sge0iunmpt - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem sge0iunmpt 46997

Description: Sum of nonnegative extended reals over a disjoint indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
sge0iunmpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0iunmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊)
sge0iunmpt.dj	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
sge0iunmpt.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))

**Assertion**
Ref	Expression
sge0iunmpt	⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑘,𝑥 𝐵,𝑘 𝑥,𝐶 𝑥,𝑊 𝜑,𝑘,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐵(𝑥) 𝐶(𝑘) 𝑉(𝑥,𝑘) 𝑊(𝑘)

Proof of Theorem sge0iunmpt Dummy variables 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1936	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		nfcv 2926	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥Σ^{^}
3		nfiu1 4987	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵
4		nfcv 2926	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
5	3, 4	nfmpt 5200	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)
6	2, 5	nffv 6879	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶))
7		nfmpt1 5201	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
8	2, 7	nffv 6879	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))
9	6, 8	nfeq 2939	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))
10		sge0iunmpt.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
11		sge0iunmpt.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊)
12	11	ralrimiva 3156	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊)
13		iunexg 7946	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
14	10, 12, 13	syl2anc 593	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
15		eliun 4955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑘 ∈ 𝐵)
16	15	bilani 508	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑘 ∈ 𝐵)
17		nfcv 2926	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥𝑘
18	17, 3	nfel 2940	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵
19	1, 18	nfan 1921	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
20	4	nfel1 2942	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐶 ∈ (0[,]+∞)
21		sge0iunmpt.c	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
22	21	3exp 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
23	22	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
24	19, 20, 23	rexlimd 3271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑘 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
25	16, 24	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
26		eqid 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)
27	25, 26	fmptd 7097	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶):∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵⟶(0[,]+∞))
28	14, 27	sge0xrcl 46964	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ^*)
29	28	3ad2ant1 1147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ^*)
30		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞ → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞)
31	30	eqcomd 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞ → +∞ = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
32	31	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → +∞ = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
33	32	3adant1 1144	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → +∞ = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
34	14	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
35	25	adantlr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
36		ssiun2 5007	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
37	36	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
38	34, 35, 37	sge0lessmpt 46978	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≤ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)))
39	38	3adant3 1146	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≤ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)))
40	33, 39	eqbrtrd 5124	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → +∞ ≤ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)))
41	29, 40	xrgepnfd 45912	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞)
42	10	3ad2ant1 1147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → 𝐴 ∈ 𝑉)
43		nfv 1936	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)
44		nfcsb1v 3878	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
45		nfcsb1v 3878	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑊
46	44, 45	nfel 2940	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑊
47	43, 46	nfim 1918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑊)
48		eleq1w 2847	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
49	48	anbi2d 639	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)))
50		csbeq1a 3868	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
51		csbeq1a 3868	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑊 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑊)
52	50, 51	eleq12d 2858	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∈ 𝑊 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑊))
53	49, 52	imbi12d 346	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑊)))
54	47, 53, 11	chvarfv 2277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑊)
55	54	adantlr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑊)
56	44, 4	nfmpt 5200	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)
57		nfcv 2926	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥(0[,]+∞)
58	56, 44, 57	nff 6689	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶):⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵⟶(0[,]+∞)
59	43, 58	nfim 1918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶):⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵⟶(0[,]+∞))
60	50	mpteq1d 5192	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶))
61	60, 50	feq12d 6681	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶(0[,]+∞) ↔ (𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶):⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵⟶(0[,]+∞)))
62	49, 61	imbi12d 346	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶(0[,]+∞)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶):⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵⟶(0[,]+∞))))
63	22	imp31 421	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
64		eqid 2764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
65	63, 64	fmptd 7097	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶(0[,]+∞))
66	59, 62, 65	chvarfv 2277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶):⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵⟶(0[,]+∞))
67	66	adantlr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶):⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵⟶(0[,]+∞))
68	55, 67	sge0cl 46960	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ (0[,]+∞))
69		nfcv 2926	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
70	2, 56	nffv 6879	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶))
71	60	fveq2d 6873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)))
72	69, 70, 71	cbvmpt 5204	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)))
73	68, 72	fmptd 7097	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))):𝐴⟶(0[,]+∞))
74	73	3adant3 1146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))):𝐴⟶(0[,]+∞))
75		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴)
76		fvexd 6884	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ V)
77		eqid 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
78	77	elrnmpt1 5938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ V) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))
79	75, 76, 78	syl2anc 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))
80	79	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))
81	32, 80	eqeltrd 2864	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → +∞ ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))
82	81	3adant1 1144	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → +∞ ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))
83	42, 74, 82	sge0pnfval 46952	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = +∞)
84	41, 83	eqtr4d 2802	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))
85	84	3exp 1133	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞ → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))))
86	1, 9, 85	rexlimd 3271	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞ → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))))
87	86	imp 410	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))
88		simpl 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → 𝜑)
89		ralnex 3090	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞ ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞)
90		df-ne 2960	. . . . . . 7 ⊢ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞ ↔ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞)
91	90	bicomi 226	. . . . . 6 ⊢ (¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞ ↔ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞)
92	91	ralbii 3110	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞)
93	89, 92	sylbb1 239	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞ → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞)
