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Theorem sge0iunmpt 46373
Description: Sum of nonnegative extended reals over a disjoint indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0iunmpt.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0iunmpt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑊)
sge0iunmpt.dj (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝐵)
sge0iunmpt.c ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
sge0iunmpt (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑊   𝜑,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem sge0iunmpt
Dummy variables 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1911 . . . 4 𝑥𝜑
2 nfcv 2902 . . . . . 6 𝑥Σ^
3 nfiu1 5031 . . . . . . 7 𝑥 𝑥𝐴 𝐵
4 nfcv 2902 . . . . . . 7 𝑥𝐶
53, 4nfmpt 5254 . . . . . 6 𝑥(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)
62, 5nffv 6916 . . . . 5 𝑥^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶))
7 nfmpt1 5255 . . . . . 6 𝑥(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))
82, 7nffv 6916 . . . . 5 𝑥^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))
96, 8nfeq 2916 . . . 4 𝑥^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))
10 sge0iunmpt.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝑉)
11 sge0iunmpt.b . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑊)
1211ralrimiva 3143 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑊)
13 iunexg 7986 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑊) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
1410, 12, 13syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
15 eliun 4999 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 𝑥𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑘𝐵)
1615biimpi 216 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 𝑥𝐴 𝐵 → ∃𝑥𝐴 𝑘𝐵)
1716adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 𝑥𝐴 𝐵) → ∃𝑥𝐴 𝑘𝐵)
18 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑘
1918, 3nfel 2917 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 𝑘 𝑥𝐴 𝐵
201, 19nfan 1896 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(𝜑𝑘 𝑥𝐴 𝐵)
214nfel1 2919 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 𝐶 ∈ (0[,]+∞)
22 sge0iunmpt.c . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
23223exp 1118 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
2423adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 𝑥𝐴 𝐵) → (𝑥𝐴 → (𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
2520, 21, 24rexlimd 3263 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 𝑥𝐴 𝐵) → (∃𝑥𝐴 𝑘𝐵𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
2617, 25mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 𝑥𝐴 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
27 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 (𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶) = (𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)
2826, 27fmptd 7133 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶): 𝑥𝐴 𝐵⟶(0[,]+∞))
2914, 28sge0xrcl 46340 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) ∈ ℝ*)
30293ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) ∈ ℝ*)
31 id 22 . . . . . . . . . . 11 ((Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞ → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞)
3231eqcomd 2740 . . . . . . . . . 10 ((Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞ → +∞ = (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))
3332adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → +∞ = (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))
34333adant1 1129 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → +∞ = (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))
3514adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
3626adantlr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 𝑥𝐴 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
37 ssiun2 5051 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴𝐵 𝑥𝐴 𝐵)
3837adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 𝑥𝐴 𝐵)
3935, 36, 38sge0lessmpt 46354 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≤ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)))
40393adant3 1131 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≤ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)))
4134, 40eqbrtrd 5169 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → +∞ ≤ (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)))
4230, 41xrgepnfd 45280 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) = +∞)
43103ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → 𝐴𝑉)
44 nfv 1911 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝜑𝑦𝐴)
45 nfcsb1v 3932 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵
46 nfcsb1v 3932 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑦 / 𝑥𝑊
4745, 46nfel 2917 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝑊
4844, 47nfim 1893 . . . . . . . . . . . 12 𝑥((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝑊)
49 eleq1w 2821 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
5049anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑𝑥𝐴) ↔ (𝜑𝑦𝐴)))
51 csbeq1a 3921 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵)
52 csbeq1a 3921 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦𝑊 = 𝑦 / 𝑥𝑊)
