sge0iunmpt - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem sge0iunmpt 45213

Description: Sum of nonnegative extended reals over a disjoint indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
sge0iunmpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0iunmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊)
sge0iunmpt.dj	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
sge0iunmpt.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))

**Assertion**
Ref	Expression
sge0iunmpt	⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑘,𝑥 𝐵,𝑘 𝑥,𝐶 𝑥,𝑊 𝜑,𝑘,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐵(𝑥) 𝐶(𝑘) 𝑉(𝑥,𝑘) 𝑊(𝑘)

Proof of Theorem sge0iunmpt Dummy variables 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1917	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		nfcv 2903	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥Σ^{^}
3		nfiu1 5031	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵
4		nfcv 2903	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
5	3, 4	nfmpt 5255	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)
6	2, 5	nffv 6901	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶))
7		nfmpt1 5256	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
8	2, 7	nffv 6901	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))
9	6, 8	nfeq 2916	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))
10		sge0iunmpt.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
11		sge0iunmpt.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊)
12	11	ralrimiva 3146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊)
13		iunexg 7952	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
14	10, 12, 13	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
15		eliun 5001	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑘 ∈ 𝐵)
16	15	biimpi 215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑘 ∈ 𝐵)
17	16	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑘 ∈ 𝐵)
18		nfcv 2903	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥𝑘
19	18, 3	nfel 2917	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵
20	1, 19	nfan 1902	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
21	4	nfel1 2919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐶 ∈ (0[,]+∞)
22		sge0iunmpt.c	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
23	22	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
24	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
25	20, 21, 24	rexlimd 3263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑘 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
26	17, 25	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
27		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)
28	26, 27	fmptd 7115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶):∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵⟶(0[,]+∞))
29	14, 28	sge0xrcl 45180	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ^*)
30	29	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ^*)
31		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞ → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞)
32	31	eqcomd 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞ → +∞ = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
33	32	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → +∞ = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
34	33	3adant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → +∞ = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
35	14	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
36	26	adantlr 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
37		ssiun2 5050	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
38	37	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
39	35, 36, 38	sge0lessmpt 45194	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≤ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)))
40	39	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≤ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)))
41	34, 40	eqbrtrd 5170	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → +∞ ≤ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)))
42	30, 41	xrgepnfd 44120	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞)
43	10	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → 𝐴 ∈ 𝑉)
44		nfv 1917	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)
45		nfcsb1v 3918	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
46		nfcsb1v 3918	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑊
47	45, 46	nfel 2917	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑊
48	44, 47	nfim 1899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑊)
49		eleq1w 2816	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
50	49	anbi2d 629	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)))
51		csbeq1a 3907	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
52		csbeq1a 3907	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑊 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑊)
53	51, 52	eleq12d 2827	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∈ 𝑊 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑊))
54	50, 53	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑊)))
55	48, 54, 11	chvarfv 2233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑊)
56	55	adantlr 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑊)
57	45, 4	nfmpt 5255	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)
58		nfcv 2903	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥(0[,]+∞)
59	57, 45, 58	nff 6713	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶):⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵⟶(0[,]+∞)
60	44, 59	nfim 1899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶):⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵⟶(0[,]+∞))
61	51	mpteq1d 5243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶))
62	61, 51	feq12d 6705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶(0[,]+∞) ↔ (𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶):⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵⟶(0[,]+∞)))
63	50, 62	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶(0[,]+∞)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶):⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵⟶(0[,]+∞))))
64	23	imp31 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
65		eqid 2732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
66	64, 65	fmptd 7115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶(0[,]+∞))
67	60, 63, 66	chvarfv 2233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶):⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵⟶(0[,]+∞))
68	67	adantlr 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶):⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵⟶(0[,]+∞))
69	56, 68	sge0cl 45176	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ (0[,]+∞))
70		nfcv 2903	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
71	2, 57	nffv 6901	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶))
72	61	fveq2d 6895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)))
73	70, 71, 72	cbvmpt 5259	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)))
74	69, 73	fmptd 7115	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))):𝐴⟶(0[,]+∞))
75	74	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))):𝐴⟶(0[,]+∞))
76		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴)
77		fvexd 6906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ V)
78		eqid 2732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
79	78	elrnmpt1 5957	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ V) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))
80	76, 77, 79	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))
81	80	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))
82	33, 81	eqeltrd 2833	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → +∞ ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))
83	82	3adant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → +∞ ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))
84	43, 75, 83	sge0pnfval 45168	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = +∞)
85	42, 84	eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))
86	85	3exp 1119	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞ → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))))
87	1, 9, 86	rexlimd 3263	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞ → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))))
88	87	imp 407	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))
89		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → 𝜑)
90		ralnex 3072	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞ ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞)
91		df-ne 2941	. . . . . . 7 ⊢ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞ ↔ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞)
92	91	bicomi 223	. . . . . 6 ⊢ (¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞ ↔ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞)
93	92	ralbii 3093	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞)
94	90, 93	sylbb1 236	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞ → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞)
95	94	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞)
96	10	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) → 𝐴 ∈ 𝑉)
97		nfcv 2903	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝑊
98	45, 97	nfel 2917	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑊
99	44, 98	nfim 1899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑊)
100	51	eleq1d 2818	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∈ 𝑊 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑊))
101	50, 100	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑊)))
