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Theorem sge0iunmpt 45120
Description: Sum of nonnegative extended reals over a disjoint indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0iunmpt.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0iunmpt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑊)
sge0iunmpt.dj (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝐵)
sge0iunmpt.c ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
sge0iunmpt (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑊   𝜑,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem sge0iunmpt
Dummy variables 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1917 . . . 4 𝑥𝜑
2 nfcv 2903 . . . . . 6 𝑥Σ^
3 nfiu1 5030 . . . . . . 7 𝑥 𝑥𝐴 𝐵
4 nfcv 2903 . . . . . . 7 𝑥𝐶
53, 4nfmpt 5254 . . . . . 6 𝑥(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)
62, 5nffv 6898 . . . . 5 𝑥^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶))
7 nfmpt1 5255 . . . . . 6 𝑥(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))
82, 7nffv 6898 . . . . 5 𝑥^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))
96, 8nfeq 2916 . . . 4 𝑥^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))
10 sge0iunmpt.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝑉)
11 sge0iunmpt.b . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑊)
1211ralrimiva 3146 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑊)
13 iunexg 7946 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑊) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
1410, 12, 13syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
15 eliun 5000 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 𝑥𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑘𝐵)
1615biimpi 215 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 𝑥𝐴 𝐵 → ∃𝑥𝐴 𝑘𝐵)
1716adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 𝑥𝐴 𝐵) → ∃𝑥𝐴 𝑘𝐵)
18 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑘
1918, 3nfel 2917 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 𝑘 𝑥𝐴 𝐵
201, 19nfan 1902 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(𝜑𝑘 𝑥𝐴 𝐵)
214nfel1 2919 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 𝐶 ∈ (0[,]+∞)
22 sge0iunmpt.c . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
23223exp 1119 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
2423adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 𝑥𝐴 𝐵) → (𝑥𝐴 → (𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
2520, 21, 24rexlimd 3263 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 𝑥𝐴 𝐵) → (∃𝑥𝐴 𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
2617, 25mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 𝑥𝐴 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
27 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶) = (𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)
2826, 27fmptd 7110 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶): 𝑥𝐴 𝐵⟶(0[,]+∞))
2914, 28sge0xrcl 45087 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) ∈ ℝ*)
30293ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) ∈ ℝ*)
31 id 22 . . . . . . . . . . 11 ((Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞ → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞)
3231eqcomd 2738 . . . . . . . . . 10 ((Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞ → +∞ = (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))
3332adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → +∞ = (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))
34333adant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → +∞ = (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))
3514adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
3626adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 𝑥𝐴 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
37 ssiun2 5049 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴𝐵 𝑥𝐴 𝐵)
3837adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 𝑥𝐴 𝐵)
3935, 36, 38sge0lessmpt 45101 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≤ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)))
40393adant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≤ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)))
4134, 40eqbrtrd 5169 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → +∞ ≤ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)))
4230, 41xrgepnfd 44027 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) = +∞)
43103ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → 𝐴𝑉)
44 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝜑𝑦𝐴)
45 nfcsb1v 3917 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵
46 nfcsb1v 3917 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑦 / 𝑥𝑊
4745, 46nfel 2917 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝑊
4844, 47nfim 1899 . . . . . . . . . . . 12 𝑥((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝑊)
49 eleq1w 2816 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
5049anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑𝑥𝐴) ↔ (𝜑𝑦𝐴)))
51 csbeq1a 3906 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵)
52 csbeq1a 3906 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦𝑊 = 𝑦 / 𝑥𝑊)