94	93	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞)
95	10	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) → 𝐴 ∈ 𝑉)
96		nfcv 2926	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝑊
97	44, 96	nfel 2940	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑊
98	43, 97	nfim 1918	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑊)
99	50	eleq1d 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∈ 𝑊 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑊))
100	49, 99	imbi12d 346	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑊)))
101	98, 100, 11	chvarfv 2277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑊)
102	101	adantlr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑊)
103		sge0iunmpt.dj	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
104		nfcv 2926	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
105	104, 44, 50	cbvdisj 5079	. . . . . . 7 ⊢ (Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
106	103, 105	sylib 220	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
107	106	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) → Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
108		nfv 1936	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
109		nfcsb1v 3878	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶
110	109	nfel1 2942	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞)
111	108, 110	nfim 1918	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))
112		eleq1w 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↔ 𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
113	112	3anbi3d 1465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)))
114		csbeq1a 3868	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐶 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
115	114	eleq1d 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 ∈ (0[,]+∞) ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
116	113, 115	imbi12d 346	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
117		nfv 1936	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝐴
118	17, 44	nfel 2940	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
119	1, 117, 118	nf3an 1923	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
120	119, 20	nfim 1918	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
121	50	eleq2d 2850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↔ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
122	48, 121	3anbi23d 1462	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)))
123	122	imbi1d 343	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
124	120, 123, 21	chvarfv 2277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
125	111, 116, 124	chvarfv 2277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))
126	125	3adant1r 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))
127		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
128		simpl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞)
129		simpl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) → 𝑦 ∈ 𝐴)
130		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞)
131		nfcv 2926	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶
132	44, 131	nfmpt 5200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
133	2, 132	nffv 6879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
134		nfcv 2926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥+∞
135	133, 134	nfne 3060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) ≠ +∞
136		nfcv 2926	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑗𝐶
137	136, 109, 114	cbvmpt 5204	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
138	137	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
139	60, 138	eqtrd 2799	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
140	139	fveq2d 6873	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)))
141	140	neeq1d 3018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞ ↔ (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) ≠ +∞))
142	135, 141	rspc 3571	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞ → (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) ≠ +∞))
143	129, 130, 142	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) → (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) ≠ +∞)
144	127, 128, 143	syl2anc 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) ≠ +∞)
145	144	neneqd 2964	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ¬ (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) = +∞)
146	145	adantll 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ¬ (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) = +∞)
147	125	3expa 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))
148		eqid 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶) = (𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
149	147, 148	fmptd 7097	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶):⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵⟶(0[,]+∞))
150	149	adantlr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶):⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵⟶(0[,]+∞))
151	102, 150	sge0repnf 46965	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) = +∞))
152	146, 151	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) ∈ ℝ)
153	136, 109, 114	cbvmpt 5204	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑗 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
154	104, 44, 50	cbviun 4994	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
155	154	mpteq1i 5193	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶) = (𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
156	153, 155	eqtri 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
157	156	fveq2i 6872	. . . . . . 7 ⊢ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
158	157, 28	eqeltrrid 2869	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) ∈ ℝ^*)
159	158	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) → (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) ∈ ℝ^*)
160	69, 133, 140	cbvmpt 5204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)))
161	160	fveq2i 6872	. . . . . . 7 ⊢ (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = (Σ^{^}‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))))
162	11, 65	sge0cl 46960	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ (0[,]+∞))
163	162, 77	fmptd 7097	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))):𝐴⟶(0[,]+∞))
164	10, 163	sge0xrcl 46964	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) ∈ ℝ^*)
165	161, 164	eqeltrrid 2869	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)))) ∈ ℝ^*)
166	165	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) → (Σ^{^}‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)))) ∈ ℝ^*)
167		eliun 4955	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
168	167	bilani 508	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
169		nfv 1936	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
170		nfcv 2926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦𝑗
171		nfiu1 4987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
172	170, 171	nfel 2940	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
173	169, 172	nfan 1921	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
174		nfv 1936	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞)
175	147	exp31 423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
176	175	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
177	173, 174, 176	rexlimd 3271	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
178	168, 177	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))
179		eqid 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶) = (𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
180	178, 179	fmptd 7097	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶):∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵⟶(0[,]+∞))
181	180	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) → (𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶):∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵⟶(0[,]+∞))
182	154, 14	eqeltrrid 2869	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ V)
183	182	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) → ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ V)
184	95, 102, 107, 126, 152, 159, 166, 181, 183	sge0iunmptlemre 46994	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) → (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)))))
185	157	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)))
186	161	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) → (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = (Σ^{^}‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)))))
187	184, 185, 186	3eqtr4d 2809	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))
188	88, 94, 187	syl2anc 593	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))
189	87, 188	pm2.61dan 822	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 399 ∧ w3a 1099 = wceq 1562 ∈ wcel 2144 ≠ wne 2959 ∀wral 3078 ∃wrex 3088 Vcvv 3456 ⦋csb 3854 ⊆ wss 3906 ∪ ciun 4951 Disj wdisj 5069 class class class wbr 5102 ↦ cmpt 5183 ran crn 5650 ⟶wf 6519 ‘cfv 6523 (class class class)co 7398 ℝcr 11074 0cc0 11075 +∞cpnf 11215 ℝ^*cxr 11217 ≤ cle 11219 [,]cicc 13354 Σ^{^}csumge0 46941

