sge0iunmpt - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem sge0iunmpt 46521

Description: Sum of nonnegative extended reals over a disjoint indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
sge0iunmpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0iunmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊)
sge0iunmpt.dj	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
sge0iunmpt.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))

**Assertion**
Ref	Expression
sge0iunmpt	⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑘,𝑥 𝐵,𝑘 𝑥,𝐶 𝑥,𝑊 𝜑,𝑘,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐵(𝑥) 𝐶(𝑘) 𝑉(𝑥,𝑘) 𝑊(𝑘)

Proof of Theorem sge0iunmpt Dummy variables 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1915	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		nfcv 2894	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥Σ^{^}
3		nfiu1 4977	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵
4		nfcv 2894	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
5	3, 4	nfmpt 5191	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)
6	2, 5	nffv 6838	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶))
7		nfmpt1 5192	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
8	2, 7	nffv 6838	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))
9	6, 8	nfeq 2908	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))
10		sge0iunmpt.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
11		sge0iunmpt.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊)
12	11	ralrimiva 3124	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊)
13		iunexg 7901	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
14	10, 12, 13	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
15		eliun 4945	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑘 ∈ 𝐵)
16	15	biimpi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑘 ∈ 𝐵)
17	16	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑘 ∈ 𝐵)
18		nfcv 2894	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥𝑘
19	18, 3	nfel 2909	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵
20	1, 19	nfan 1900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
21	4	nfel1 2911	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐶 ∈ (0[,]+∞)
22		sge0iunmpt.c	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
23	22	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
25	20, 21, 24	rexlimd 3239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑘 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
26	17, 25	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
27		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)
28	26, 27	fmptd 7053	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶):∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵⟶(0[,]+∞))
29	14, 28	sge0xrcl 46488	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ^*)
30	29	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ^*)
31		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞ → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞)
32	31	eqcomd 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞ → +∞ = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
33	32	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → +∞ = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
34	33	3adant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → +∞ = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
35	14	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
36	26	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
37		ssiun2 4998	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
38	37	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
39	35, 36, 38	sge0lessmpt 46502	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≤ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)))
40	39	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≤ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)))
41	34, 40	eqbrtrd 5115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → +∞ ≤ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)))
42	30, 41	xrgepnfd 45435	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞)
43	10	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → 𝐴 ∈ 𝑉)
44		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)
45		nfcsb1v 3869	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
46		nfcsb1v 3869	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑊
47	45, 46	nfel 2909	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑊
48	44, 47	nfim 1897	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑊)
49		eleq1w 2814	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
50	49	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)))
51		csbeq1a 3859	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
52		csbeq1a 3859	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑊 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑊)
53	51, 52	eleq12d 2825	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∈ 𝑊 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑊))
54	50, 53	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑊)))
55	48, 54, 11	chvarfv 2243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑊)
56	55	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑊)
57	45, 4	nfmpt 5191	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)
58		nfcv 2894	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥(0[,]+∞)
59	57, 45, 58	nff 6653	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶):⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵⟶(0[,]+∞)
60	44, 59	nfim 1897	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶):⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵⟶(0[,]+∞))
61	51	mpteq1d 5183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶))
62	61, 51	feq12d 6645	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶(0[,]+∞) ↔ (𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶):⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵⟶(0[,]+∞)))
63	50, 62	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶(0[,]+∞)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶):⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵⟶(0[,]+∞))))
64	23	imp31 417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
65		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
66	64, 65	fmptd 7053	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶(0[,]+∞))
67	60, 63, 66	chvarfv 2243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶):⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵⟶(0[,]+∞))
68	67	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶):⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵⟶(0[,]+∞))
69	56, 68	sge0cl 46484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ (0[,]+∞))
70		nfcv 2894	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
71	2, 57	nffv 6838	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶))
72	61	fveq2d 6832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)))
73	70, 71, 72	cbvmpt 5195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶)))
74	69, 73	fmptd 7053	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))):𝐴⟶(0[,]+∞))
75	74	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))):𝐴⟶(0[,]+∞))
76		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴)
77		fvexd 6843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ V)
78		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
79	78	elrnmpt1 5905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ V) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))
80	76, 77, 79	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))
81	80	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))
82	33, 81	eqeltrd 2831	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → +∞ ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))
83	82	3adant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → +∞ ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))
84	43, 75, 83	sge0pnfval 46476	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = +∞)
85	42, 84	eqtr4d 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))
86	85	3exp 1119	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞ → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))))
87	1, 9, 86	rexlimd 3239	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞ → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))))
88	87	imp 406	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))
89		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → 𝜑)
90		ralnex 3058	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞ ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞)
91		df-ne 2929	. . . . . . 7 ⊢ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞ ↔ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞)
92	91	bicomi 224	. . . . . 6 ⊢ (¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞ ↔ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞)
93	92	ralbii 3078	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞)
94	90, 93	sylbb1 237	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞ → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞)
95	94	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞)
96	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) → 𝐴 ∈ 𝑉)
97		nfcv 2894	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝑊
98	45, 97	nfel 2909	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑊
