โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ) = ๐‘—)
6259, 61eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (2nd โ€˜(((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—)โ€˜๐‘˜)) = ๐‘—)
6358, 62oveq12d 7427 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((1st โ€˜(((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—)โ€˜๐‘˜))[,)(2nd โ€˜(((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—)โ€˜๐‘˜))) = (-๐‘—[,)๐‘—))
6443, 63eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜) = (-๐‘—[,)๐‘—))
6564fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (volโ€˜(([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜)) = (volโ€˜(-๐‘—[,)๐‘—)))
66 volico 44699 . . . . . . . . . . . 12 ((-๐‘— โˆˆ โ„ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„) โ†’ (volโ€˜(-๐‘—[,)๐‘—)) = if(-๐‘— < ๐‘—, (๐‘— โˆ’ -๐‘—), 0))
672, 1, 66syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ (volโ€˜(-๐‘—[,)๐‘—)) = if(-๐‘— < ๐‘—, (๐‘— โˆ’ -๐‘—), 0))
68 nnrp 12985 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„+)
69 neglt 43994 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘— โˆˆ โ„+ โ†’ -๐‘— < ๐‘—)
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ -๐‘— < ๐‘—)
7170iftrued 4537 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ if(-๐‘— < ๐‘—, (๐‘— โˆ’ -๐‘—), 0) = (๐‘— โˆ’ -๐‘—))
721recnd 11242 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
7372, 72subnegd 11578 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘— โˆ’ -๐‘—) = (๐‘— + ๐‘—))
74722timesd 12455 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘—) = (๐‘— + ๐‘—))
7573, 74eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘— โˆ’ -๐‘—) = (2 ยท ๐‘—))
7667, 71, 753eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ (volโ€˜(-๐‘—[,)๐‘—)) = (2 ยท ๐‘—))
7776ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (volโ€˜(-๐‘—[,)๐‘—)) = (2 ยท ๐‘—))
7865, 77eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (volโ€˜(([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜)) = (2 ยท ๐‘—))
7978prodeq2dv 15867 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (volโ€˜(([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜)) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (2 ยท ๐‘—))
8011adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
81 2cnd 12290 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
8272adantl 483 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
8381, 82mulcld 11234 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘—) โˆˆ โ„‚)
84 fprodconst 15922 . . . . . . . 8 ((๐‘‹ โˆˆ Fin โˆง (2 ยท ๐‘—) โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (2 ยท ๐‘—) = ((2 ยท ๐‘—)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘‹)))
8580, 83, 84syl2anc 585 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (2 ยท ๐‘—) = ((2 ยท ๐‘—)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘‹)))
8679, 85eqtrd 2773 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (volโ€˜(([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜)) = ((2 ยท ๐‘—)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘‹)))
8786mpteq2dva 5249 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (volโ€˜(([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜))) = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ((2 ยท ๐‘—)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘‹))))
8887fveq2d 6896 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ^โ€˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (volโ€˜(([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜)))) = (ฮฃ^โ€˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ((2 ยท ๐‘—)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘‹)))))
8919a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โ„• โˆˆ V)
9068ssriv 3987 . . . . . . . . . 10 โ„• โŠ† โ„+
91 ioorp 13402 . . . . . . . . . . 11 (0(,)+โˆž) = โ„+
9291eqcomi 2742 . . . . . . . . . 10 โ„+ = (0(,)+โˆž)
9390, 92sseqtri 4019 . . . . . . . . 9 โ„• โŠ† (0(,)+โˆž)
94 ioossicc 13410 . . . . . . . . 9 (0(,)+โˆž) โŠ† (0[,]+โˆž)
9593, 94sstri 3992 . . . . . . . 8 โ„• โŠ† (0[,]+โˆž)
96 2nn 12285 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„•
9796a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
9897, 36nnmulcld 12265 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘—) โˆˆ โ„•)
99 hashcl 14316 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‹ โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„•0)
10011, 99syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„•0)
101100adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„•0)
102 nnexpcl 14040 . . . . . . . . 9 (((2 ยท ๐‘—) โˆˆ โ„• โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2 ยท ๐‘—)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘‹)) โˆˆ โ„•)
10398, 101, 102syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((2 ยท ๐‘—)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘‹)) โˆˆ โ„•)
10495, 103sselid 3981 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((2 ยท ๐‘—)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘‹)) โˆˆ (0[,]+โˆž))
105 eqid 2733 . . . . . . 7 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ((2 ยท ๐‘—)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘‹))) = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ((2 ยท ๐‘—)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘‹)))
106104, 105fmptd 7114 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ((2 ยท ๐‘—)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘‹))):โ„•โŸถ(0[,]+โˆž))
10789, 106sge0xrcl 45101 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ^โ€˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ((2 ยท ๐‘—)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘‹)))) โˆˆ โ„*)
