Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrleneltd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrleneltd 42833
Description: 'Less than or equal to' and 'not equals' implies 'less than', for extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
xrleneltd.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xrleneltd.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
xrleneltd.alb (𝜑𝐴𝐵)
xrleneltd.anb (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
xrleneltd (𝜑𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem xrleneltd
StepHypRef Expression
1 xrleneltd.anb . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
21necomd 3001 . 2 (𝜑𝐵𝐴)
3 xrleneltd.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4 xrleneltd.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
5 xrleneltd.alb . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
6 xrleltne 12878 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐴 < 𝐵𝐵𝐴))
73, 4, 5, 6syl3anc 1370 . 2 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵𝐵𝐴))
82, 7mpbird 256 1 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wcel 2110  wne 2945   class class class wbr 5079  *cxr 11009   < clt 11010  cle 11011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5490  df-po 5504  df-so 5505  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016
This theorem is referenced by:  infleinf  42882  eliccelicod  43039  ge0xrre  43040  ressioosup  43064  ressiooinf  43066  sge0pr  43903
  Copyright terms: Public domain W3C validator