Theorem xrleneltd 45292

Description: 'Less than or equal to' and 'not equals' implies 'less than', for extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrleneltd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrleneltd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrleneltd.alb	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrleneltd.anb	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrleneltd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem xrleneltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrleneltd.anb	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2	1	necomd 2980	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
3		xrleneltd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrleneltd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrleneltd.alb	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
6		xrleltne 13081	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴))
8	2, 7	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5102  ℝ^*cxr 11183   < clt 11184   ≤ cle 11185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190

This theorem is referenced by:  infleinf  45341  pimxrneun  45457  eliccelicod  45501  ge0xrre  45502  ressioosup  45526  ressiooinf  45528  sge0pr  46365