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Theorem sge0iunmpt 44591
Description: Sum of nonnegative extended reals over a disjoint indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0iunmpt.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0iunmpt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑊)
sge0iunmpt.dj (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝐵)
sge0iunmpt.c ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
sge0iunmpt (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑊   𝜑,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem sge0iunmpt
Dummy variables 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1917 . . . 4 𝑥𝜑
2 nfcv 2905 . . . . . 6 𝑥Σ^
3 nfiu1 4986 . . . . . . 7 𝑥 𝑥𝐴 𝐵
4 nfcv 2905 . . . . . . 7 𝑥𝐶
53, 4nfmpt 5210 . . . . . 6 𝑥(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)
62, 5nffv 6849 . . . . 5 𝑥^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶))
7 nfmpt1 5211 . . . . . 6 𝑥(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))
82, 7nffv 6849 . . . . 5 𝑥^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))
96, 8nfeq 2918 . . . 4 𝑥^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))
10 sge0iunmpt.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝑉)
11 sge0iunmpt.b . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑊)
1211ralrimiva 3141 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑊)
13 iunexg 7892 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑊) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
1410, 12, 13syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
15 eliun 4956 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 𝑥𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑘𝐵)
1615biimpi 215 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 𝑥𝐴 𝐵 → ∃𝑥𝐴 𝑘𝐵)
1716adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 𝑥𝐴 𝐵) → ∃𝑥𝐴 𝑘𝐵)
18 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑘
1918, 3nfel 2919 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 𝑘 𝑥𝐴 𝐵
201, 19nfan 1902 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(𝜑𝑘 𝑥𝐴 𝐵)
214nfel1 2921 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 𝐶 ∈ (0[,]+∞)
22 sge0iunmpt.c . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
23223exp 1119 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
2423adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 𝑥𝐴 𝐵) → (𝑥𝐴 → (𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
2520, 21, 24rexlimd 3247 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 𝑥𝐴 𝐵) → (∃𝑥𝐴 𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
2617, 25mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 𝑥𝐴 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
27 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶) = (𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)
2826, 27fmptd 7058 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶): 𝑥𝐴 𝐵⟶(0[,]+∞))
2914, 28sge0xrcl 44558 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) ∈ ℝ*)
30293ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) ∈ ℝ*)
31 id 22 . . . . . . . . . . 11 ((Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞ → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞)
3231eqcomd 2742 . . . . . . . . . 10 ((Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞ → +∞ = (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))
3332adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → +∞ = (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))
34333adant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → +∞ = (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))
3514adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
3626adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 𝑥𝐴 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
37 ssiun2 5005 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴𝐵 𝑥𝐴 𝐵)
3837adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 𝑥𝐴 𝐵)
3935, 36, 38sge0lessmpt 44572 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≤ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)))
40393adant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≤ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)))
4134, 40eqbrtrd 5125 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → +∞ ≤ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)))
4230, 41xrgepnfd 43501 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) = +∞)
43103ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → 𝐴𝑉)
44 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝜑𝑦𝐴)
45 nfcsb1v 3878 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵
46 nfcsb1v 3878 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑦 / 𝑥𝑊
4745, 46nfel 2919 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝑊
4844, 47nfim 1899 . . . . . . . . . . . 12 𝑥((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝑊)
49 eleq1w 2820 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
5049anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑𝑥𝐴) ↔ (𝜑𝑦𝐴)))
51 csbeq1a 3867 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵)
52 csbeq1a 3867 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦𝑊 = 𝑦 / 𝑥𝑊)
5351, 52eleq12d 2832 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵𝑊𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝑊))
