Theorem xrleneltd 45334

Description: 'Less than or equal to' and 'not equals' implies 'less than', for extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrleneltd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrleneltd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrleneltd.alb	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrleneltd.anb	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrleneltd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem xrleneltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrleneltd.anb	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2	1	necomd 2996	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
3		xrleneltd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrleneltd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrleneltd.alb	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
6		xrleltne 13187	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴))
8	2, 7	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295   ≤ cle 11296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301

This theorem is referenced by:  infleinf  45383  pimxrneun  45499  eliccelicod  45543  ge0xrre  45544  ressioosup  45568  ressiooinf  45570  sge0pr  46409