5351, 52eleq12d 2832 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵𝑊𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝑊))
5450, 53imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑊) ↔ ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝑊)))
5548, 54, 11chvarfv 2237 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝑊)
5655adantlr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝑊)
5745, 4nfmpt 5254 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(𝑘𝑦 / 𝑥𝐵𝐶)
58 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(0[,]+∞)
5957, 45, 58nff 6732 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝑘𝑦 / 𝑥𝐵𝐶):𝑦 / 𝑥𝐵⟶(0[,]+∞)
6044, 59nfim 1893 . . . . . . . . . . . 12 𝑥((𝜑𝑦𝐴) → (𝑘𝑦 / 𝑥𝐵𝐶):𝑦 / 𝑥𝐵⟶(0[,]+∞))
6151mpteq1d 5242 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → (𝑘𝐵𝐶) = (𝑘𝑦 / 𝑥𝐵𝐶))
6261, 51feq12d 6724 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑘𝐵𝐶):𝐵⟶(0[,]+∞) ↔ (𝑘𝑦 / 𝑥𝐵𝐶):𝑦 / 𝑥𝐵⟶(0[,]+∞)))
6350, 62imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝐴) → (𝑘𝐵𝐶):𝐵⟶(0[,]+∞)) ↔ ((𝜑𝑦𝐴) → (𝑘𝑦 / 𝑥𝐵𝐶):𝑦 / 𝑥𝐵⟶(0[,]+∞))))
6423imp31 417 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
65 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝐵𝐶) = (𝑘𝐵𝐶)
6664, 65fmptd 7133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑘𝐵𝐶):𝐵⟶(0[,]+∞))
6760, 63, 66chvarfv 2237 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝑘𝑦 / 𝑥𝐵𝐶):𝑦 / 𝑥𝐵⟶(0[,]+∞))
6867adantlr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑘𝑦 / 𝑥𝐵𝐶):𝑦 / 𝑥𝐵⟶(0[,]+∞))
6956, 68sge0cl 46336 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (Σ^‘(𝑘𝑦 / 𝑥𝐵𝐶)) ∈ (0[,]+∞))
70 nfcv 2902 . . . . . . . . . 10 𝑦^‘(𝑘𝐵𝐶))
712, 57nffv 6916 . . . . . . . . . 10 𝑥^‘(𝑘𝑦 / 𝑥𝐵𝐶))
7261fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑘𝑦 / 𝑥𝐵𝐶)))
7370, 71, 72cbvmpt 5258 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))) = (𝑦𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝑦 / 𝑥𝐵𝐶)))
7469, 73fmptd 7133 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))):𝐴⟶(0[,]+∞))
75743adant3 1131 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))):𝐴⟶(0[,]+∞))
76 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴𝑥𝐴)
77 fvexd 6921 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ V)
78 eqid 2734 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))
7978elrnmpt1 5973 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐴 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ V) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ran (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))
8076, 77, 79syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴 → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ran (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))
8180adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ ran (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))
8233, 81eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → +∞ ∈ ran (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))
83823adant1 1129 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → +∞ ∈ ran (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))
8443, 75, 83sge0pnfval 46328 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) = +∞)
8542, 84eqtr4d 2777 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
86853exp 1118 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 → ((Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞ → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))))
871, 9, 86rexlimd 3263 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞ → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))))))
8887imp 406 . 2 ((𝜑 ∧ ∃𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
89 simpl 482 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → 𝜑)
90 ralnex 3069 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 ¬ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞ ↔ ¬ ∃𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞)
91 df-ne 2938 . . . . . . 7 ((Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞)
9291bicomi 224 . . . . . 6 (¬ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞ ↔ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞)
9392ralbii 3090 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 ¬ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞ ↔ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞)
9490, 93sylbb1 237 . . . 4 (¬ ∃𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞ → ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞)
9594adantl 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞)
9610adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) → 𝐴𝑉)
97 nfcv 2902 . . . . . . . . 9 𝑥𝑊
9845, 97nfel 2917 . . . . . . . 8 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵𝑊
9944, 98nfim 1893 . . . . . . 7 𝑥((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑊)
10051eleq1d 2823 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵𝑊𝑦 / 𝑥𝐵𝑊))
10150, 100imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑊) ↔ ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑊)))
10299, 101, 11chvarfv 2237 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑊)
103102adantlr 715 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑊)
104 sge0iunmpt.dj . . . . . . 7 (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝐵)
105 nfcv 2902 . . . . . . . 8 𝑦𝐵