5450, 53imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑊) ↔ ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝑊)))
5548, 54, 11chvarfv 2233 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝑊)
5655adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝑊)
5745, 4nfmpt 5210 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(𝑘𝑦 / 𝑥𝐵𝐶)
58 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(0[,]+∞)
5957, 45, 58nff 6661 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝑘𝑦 / 𝑥𝐵𝐶):𝑦 / 𝑥𝐵⟶(0[,]+∞)
6044, 59nfim 1899 . . . . . . . . . . . 12 𝑥((𝜑𝑦𝐴) → (𝑘𝑦 / 𝑥𝐵𝐶):𝑦 / 𝑥𝐵⟶(0[,]+∞))
6151mpteq1d 5198 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → (𝑘𝐵𝐶) = (𝑘𝑦 / 𝑥𝐵𝐶))
6261, 51feq12d 6653 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑘𝐵𝐶):𝐵⟶(0[,]+∞) ↔ (𝑘𝑦 / 𝑥𝐵𝐶):𝑦 / 𝑥𝐵⟶(0[,]+∞)))
6350, 62imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝐴) → (𝑘𝐵𝐶):𝐵⟶(0[,]+∞)) ↔ ((𝜑𝑦𝐴) → (𝑘𝑦 / 𝑥𝐵𝐶):𝑦 / 𝑥𝐵⟶(0[,]+∞))))
6423imp31 418 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
65 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝐵𝐶) = (𝑘𝐵𝐶)
6664, 65fmptd 7058 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑘𝐵𝐶):𝐵⟶(0[,]+∞))
6760, 63, 66chvarfv 2233 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝑘𝑦 / 𝑥𝐵𝐶):𝑦 / 𝑥𝐵⟶(0[,]+∞))
6867adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑘𝑦 / 𝑥𝐵𝐶):𝑦 / 𝑥𝐵⟶(0[,]+∞))
6956, 68sge0cl 44554 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (Σ^‘(𝑘𝑦 / 𝑥𝐵𝐶)) ∈ (0[,]+∞))
70 nfcv 2905 . . . . . . . . . 10 𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶))
712, 57nffv 6849 . . . . . . . . . 10 𝑥^‘(𝑘𝑦 / 𝑥𝐵𝐶))
7261fveq2d 6843 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑘𝑦 / 𝑥𝐵𝐶)))
7370, 71, 72cbvmpt 5214 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))) = (𝑦𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝑦 / 𝑥𝐵𝐶)))
7469, 73fmptd 7058 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))):𝐴⟶(0[,]+∞))
75743adant3 1132 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))):𝐴⟶(0[,]+∞))
76 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴𝑥𝐴)
77 fvexd 6854 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ V)
78 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))
7978elrnmpt1 5911 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐴 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ V) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ran (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))
8076, 77, 79syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴 → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ran (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))
8180adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ran (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))
8233, 81eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → +∞ ∈ ran (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))
83823adant1 1130 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → +∞ ∈ ran (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))
8443, 75, 83sge0pnfval 44546 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) = +∞)
8542, 84eqtr4d 2779 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
86853exp 1119 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 → ((Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞ → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))))
871, 9, 86rexlimd 3247 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞ → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))))
8887imp 407 . 2 ((𝜑 ∧ ∃𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
89 simpl 483 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → 𝜑)
90 ralnex 3073 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 ¬ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞ ↔ ¬ ∃𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞)
91 df-ne 2942 . . . . . . 7 ((Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞)
9291bicomi 223 . . . . . 6 (¬ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞ ↔ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞)
9392ralbii 3094 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 ¬ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞ ↔ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞)
9490, 93sylbb1 236 . . . 4 (¬ ∃𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞ → ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞)
9594adantl 482 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞)
9610adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) → 𝐴𝑉)
97 nfcv 2905 . . . . . . . . 9 𝑥𝑊
9845, 97nfel 2919 . . . . . . . 8 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵𝑊
9944, 98nfim 1899 . . . . . . 7 𝑥((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑊)
10051eleq1d 2822 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵𝑊𝑦 / 𝑥𝐵𝑊))
10150, 100imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑊) ↔ ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑊)))
10299, 101, 11chvarfv 2233 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑊)
103102adantlr 713 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑊)
104 sge0iunmpt.dj . . . . . . 7 (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝐵)
105 nfcv 2905 . . . . . . . 8 𝑦𝐵
106105, 45, 51cbvdisj 5078 . . . . . . 7 (Disj 𝑥𝐴 𝐵Disj 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵)