108 pnfxr 11268 . . . . . . 7 +โˆž โˆˆ โ„*
109108a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ +โˆž โˆˆ โ„*)
110 1nn 12223 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„•
11195, 110sselii 3980 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ (0[,]+โˆž)
112111a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ (0[,]+โˆž))
113 eqid 2733 . . . . . . . 8 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ 1) = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ 1)
114112, 113fmptd 7114 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ 1):โ„•โŸถ(0[,]+โˆž))
11589, 114sge0xrcl 45101 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ^โ€˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ 1)) โˆˆ โ„*)
116 nnnfi 13931 . . . . . . . . . 10 ยฌ โ„• โˆˆ Fin
117116a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ยฌ โ„• โˆˆ Fin)
118 1rp 12978 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„+
119118a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„+)
12089, 117, 119sge0rpcpnf 45137 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ^โ€˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ 1)) = +โˆž)
121120eqcomd 2739 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ +โˆž = (ฮฃ^โ€˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ 1)))
122109, 121xreqled 44040 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ +โˆž โ‰ค (ฮฃ^โ€˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ 1)))
123 nfv 1918 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘—๐œ‘
124114fvmptelcdm 7113 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ (0[,]+โˆž))
125103nnge1d 12260 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โ‰ค ((2 ยท ๐‘—)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘‹)))
126123, 89, 124, 104, 125sge0lempt 45126 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ^โ€˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ 1)) โ‰ค (ฮฃ^โ€˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ((2 ยท ๐‘—)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘‹)))))
127109, 115, 107, 122, 126xrletrd 13141 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ +โˆž โ‰ค (ฮฃ^โ€˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ((2 ยท ๐‘—)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘‹)))))
128107, 127xrgepnfd 44041 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ^โ€˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ((2 ยท ๐‘—)โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘‹)))) = +โˆž)
129 eqidd 2734 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ +โˆž = +โˆž)
13088, 128, 1293eqtrrd 2778 . . 3 (๐œ‘ โ†’ +โˆž = (ฮฃ^โ€˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (volโ€˜(([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜)))))
13135, 130jca 513 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โŠ† โˆช ๐‘— โˆˆ โ„• X๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜) โˆง +โˆž = (ฮฃ^โ€˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (volโ€˜(([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜))))))
132 nfcv 2904 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘—๐‘–
133 nfmpt1 5257 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘—(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))
134132, 133nfeq 2917 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘— ๐‘– = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))
135 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘˜๐‘–
136 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘˜โ„•
137 nfmpt1 5257 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘˜(๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)
138136, 137nfmpt 5256 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))
139135, 138nfeq 2917 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘˜ ๐‘– = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))
140 fveq1 6891 . . . . . . . . . . 11 (๐‘– = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) โ†’ (๐‘–โ€˜๐‘—) = ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))
141140coeq2d 5863 . . . . . . . . . 10 (๐‘– = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) โ†’ ([,) โˆ˜ (๐‘–โ€˜๐‘—)) = ([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—)))
142141fveq1d 6894 . . . . . . . . 9 (๐‘– = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) โ†’ (([,) โˆ˜ (๐‘–โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜) = (([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜))
143142adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐‘– = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (([,) โˆ˜ (๐‘–โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜) = (([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜))
144139, 143ixpeq2d 43755 . . . . . . 7 (๐‘– = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) โ†’ X๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (([,) โˆ˜ (๐‘–โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜) = X๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜))
145144adantr 482 . . . . . 6 ((๐‘– = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ X๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (([,) โˆ˜ (๐‘–โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜) = X๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜))
146134, 145iuneq2df 43733 . . . . 5 (๐‘– = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) โ†’ โˆช ๐‘— โˆˆ โ„• X๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (([,) โˆ˜ (๐‘–โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜) = โˆช ๐‘— โˆˆ โ„• X๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜))