99	44, 98	nfim 1897	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑊)
100	51	eleq1d 2816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∈ 𝑊 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑊))
101	50, 100	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑊) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑊)))
102	99, 101, 11	chvarfv 2243	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑊)
103	102	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑊)
104		sge0iunmpt.dj	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
105		nfcv 2894	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
106	105, 45, 51	cbvdisj 5070	. . . . . . 7 ⊢ (Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
107	104, 106	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
108	107	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) → Disj 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
109		nfv 1915	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
110		nfcsb1v 3869	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶
111	110	nfel1 2911	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞)
112	109, 111	nfim 1897	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))
113		eleq1w 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↔ 𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
114	113	3anbi3d 1444	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)))
115		csbeq1a 3859	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐶 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
116	115	eleq1d 2816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 ∈ (0[,]+∞) ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
117	114, 116	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
118		nfv 1915	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝐴
119	18, 45	nfel 2909	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
120	1, 118, 119	nf3an 1902	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
121	120, 21	nfim 1897	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
122	51	eleq2d 2817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↔ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
123	49, 122	3anbi23d 1441	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)))
124	123	imbi1d 341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
125	121, 124, 22	chvarfv 2243	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
126	112, 117, 125	chvarfv 2243	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))
127	126	3adant1r 1178	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))
128		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
129		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞)
130		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) → 𝑦 ∈ 𝐴)
131		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞)
132		nfcv 2894	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶
133	45, 132	nfmpt 5191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
134	2, 133	nffv 6838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
135		nfcv 2894	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥+∞
136	134, 135	nfne 3029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) ≠ +∞
137		nfcv 2894	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑗𝐶
138	137, 110, 115	cbvmpt 5195	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
139	138	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑘 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
140	61, 139	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
141	140	fveq2d 6832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)))
142	141	neeq1d 2987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞ ↔ (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) ≠ +∞))
143	136, 142	rspc 3560	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞ → (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) ≠ +∞))
144	130, 131, 143	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) → (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) ≠ +∞)
145	128, 129, 144	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) ≠ +∞)
146	145	neneqd 2933	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ¬ (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) = +∞)
147	146	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ¬ (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) = +∞)
148	126	3expa 1118	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))
149		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶) = (𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
150	148, 149	fmptd 7053	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶):⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵⟶(0[,]+∞))
151	150	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶):⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵⟶(0[,]+∞))
152	103, 151	sge0repnf 46489	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) = +∞))
153	147, 152	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) ∈ ℝ)
154	137, 110, 115	cbvmpt 5195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑗 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
155	105, 45, 51	cbviun 4985	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
156	155	mpteq1i 5184	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶) = (𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
157	154, 156	eqtri 2754	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
158	157	fveq2i 6831	. . . . . . 7 ⊢ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
159	158, 29	eqeltrrid 2836	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) ∈ ℝ^*)
160	159	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) → (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) ∈ ℝ^*)
161	70, 134, 141	cbvmpt 5195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)))
162	161	fveq2i 6831	. . . . . . 7 ⊢ (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = (Σ^{^}‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))))
163	11, 66	sge0cl 46484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ∈ (0[,]+∞))
164	163, 78	fmptd 7053	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))):𝐴⟶(0[,]+∞))
165	10, 164	sge0xrcl 46488	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) ∈ ℝ^*)
166	162, 165	eqeltrrid 2836	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)))) ∈ ℝ^*)
167	166	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) → (Σ^{^}‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)))) ∈ ℝ^*)
168		eliun 4945	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
169	168	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
170	169	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
171		nfv 1915	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
172		nfcv 2894	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦𝑗
173		nfiu1 4977	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
174	172, 173	nfel 2909	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
175	171, 174	nfan 1900	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
176		nfv 1915	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞)
177	148	exp31 419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
178	177	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
179	175, 176, 178	rexlimd 3239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
180	170, 179	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))
181		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶) = (𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
182	180, 181	fmptd 7053	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶):∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵⟶(0[,]+∞))
183	182	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) → (𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶):∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵⟶(0[,]+∞))
184	155, 14	eqeltrrid 2836	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ V)
185	184	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) → ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ V)
186	96, 103, 108, 127, 153, 160, 167, 183, 185	sge0iunmptlemre 46518	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) → (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)))))
187	158	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)))
188	162	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) → (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))) = (Σ^{^}‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑗 ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↦ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)))))
189	186, 187, 188	3eqtr4d 2776	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) ≠ +∞) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))
190	89, 95, 189	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = +∞) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))
191	88, 190	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^{^}‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1541 ∈ wcel 2111 ≠ wne 2928 ∀wral 3047 ∃wrex 3056 Vcvv 3436 ⦋csb 3845 ⊆ wss 3897 ∪ ciun 4941 Disj wdisj 5060 class class class wbr 5093 ↦ cmpt 5174 ran crn 5620 ⟶wf 6483 ‘cfv 6487 (class class class)co 7352 ℝcr 11011 0cc0 11012 +∞cpnf 11149 ℝ^*cxr 11151 ≤ cle 11153 [,]cicc 13254 Σ^{^}csumge0 46465