106105, 45, 51cbvdisj 5124 . . . . . . 7 (Disj 𝑥𝐴 𝐵Disj 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵)
107104, 106sylib 218 . . . . . 6 (𝜑Disj 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵)
108107adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) → Disj 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵)
109 nfv 1911 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑𝑦𝐴𝑗𝑦 / 𝑥𝐵)
110 nfcsb1v 3932 . . . . . . . . 9 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶
111110nfel1 2919 . . . . . . . 8 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,]+∞)
112109, 111nfim 1893 . . . . . . 7 𝑘((𝜑𝑦𝐴𝑗𝑦 / 𝑥𝐵) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,]+∞))
113 eleq1w 2821 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑦 / 𝑥𝐵𝑗𝑦 / 𝑥𝐵))
1141133anbi3d 1441 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑦𝐴𝑘𝑦 / 𝑥𝐵) ↔ (𝜑𝑦𝐴𝑗𝑦 / 𝑥𝐵)))
115 csbeq1a 3921 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗𝐶 = 𝑗 / 𝑘𝐶)
116115eleq1d 2823 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 ∈ (0[,]+∞) ↔ 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
117114, 116imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑦𝐴𝑘𝑦 / 𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ↔ ((𝜑𝑦𝐴𝑗𝑦 / 𝑥𝐵) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
118 nfv 1911 . . . . . . . . . 10 𝑥 𝑦𝐴
11918, 45nfel 2917 . . . . . . . . . 10 𝑥 𝑘𝑦 / 𝑥𝐵
1201, 118, 119nf3an 1898 . . . . . . . . 9 𝑥(𝜑𝑦𝐴𝑘𝑦 / 𝑥𝐵)
121120, 21nfim 1893 . . . . . . . 8 𝑥((𝜑𝑦𝐴𝑘𝑦 / 𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
12251eleq2d 2824 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑘𝐵𝑘𝑦 / 𝑥𝐵))
12349, 1223anbi23d 1438 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) ↔ (𝜑𝑦𝐴𝑘𝑦 / 𝑥𝐵)))
124123imbi1d 341 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ↔ ((𝜑𝑦𝐴𝑘𝑦 / 𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
125121, 124, 22chvarfv 2237 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴𝑘𝑦 / 𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
126112, 117, 125chvarfv 2237 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴𝑗𝑦 / 𝑥𝐵) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,]+∞))
1271263adant1r 1176 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) ∧ 𝑦𝐴𝑗𝑦 / 𝑥𝐵) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,]+∞))
128 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
129 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞ ∧ 𝑦𝐴) → ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞)
130 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) → 𝑦𝐴)
131 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) → ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞)
132 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑗 / 𝑘𝐶
13345, 132nfmpt 5254 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)
1342, 133nffv 6916 . . . . . . . . . . . 12 𝑥^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶))
135 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . 12 𝑥+∞
136134, 135nfne 3040 . . . . . . . . . . 11 𝑥^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)) ≠ +∞
137 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑗𝐶
138137, 110, 115cbvmpt 5258 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘𝑦 / 𝑥𝐵𝐶) = (𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)
139138a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → (𝑘𝑦 / 𝑥𝐵𝐶) = (𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶))
14061, 139eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (𝑘𝐵𝐶) = (𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶))
141140fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)))
142141neeq1d 2997 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → ((Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞ ↔ (Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)) ≠ +∞))
143136, 142rspc 3609 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝐴 → (∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞ → (Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)) ≠ +∞))
144130, 131, 143sylc 65 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) → (Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)) ≠ +∞)
145128, 129, 144syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞ ∧ 𝑦𝐴) → (Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)) ≠ +∞)
146145neneqd 2942 . . . . . . 7 ((∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞ ∧ 𝑦𝐴) → ¬ (Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)) = +∞)
147146adantll 714 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) ∧ 𝑦𝐴) → ¬ (Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)) = +∞)
1481263expa 1117 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑗𝑦 / 𝑥𝐵) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,]+∞))
149 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶) = (𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)
150148, 149fmptd 7133 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶):𝑦 / 𝑥𝐵⟶(0[,]+∞))
151150adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶):𝑦 / 𝑥𝐵⟶(0[,]+∞))
152103, 151sge0repnf 46341 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) ∧ 𝑦𝐴) → ((Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)) = +∞))
153147, 152mpbird 257 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) ∧ 𝑦𝐴) → (Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)) ∈ ℝ)