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1817 ax-4 1831 ax-5 1932 ax-6 1989 ax-7 2030 ax-8 2146 ax-9 2154 ax-10 2177 ax-11 2193 ax-12 2214 ax-ext 2736 ax-rep 5229 ax-sep 5248 ax-nul 5258 ax-pow 5324 ax-pr 5392 ax-un 7720 ax-inf2 9598 ax-ac2 10422 ax-cnex 11131 ax-resscn 11132 ax-1cn 11133 ax-icn 11134 ax-addcl 11135 ax-addrcl 11136 ax-mulcl 11137 ax-mulrcl 11138 ax-mulcom 11139 ax-addass 11140 ax-mulass 11141 ax-distr 11142 ax-i2m1 11143 ax-1ne0 11144 ax-1rid 11145 ax-rnegex 11146 ax-rrecex 11147 ax-cnre 11148 ax-pre-lttri 11149 ax-pre-lttrn 11150 ax-pre-ltadd 11151 ax-pre-mulgt0 11152 ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 400 df-or 859 df-3or 1100 df-3an 1101 df-tru 1565 df-fal 1575 df-ex 1802 df-nf 1806 df-sb 2093 df-mo 2568 df-eu 2598 df-clab 2743 df-cleq 2756 df-clel 2839 df-nfc 2913 df-ne 2960 df-nel 3064 df-ral 3079 df-rex 3089 df-rmo 3369 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3458 df-sbc 3747 df-csb 3855 df-dif 3909 df-un 3911 df-in 3913 df-ss 3923 df-pss 3926 df-nul 4288 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4591 df-uni 4868 df-int 4908 df-iun 4953 df-disj 5070 df-br 5103 df-opab 5165 df-mpt 5184 df-tr 5210 df-id 5544 df-eprel 5549 df-po 5557 df-so 5558 df-fr 5602 df-se 5603 df-we 5604 df-xp 5655 df-rel 5656 df-cnv 5657 df-co 5658 df-dm 5659 df-rn 5660 df-res 5661 df-ima 5662 df-pred 6290 df-ord 6351 df-on 6352 df-lim 6353 df-suc 6354 df-iota 6479 df-fun 6525 df-fn 6526 df-f 6527 df-f1 6528 df-fo 6529 df-f1o 6530 df-fv 6531 df-isom 6532 df-riota 7355 df-ov 7401 df-oprab 7402 df-mpo 7403 df-om 7849 df-1st 7972 df-2nd 7973 df-frecs 8264 df-wrecs 8295 df-recs 8344 df-rdg 8383 df-1o 8439 df-er 8680 df-map 8812 df-en 8930 df-dom 8931 df-sdom 8932 df-fin 8933 df-sup 9390 df-oi 9460 df-card 9899 df-acn 9902 df-ac 10074 df-pnf 11220 df-mnf 11221 df-xr 11222 df-ltxr 11223 df-le 11224 df-sub 11418 df-neg 11419 df-div 11847 df-nn 12213 df-2 12282 df-3 12283 df-n0 12484 df-z 12571 df-uz 12842 df-rp 12996 df-xadd 13117 df-ico 13357 df-icc 13358 df-fz 13515 df-fzo 13662 df-seq 14017 df-exp 14077 df-hash 14346 df-cj 15128 df-re 15129 df-im 15130 df-sqrt 15264 df-abs 15265 df-clim 15517 df-sum 15716 df-sumge0 46942

This theorem is referenced by: sge0iun 46998 sge0xp 47008

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