5351, 52eleq12d 2827 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵𝑊𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝑊))
5450, 53imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑊) ↔ ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝑊)))
5548, 54, 11chvarfv 2233 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝑊)
5655adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝑊)
5745, 4nfmpt 5254 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(𝑘𝑦 / 𝑥𝐵𝐶)
58 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(0[,]+∞)
5957, 45, 58nff 6710 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝑘𝑦 / 𝑥𝐵𝐶):𝑦 / 𝑥𝐵⟶(0[,]+∞)
6044, 59nfim 1899 . . . . . . . . . . . 12 𝑥((𝜑𝑦𝐴) → (𝑘𝑦 / 𝑥𝐵𝐶):𝑦 / 𝑥𝐵⟶(0[,]+∞))
6151mpteq1d 5242 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → (𝑘𝐵𝐶) = (𝑘𝑦 / 𝑥𝐵𝐶))
6261, 51feq12d 6702 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑘𝐵𝐶):𝐵⟶(0[,]+∞) ↔ (𝑘𝑦 / 𝑥𝐵𝐶):𝑦 / 𝑥𝐵⟶(0[,]+∞)))
6350, 62imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝐴) → (𝑘𝐵𝐶):𝐵⟶(0[,]+∞)) ↔ ((𝜑𝑦𝐴) → (𝑘𝑦 / 𝑥𝐵𝐶):𝑦 / 𝑥𝐵⟶(0[,]+∞))))
6423imp31 418 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
65 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝐵𝐶) = (𝑘𝐵𝐶)
6664, 65fmptd 7110 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑘𝐵𝐶):𝐵⟶(0[,]+∞))
6760, 63, 66chvarfv 2233 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝑘𝑦 / 𝑥𝐵𝐶):𝑦 / 𝑥𝐵⟶(0[,]+∞))
6867adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑘𝑦 / 𝑥𝐵𝐶):𝑦 / 𝑥𝐵⟶(0[,]+∞))
6956, 68sge0cl 45083 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (Σ^‘(𝑘𝑦 / 𝑥𝐵𝐶)) ∈ (0[,]+∞))
70 nfcv 2903 . . . . . . . . . 10 𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶))
712, 57nffv 6898 . . . . . . . . . 10 𝑥^‘(𝑘𝑦 / 𝑥𝐵𝐶))
7261fveq2d 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑘𝑦 / 𝑥𝐵𝐶)))
7370, 71, 72cbvmpt 5258 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))) = (𝑦𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝑦 / 𝑥𝐵𝐶)))
7469, 73fmptd 7110 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))):𝐴⟶(0[,]+∞))
75743adant3 1132 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))):𝐴⟶(0[,]+∞))
76 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴𝑥𝐴)
77 fvexd 6903 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ V)
78 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))
7978elrnmpt1 5955 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐴 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ V) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ran (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))
8076, 77, 79syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴 → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ran (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))
8180adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ran (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))
8233, 81eqeltrd 2833 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → +∞ ∈ ran (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))
83823adant1 1130 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → +∞ ∈ ran (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))
8443, 75, 83sge0pnfval 45075 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) = +∞)
8542, 84eqtr4d 2775 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
86853exp 1119 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 → ((Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞ → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))))
871, 9, 86rexlimd 3263 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞ → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))))
8887imp 407 . 2 ((𝜑 ∧ ∃𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
89 simpl 483 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → 𝜑)
90 ralnex 3072 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 ¬ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞ ↔ ¬ ∃𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞)
91 df-ne 2941 . . . . . . 7 ((Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞)
9291bicomi 223 . . . . . 6 (¬ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞ ↔ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞)
9392ralbii 3093 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 ¬ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞ ↔ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞)
9490, 93sylbb1 236 . . . 4 (¬ ∃𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞ → ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞)
9594adantl 482 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞)
9610adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) → 𝐴𝑉)
97 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 𝑥𝑊
9845, 97nfel 2917 . . . . . . . 8 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵𝑊
9944, 98nfim 1899 . . . . . . 7 𝑥((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑊)
10051eleq1d 2818 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵𝑊𝑦 / 𝑥𝐵𝑊))
10150, 100imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑊) ↔ ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑊)))
10299, 101, 11chvarfv 2233 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑊)
103102adantlr 713 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑊)