154137, 110, 115cbvmpt 5258 . . . . . . . . 9 (𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶) = (𝑗 𝑥𝐴 𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)
155105, 45, 51cbviun 5040 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐴 𝐵 = 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵
156155mpteq1i 5243 . . . . . . . . 9 (𝑗 𝑥𝐴 𝐵𝑗 / 𝑘𝐶) = (𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)
157154, 156eqtri 2762 . . . . . . . 8 (𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶) = (𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)
158157fveq2i 6909 . . . . . . 7 ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶))
159158, 29eqeltrrid 2843 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)) ∈ ℝ*)
160159adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) → (Σ^‘(𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)) ∈ ℝ*)
16170, 134, 141cbvmpt 5258 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))) = (𝑦𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)))
162161fveq2i 6909 . . . . . . 7 ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) = (Σ^‘(𝑦𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶))))
16311, 66sge0cl 46336 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) ∈ (0[,]+∞))
164163, 78fmptd 7133 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))):𝐴⟶(0[,]+∞))
16510, 164sge0xrcl 46340 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) ∈ ℝ*)
166162, 165eqeltrrid 2843 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ^‘(𝑦𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)))) ∈ ℝ*)
167166adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) → (Σ^‘(𝑦𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)))) ∈ ℝ*)
168 eliun 4999 . . . . . . . . . 10 (𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑗𝑦 / 𝑥𝐵)
169168biimpi 216 . . . . . . . . 9 (𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑗𝑦 / 𝑥𝐵)
170169adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵) → ∃𝑦𝐴 𝑗𝑦 / 𝑥𝐵)
171 nfv 1911 . . . . . . . . . 10 𝑦𝜑
172 nfcv 2902 . . . . . . . . . . 11 𝑦𝑗
173 nfiu1 5031 . . . . . . . . . . 11 𝑦 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵
174172, 173nfel 2917 . . . . . . . . . 10 𝑦 𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵
175171, 174nfan 1896 . . . . . . . . 9 𝑦(𝜑𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵)
176 nfv 1911 . . . . . . . . 9 𝑦𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,]+∞)
177148exp31 419 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦𝐴 → (𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
178177adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵) → (𝑦𝐴 → (𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
179175, 176, 178rexlimd 3263 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵) → (∃𝑦𝐴 𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
180170, 179mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,]+∞))
181 eqid 2734 . . . . . . 7 (𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶) = (𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)
182180, 181fmptd 7133 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶): 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵⟶(0[,]+∞))
183182adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) → (𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶): 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵⟶(0[,]+∞))
184155, 14eqeltrrid 2843 . . . . . 6 (𝜑 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ V)
185184adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) → 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ V)
18696, 103, 108, 127, 153, 160, 167, 183, 185sge0iunmptlemre 46370 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) → (Σ^‘(𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)) = (Σ^‘(𝑦𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)))))
187158a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑗 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)))
188162a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) → (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) = (Σ^‘(𝑦𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑗𝑦 / 𝑥𝐵𝑗 / 𝑘𝐶)))))
189186, 187, 1883eqtr4d 2784 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) ≠ +∞) → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
19089, 95, 189syl2anc 584 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑥𝐴^‘(𝑘𝐵𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
19188, 190pm2.61dan 813 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑥𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  Vcvv 3477  csb 3907  wss 3962   ciun 4995  Disj wdisj 5114   class class class wbr 5147  cmpt 5230  ran crn 5689  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cr 11151  0cc0 11152  +∞cpnf 11289  *cxr 11291  cle 11293  [,]cicc 13386  Σ^csumge0 46317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-ac2 10500  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-disj 5115  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-acn 9979  df-ac 10153  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-xadd 13152  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719  df-sumge0 46318
This theorem is referenced by:  sge0iun  46374  sge0xp  46384
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