107104, 106sylib 217 . . . . . 6 (𝜑Disj 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵)
108107adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) → Disj 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵)
109 nfv 1917 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑𝑦𝐴𝑗𝑦 / 𝑥𝐵)
110 nfcsb1v 3878 . . . . . . . . 9 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶
111110nfel1 2921 . . . . . . . 8 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,]+∞)
112109, 111nfim 1899 . . . . . . 7 𝑘((𝜑𝑦𝐴𝑗𝑦 / 𝑥𝐵) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,]+∞))
113 eleq1w 2820 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑦 / 𝑥𝐵𝑗𝑦 / 𝑥𝐵))
1141133anbi3d 1442 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑦𝐴𝑘𝑦 / 𝑥𝐵) ↔ (𝜑𝑦𝐴𝑗𝑦 / 𝑥𝐵)))
115 csbeq1a 3867 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗𝐶 = 𝑗 / 𝑘𝐶)
116115eleq1d 2822 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 ∈ (0[,]+∞) ↔ 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
117114, 116imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑦𝐴𝑘𝑦 / 𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ↔ ((𝜑𝑦𝐴𝑗𝑦 / 𝑥𝐵) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
118 nfv 1917 . . . . . . . . . 10 𝑥 𝑦𝐴
11918, 45nfel 2919 . . . . . . . . . 10 𝑥 𝑘𝑦 / 𝑥𝐵
1201, 118, 119nf3an 1904 . . . . . . . . 9 𝑥(𝜑𝑦𝐴𝑘𝑦 / 𝑥𝐵)
121120, 21nfim 1899 . . . . . . . 8 𝑥((𝜑𝑦𝐴𝑘𝑦 / 𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
12251eleq2d 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑘𝐵𝑘𝑦 / 𝑥𝐵))
12349, 1223anbi23d 1439 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) ↔ (𝜑𝑦𝐴𝑘𝑦 / 𝑥𝐵)))
124123imbi1d 341 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ↔ ((𝜑𝑦𝐴𝑘𝑦 / 𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
125121, 124, 22chvarfv 2233 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴𝑘𝑦 / 𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
126112, 117, 125chvarfv 2233 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴𝑗𝑦 / 𝑥𝐵) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,]+∞))
1271263adant1r 1177 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) ∧ 𝑦𝐴𝑗𝑦 / 𝑥𝐵) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,]+∞))
128 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
129 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞ ∧ 𝑦𝐴) → ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞)
130 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) → 𝑦𝐴)
131 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) → ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞)
132 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑗 / 𝑘𝐶
13345, 132nfmpt 5210 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)
1342, 133nffv 6849 . . . . . . . . . . . 12 𝑥^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶))
135 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . 12 𝑥+∞
136134, 135nfne 3043 . . . . . . . . . . 11 𝑥^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)) ≠ +∞
137 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑗𝐶
138137, 110, 115cbvmpt 5214 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘𝑦 / 𝑥𝐵𝐶) = (𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)
139138a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → (𝑘𝑦 / 𝑥𝐵𝐶) = (𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶))
14061, 139eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (𝑘𝐵𝐶) = (𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶))
141140fveq2d 6843 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)))
142141neeq1d 3001 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → ((Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞ ↔ (Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)) ≠ +∞))
143136, 142rspc 3567 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝐴 → (∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞ → (Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)) ≠ +∞))
144130, 131, 143sylc 65 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) → (Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)) ≠ +∞)
145128, 129, 144syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞ ∧ 𝑦𝐴) → (Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)) ≠ +∞)
146145neneqd 2946 . . . . . . 7 ((∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞ ∧ 𝑦𝐴) → ¬ (Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)) = +∞)
147146adantll 712 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) ∧ 𝑦𝐴) → ¬ (Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)) = +∞)
1481263expa 1118 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑗𝑦 / 𝑥𝐵) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,]+∞))
149 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶) = (𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)
150148, 149fmptd 7058 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶):𝑦 / 𝑥𝐵⟶(0[,]+∞))
151150adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶):𝑦 / 𝑥𝐵⟶(0[,]+∞))
152103, 151sge0repnf 44559 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) ∧ 𝑦𝐴) → ((Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)) = +∞))
153147, 152mpbird 256 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) ∧ 𝑦𝐴) → (Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)) ∈ ℝ)