147146sseq2d 4015 . . . 4 (๐‘– = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) โ†’ (๐‘Œ โŠ† โˆช ๐‘— โˆˆ โ„• X๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (([,) โˆ˜ (๐‘–โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜) โ†” ๐‘Œ โŠ† โˆช ๐‘— โˆˆ โ„• X๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜)))
148142fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 (๐‘– = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) โ†’ (volโ€˜(([,) โˆ˜ (๐‘–โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜)) = (volโ€˜(([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜)))
149148a1d 25 . . . . . . . . . 10 (๐‘– = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (volโ€˜(([,) โˆ˜ (๐‘–โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜)) = (volโ€˜(([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜))))
150139, 149ralrimi 3255 . . . . . . . . 9 (๐‘– = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (volโ€˜(([,) โˆ˜ (๐‘–โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜)) = (volโ€˜(([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜)))
151150adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐‘– = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (volโ€˜(([,) โˆ˜ (๐‘–โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜)) = (volโ€˜(([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜)))
152151prodeq2d 15866 . . . . . . 7 ((๐‘– = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (volโ€˜(([,) โˆ˜ (๐‘–โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜)) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (volโ€˜(([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜)))
153134, 152mpteq2da 5247 . . . . . 6 (๐‘– = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) โ†’ (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (volโ€˜(([,) โˆ˜ (๐‘–โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜))) = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (volโ€˜(([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜))))
154153fveq2d 6896 . . . . 5 (๐‘– = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) โ†’ (ฮฃ^โ€˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (volโ€˜(([,) โˆ˜ (๐‘–โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜)))) = (ฮฃ^โ€˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (volโ€˜(([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜)))))
155154eqeq2d 2744 . . . 4 (๐‘– = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) โ†’ (+โˆž = (ฮฃ^โ€˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (volโ€˜(([,) โˆ˜ (๐‘–โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜)))) โ†” +โˆž = (ฮฃ^โ€˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (volโ€˜(([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜))))))
156147, 155anbi12d 632 . . 3 (๐‘– = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) โ†’ ((๐‘Œ โŠ† โˆช ๐‘— โˆˆ โ„• X๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (([,) โˆ˜ (๐‘–โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜) โˆง +โˆž = (ฮฃ^โ€˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (volโ€˜(([,) โˆ˜ (๐‘–โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜))))) โ†” (๐‘Œ โŠ† โˆช ๐‘— โˆˆ โ„• X๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜) โˆง +โˆž = (ฮฃ^โ€˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (volโ€˜(([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜)))))))
157156rspcev 3613 . 2 (((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ)) โˆˆ (((โ„ ร— โ„) โ†‘m ๐‘‹) โ†‘m โ„•) โˆง (๐‘Œ โŠ† โˆช ๐‘— โˆˆ โ„• X๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜) โˆง +โˆž = (ฮฃ^โ€˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (volโ€˜(([,) โˆ˜ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โŸจ-๐‘—, ๐‘—โŸฉ))โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜)))))) โ†’ โˆƒ๐‘– โˆˆ (((โ„ ร— โ„) โ†‘m ๐‘‹) โ†‘m โ„•)(๐‘Œ โŠ† โˆช ๐‘— โˆˆ โ„• X๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (([,) โˆ˜ (๐‘–โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜) โˆง +โˆž = (ฮฃ^โ€˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (volโ€˜(([,) โˆ˜ (๐‘–โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜))))))
15821, 131, 157syl2anc 585 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘– โˆˆ (((โ„ ร— โ„) โ†‘m ๐‘‹) โ†‘m โ„•)(๐‘Œ โŠ† โˆช ๐‘— โˆˆ โ„• X๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (([,) โˆ˜ (๐‘–โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜) โˆง +โˆž = (ฮฃ^โ€˜(๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (volโ€˜(([,) โˆ˜ (๐‘–โ€˜๐‘—))โ€˜๐‘˜))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062  โˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   โŠ† wss 3949  ifcif 4529  โŸจcop 4635  โˆช ciun 4998   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232   ร— cxp 5675   โˆ˜ ccom 5681  โŸถwf 6540  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  1st c1st 7973  2nd c2nd 7974   โ†‘m cmap 8820  Xcixp 8891  Fincfn 8939  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115  +โˆžcpnf 11245  โ„*cxr 11247   < clt 11248   โˆ’ cmin 11444  -cneg 11445  โ„•cn 12212  2c2 12267  โ„•0cn0 12472  โ„+crp 12974  (,)cioo 13324  [,)cico 13326  [,]cicc 13327  โ†‘cexp 14027  โ™ฏchash 14290  โˆcprod 15849  volcvol 24980  ฮฃ^csumge0 45078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-prod 15850  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cmp 22891  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-sumge0 45079
This theorem is referenced by:  ovnpnfelsup  45275
  Copyright terms: Public domain W3C validator