102	99, 101, 11	chvarfv 2233	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑊)
103	102	adantlr 713	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑊)
104		sge0iunmpt.dj	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
105		nfcv 2903	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
106	105, 45, 51	cbvdisj 5123	. . . . . . 7 ⊢ (Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
107	104, 106	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
108	107	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) → Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
109		nfv 1917	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
110		nfcsb1v 3918	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶
111	110	nfel1 2919	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞)
112	109, 111	nfim 1899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))
113		eleq1w 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↔ 𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
114	113	3anbi3d 1442	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)))
115		csbeq1a 3907	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐶 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
116	115	eleq1d 2818	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 ∈ (0[,]+∞) ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
117	114, 116	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
118		nfv 1917	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝐴
119	18, 45	nfel 2917	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
120	1, 118, 119	nf3an 1904	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
121	120, 21	nfim 1899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
122	51	eleq2d 2819	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↔ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
123	49, 122	3anbi23d 1439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)))
124	123	imbi1d 341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
125	121, 124, 22	chvarfv 2233	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
126	112, 117, 125	chvarfv 2233	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))
127	126	3adant1r 1177	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))
128		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
129		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞)
130		simpl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) → 𝑦 ∈ 𝐴)
131		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞)
132		nfcv 2903	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶
133	45, 132	nfmpt 5255	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
134	2, 133	nffv 6901	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
135		nfcv 2903	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥+∞
136	134, 135	nfne 3043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) ≠ +∞
137		nfcv 2903	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑗𝐶
138	137, 110, 115	cbvmpt 5259	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
139	138	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
140	61, 139	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
141	140	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)))
142	141	neeq1d 3000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞ ↔ (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) ≠ +∞))
143	136, 142	rspc 3600	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞ → (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) ≠ +∞))
144	130, 131, 143	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) → (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) ≠ +∞)
145	128, 129, 144	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) ≠ +∞)
146	145	neneqd 2945	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ¬ (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) = +∞)
147	146	adantll 712	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ¬ (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) = +∞)
148	126	3expa 1118	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))
149		eqid 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶) = (𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
150	148, 149	fmptd 7115	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶):⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵⟶(0[,]+∞))
151	150	adantlr 713	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶):⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵⟶(0[,]+∞))
152	103, 151	sge0repnf 45181	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) = +∞))
153	147, 152	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) ∈ ℝ)
154	137, 110, 115	cbvmpt 5259	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑗 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
155	105, 45, 51	cbviun 5039	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
156	155	mpteq1i 5244	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶) = (𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
157	154, 156	eqtri 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
158	157	fveq2i 6894	. . . . . . 7 ⊢ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
159	158, 29	eqeltrrid 2838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) ∈ ℝ^*)
160	159	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) → (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) ∈ ℝ^*)
161	70, 134, 141	cbvmpt 5259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)))
162	161	fveq2i 6894	. . . . . . 7 ⊢ (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = (Σ^{^}‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))))
163	11, 66	sge0cl 45176	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ (0[,]+∞))
164	163, 78	fmptd 7115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))):𝐴⟶(0[,]+∞))
165	10, 164	sge0xrcl 45180	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) ∈ ℝ^*)
166	162, 165	eqeltrrid 2838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)))) ∈ ℝ^*)
167	166	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) → (Σ^{^}‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)))) ∈ ℝ^*)
168		eliun 5001	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
169	168	biimpi 215	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
170	169	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
171		nfv 1917	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
172		nfcv 2903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦𝑗
173		nfiu1 5031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
174	172, 173	nfel 2917	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
175	171, 174	nfan 1902	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
176		nfv 1917	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞)
177	148	exp31 420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
178	177	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
179	175, 176, 178	rexlimd 3263	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
180	170, 179	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))
181		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶) = (𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
182	180, 181	fmptd 7115	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶):∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵⟶(0[,]+∞))
183	182	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) → (𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶):∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵⟶(0[,]+∞))
184	155, 14	eqeltrrid 2838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ V)
185	184	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) → ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ V)
186	96, 103, 108, 127, 153, 160, 167, 183, 185	sge0iunmptlemre 45210	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) → (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)))))
187	158	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)))
188	162	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) → (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = (Σ^{^}‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)))))
189	186, 187, 188	3eqtr4d 2782	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))
190	89, 95, 189	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))
191	88, 190	pm2.61dan 811	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 396 ∧ w3a 1087 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2940 ∀wral 3061 ∃wrex 3070 Vcvv 3474 ⦋csb 3893 ⊆ wss 3948 ∪ ciun 4997 Disj wdisj 5113 class class class wbr 5148 ↦ cmpt 5231 ran crn 5677 ⟶wf 6539 ‘cfv 6543 (class class class)co 7411 ℝcr 11111 0cc0 11112 +∞cpnf 11247 ℝ^*cxr 11249 ≤ cle 11251 [,]cicc 13329 Σ^{^}csumge0 45157

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7727 ax-inf2 9638 ax-ac2 10460 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-int 4951 df-iun 4999 df-disj 5114 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-se 5632 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-isom 6552 df-riota 7367 df-ov 7414 df-oprab 7415 df-mpo 7416 df-om 7858 df-1st 7977 df-2nd 7978 df-frecs 8268 df-wrecs 8299 df-recs 8373 df-rdg 8412 df-1o 8468 df-er 8705 df-map 8824 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-fin 8945 df-sup 9439 df-oi 9507 df-card 9936 df-acn 9939 df-ac 10113 df-pnf 11252 df-mnf 11253 df-xr 11254 df-ltxr 11255 df-le 11256 df-sub 11448 df-neg 11449 df-div 11874 df-nn 12215 df-2 12277 df-3 12278 df-n0 12475 df-z 12561 df-uz 12825 df-rp 12977 df-xadd 13095 df-ico 13332 df-icc 13333 df-fz 13487 df-fzo 13630 df-seq 13969 df-exp 14030 df-hash 14293 df-cj 15048 df-re 15049 df-im 15050 df-sqrt 15184 df-abs 15185 df-clim 15434 df-sum 15635 df-sumge0 45158

This theorem is referenced by: sge0iun 45214 sge0xp 45224

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