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2113 ax-9 2121 ax-10 2144 ax-11 2160 ax-12 2180 ax-ext 2703 ax-rep 5219 ax-sep 5236 ax-nul 5246 ax-pow 5305 ax-pr 5372 ax-un 7674 ax-inf2 9537 ax-ac2 10360 ax-cnex 11068 ax-resscn 11069 ax-1cn 11070 ax-icn 11071 ax-addcl 11072 ax-addrcl 11073 ax-mulcl 11074 ax-mulrcl 11075 ax-mulcom 11076 ax-addass 11077 ax-mulass 11078 ax-distr 11079 ax-i2m1 11080 ax-1ne0 11081 ax-1rid 11082 ax-rnegex 11083 ax-rrecex 11084 ax-cnre 11085 ax-pre-lttri 11086 ax-pre-lttrn 11087 ax-pre-ltadd 11088 ax-pre-mulgt0 11089 ax-pre-sup 11090

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2710 df-cleq 2723 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2929 df-nel 3033 df-ral 3048 df-rex 3057 df-rmo 3346 df-reu 3347 df-rab 3396 df-v 3438 df-sbc 3737 df-csb 3846 df-dif 3900 df-un 3902 df-in 3904 df-ss 3914 df-pss 3917 df-nul 4283 df-if 4475 df-pw 4551 df-sn 4576 df-pr 4578 df-op 4582 df-uni 4859 df-int 4898 df-iun 4943 df-disj 5061 df-br 5094 df-opab 5156 df-mpt 5175 df-tr 5201 df-id 5514 df-eprel 5519 df-po 5527 df-so 5528 df-fr 5572 df-se 5573 df-we 5574 df-xp 5625 df-rel 5626 df-cnv 5627 df-co 5628 df-dm 5629 df-rn 5630 df-res 5631 df-ima 5632 df-pred 6254 df-ord 6315 df-on 6316 df-lim 6317 df-suc 6318 df-iota 6443 df-fun 6489 df-fn 6490 df-f 6491 df-f1 6492 df-fo 6493 df-f1o 6494 df-fv 6495 df-isom 6496 df-riota 7309 df-ov 7355 df-oprab 7356 df-mpo 7357 df-om 7803 df-1st 7927 df-2nd 7928 df-frecs 8217 df-wrecs 8248 df-recs 8297 df-rdg 8335 df-1o 8391 df-er 8628 df-map 8758 df-en 8876 df-dom 8877 df-sdom 8878 df-fin 8879 df-sup 9332 df-oi 9402 df-card 9838 df-acn 9841 df-ac 10013 df-pnf 11154 df-mnf 11155 df-xr 11156 df-ltxr 11157 df-le 11158 df-sub 11352 df-neg 11353 df-div 11781 df-nn 12132 df-2 12194 df-3 12195 df-n0 12388 df-z 12475 df-uz 12739 df-rp 12897 df-xadd 13018 df-ico 13257 df-icc 13258 df-fz 13414 df-fzo 13561 df-seq 13915 df-exp 13975 df-hash 14244 df-cj 15012 df-re 15013 df-im 15014 df-sqrt 15148 df-abs 15149 df-clim 15401 df-sum 15600 df-sumge0 46466

This theorem is referenced by: sge0iun 46522 sge0xp 46532

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