154137, 110, 115cbvmpt 5214 . . . . . . . . 9 (𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶) = (𝑗 𝑥𝐴 𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)
155105, 45, 51cbviun 4994 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐴 𝐵 = 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵
156155mpteq1i 5199 . . . . . . . . 9 (𝑗 𝑥𝐴 𝐵𝑗 / 𝑘𝐶) = (𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)
157154, 156eqtri 2764 . . . . . . . 8 (𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶) = (𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)
158157fveq2i 6842 . . . . . . 7 ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶))
159158, 29eqeltrrid 2843 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)) ∈ ℝ*)
160159adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) → (Σ^‘(𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)) ∈ ℝ*)
16170, 134, 141cbvmpt 5214 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))) = (𝑦𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)))
162161fveq2i 6842 . . . . . . 7 ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) = (Σ^‘(𝑦𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶))))
16311, 66sge0cl 44554 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ (0[,]+∞))
164163, 78fmptd 7058 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))):𝐴⟶(0[,]+∞))
16510, 164sge0xrcl 44558 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) ∈ ℝ*)
166162, 165eqeltrrid 2843 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ^‘(𝑦𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)))) ∈ ℝ*)
167166adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) → (Σ^‘(𝑦𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)))) ∈ ℝ*)
168 eliun 4956 . . . . . . . . . 10 (𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑗𝑦 / 𝑥𝐵)
169168biimpi 215 . . . . . . . . 9 (𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑗𝑦 / 𝑥𝐵)
170169adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵) → ∃𝑦𝐴 𝑗𝑦 / 𝑥𝐵)
171 nfv 1917 . . . . . . . . . 10 𝑦𝜑
172 nfcv 2905 . . . . . . . . . . 11 𝑦𝑗
173 nfiu1 4986 . . . . . . . . . . 11 𝑦 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵
174172, 173nfel 2919 . . . . . . . . . 10 𝑦 𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵
175171, 174nfan 1902 . . . . . . . . 9 𝑦(𝜑𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵)
176 nfv 1917 . . . . . . . . 9 𝑦𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,]+∞)
177148exp31 420 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦𝐴 → (𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
178177adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵) → (𝑦𝐴 → (𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
179175, 176, 178rexlimd 3247 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵) → (∃𝑦𝐴 𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
180170, 179mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,]+∞))
181 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶) = (𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)
182180, 181fmptd 7058 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶): 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵⟶(0[,]+∞))
183182adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) → (𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶): 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵⟶(0[,]+∞))
184155, 14eqeltrrid 2843 . . . . . 6 (𝜑 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ V)
185184adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) → 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ V)
18696, 103, 108, 127, 153, 160, 167, 183, 185sge0iunmptlemre 44588 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) → (Σ^‘(𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)) = (Σ^‘(𝑦𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)))))
187158a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)))
188162a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) → (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) = (Σ^‘(𝑦𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)))))
189186, 187, 1883eqtr4d 2786 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
19089, 95, 189syl2anc 584 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
19188, 190pm2.61dan 811 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  Vcvv 3443  csb 3853  wss 3908   ciun 4952  Disj wdisj 5068   class class class wbr 5103  cmpt 5186  ran crn 5632  wf 6489  cfv 6493  (class class class)co 7353  cr 11046  0cc0 11047  +∞cpnf 11182  *cxr 11184  cle 11186  [,]cicc 13259  Σ^csumge0 44535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-inf2 9573  ax-ac2 10395  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-disj 5069  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-er 8644  df-map 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9374  df-oi 9442  df-card 9871  df-acn 9874  df-ac 10048  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12410  df-z 12496  df-uz 12760  df-rp 12908  df-xadd 13026  df-ico 13262  df-icc 13263  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-seq 13899  df-exp 13960  df-hash 14223  df-cj 14976  df-re 14977  df-im 14978  df-sqrt 15112  df-abs 15113  df-clim 15362  df-sum 15563  df-sumge0 44536
This theorem is referenced by:  sge0iun  44592  sge0xp  44602
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