104 sge0iunmpt.dj . . . . . . 7 (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝐵)
105 nfcv 2903 . . . . . . . 8 𝑦𝐵
106105, 45, 51cbvdisj 5122 . . . . . . 7 (Disj 𝑥𝐴 𝐵Disj 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵)
107104, 106sylib 217 . . . . . 6 (𝜑Disj 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵)
108107adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) → Disj 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵)
109 nfv 1917 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑𝑦𝐴𝑗𝑦 / 𝑥𝐵)
110 nfcsb1v 3917 . . . . . . . . 9 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶
111110nfel1 2919 . . . . . . . 8 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,]+∞)
112109, 111nfim 1899 . . . . . . 7 𝑘((𝜑𝑦𝐴𝑗𝑦 / 𝑥𝐵) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,]+∞))
113 eleq1w 2816 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑦 / 𝑥𝐵𝑗𝑦 / 𝑥𝐵))
1141133anbi3d 1442 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑦𝐴𝑘𝑦 / 𝑥𝐵) ↔ (𝜑𝑦𝐴𝑗𝑦 / 𝑥𝐵)))
115 csbeq1a 3906 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗𝐶 = 𝑗 / 𝑘𝐶)
116115eleq1d 2818 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 ∈ (0[,]+∞) ↔ 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
117114, 116imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑦𝐴𝑘𝑦 / 𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ↔ ((𝜑𝑦𝐴𝑗𝑦 / 𝑥𝐵) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
118 nfv 1917 . . . . . . . . . 10 𝑥 𝑦𝐴
11918, 45nfel 2917 . . . . . . . . . 10 𝑥 𝑘𝑦 / 𝑥𝐵
1201, 118, 119nf3an 1904 . . . . . . . . 9 𝑥(𝜑𝑦𝐴𝑘𝑦 / 𝑥𝐵)
121120, 21nfim 1899 . . . . . . . 8 𝑥((𝜑𝑦𝐴𝑘𝑦 / 𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
12251eleq2d 2819 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑘𝐵𝑘𝑦 / 𝑥𝐵))
12349, 1223anbi23d 1439 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) ↔ (𝜑𝑦𝐴𝑘𝑦 / 𝑥𝐵)))
124123imbi1d 341 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ↔ ((𝜑𝑦𝐴𝑘𝑦 / 𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
125121, 124, 22chvarfv 2233 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴𝑘𝑦 / 𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
126112, 117, 125chvarfv 2233 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴𝑗𝑦 / 𝑥𝐵) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,]+∞))
1271263adant1r 1177 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) ∧ 𝑦𝐴𝑗𝑦 / 𝑥𝐵) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,]+∞))
128 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
129 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞ ∧ 𝑦𝐴) → ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞)
130 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) → 𝑦𝐴)
131 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) → ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞)
132 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑗 / 𝑘𝐶
13345, 132nfmpt 5254 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)
1342, 133nffv 6898 . . . . . . . . . . . 12 𝑥^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶))
135 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . 12 𝑥+∞
136134, 135nfne 3043 . . . . . . . . . . 11 𝑥^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)) ≠ +∞
137 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑗𝐶
138137, 110, 115cbvmpt 5258 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘𝑦 / 𝑥𝐵𝐶) = (𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)
139138a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → (𝑘𝑦 / 𝑥𝐵𝐶) = (𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶))
14061, 139eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (𝑘𝐵𝐶) = (𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶))
141140fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)))
142141neeq1d 3000 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → ((Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞ ↔ (Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)) ≠ +∞))
143136, 142rspc 3600 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝐴 → (∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞ → (Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)) ≠ +∞))
144130, 131, 143sylc 65 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) → (Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)) ≠ +∞)
145128, 129, 144syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞ ∧ 𝑦𝐴) → (Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)) ≠ +∞)
146145neneqd 2945 . . . . . . 7 ((∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞ ∧ 𝑦𝐴) → ¬ (Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)) = +∞)
147146adantll 712 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) ∧ 𝑦𝐴) → ¬ (Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)) = +∞)
1481263expa 1118 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑗𝑦 / 𝑥𝐵) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,]+∞))
149 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶) = (𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)
150148, 149fmptd 7110 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶):𝑦 / 𝑥𝐵⟶(0[,]+∞))
151150adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶):𝑦 / 𝑥𝐵⟶(0[,]+∞))
152103, 151sge0repnf 45088 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) ∧ 𝑦𝐴) → ((Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)) = +∞))
153147, 152mpbird 256 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) ∧ 𝑦𝐴) → (Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)) ∈ ℝ)
154137, 110, 115cbvmpt 5258 . . . . . . . . 9 (𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶) = (𝑗 𝑥𝐴 𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)
155105, 45, 51cbviun 5038 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐴 𝐵 = 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵
156155mpteq1i 5243 . . . . . . . . 9 (𝑗 𝑥𝐴 𝐵𝑗 / 𝑘𝐶) = (𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)
157154, 156eqtri 2760 . . . . . . . 8 (𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶) = (𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)
158157fveq2i 6891 . . . . . . 7 ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶))
159158, 29eqeltrrid 2838 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)) ∈ ℝ*)
160159adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) → (Σ^‘(𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)) ∈ ℝ*)
16170, 134, 141cbvmpt 5258 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))) = (𝑦𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)))
162161fveq2i 6891 . . . . . . 7 ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) = (Σ^‘(𝑦𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶))))
16311, 66sge0cl 45083 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ (0[,]+∞))
164163, 78fmptd 7110 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))):𝐴⟶(0[,]+∞))
16510, 164sge0xrcl 45087 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) ∈ ℝ*)
166162, 165eqeltrrid 2838 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ^‘(𝑦𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)))) ∈ ℝ*)
167166adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) → (Σ^‘(𝑦𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)))) ∈ ℝ*)
168 eliun 5000 . . . . . . . . . 10 (𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑗𝑦 / 𝑥𝐵)
169168biimpi 215 . . . . . . . . 9 (𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑗𝑦 / 𝑥𝐵)
170169adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵) → ∃𝑦𝐴 𝑗𝑦 / 𝑥𝐵)
171 nfv 1917 . . . . . . . . . 10 𝑦𝜑
172 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 𝑦𝑗
173 nfiu1 5030 . . . . . . . . . . 11 𝑦 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵
174172, 173nfel 2917 . . . . . . . . . 10 𝑦 𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵
175171, 174nfan 1902 . . . . . . . . 9 𝑦(𝜑𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵)
176 nfv 1917 . . . . . . . . 9 𝑦𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,]+∞)
177148exp31 420 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦𝐴 → (𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
178177adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵) → (𝑦𝐴 → (𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
179175, 176, 178rexlimd 3263 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵) → (∃𝑦𝐴 𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
180170, 179mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,]+∞))
181 eqid 2732 . . . . . . 7 (𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶) = (𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)
182180, 181fmptd 7110 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶): 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵⟶(0[,]+∞))
183182adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) → (𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶): 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵⟶(0[,]+∞))
184155, 14eqeltrrid 2838 . . . . . 6 (𝜑 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ V)
185184adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) → 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ V)
18696, 103, 108, 127, 153, 160, 167, 183, 185sge0iunmptlemre 45117 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) → (Σ^‘(𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)) = (Σ^‘(𝑦𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)))))
187158a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)))
188162a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) → (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) = (Σ^‘(𝑦𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)))))
189186, 187, 1883eqtr4d 2782 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
19089, 95, 189syl2anc 584 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
19188, 190pm2.61dan 811 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3474  csb 3892  wss 3947   ciun 4996  Disj wdisj 5112   class class class wbr 5147  cmpt 5230  ran crn 5676  wf 6536  cfv 6540  (class class class)co 7405  cr 11105  0cc0 11106  +∞cpnf 11241  *cxr 11243  cle 11245  [,]cicc 13323  Σ^csumge0 45064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-ac2 10454  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10107  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-xadd 13089  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-sumge0 45065
This theorem is referenced by:  sge0iun  45121  sge0xp  45131
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