Theorem xrleneltd 45238

Description: 'Less than or equal to' and 'not equals' implies 'less than', for extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrleneltd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrleneltd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrleneltd.alb	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrleneltd.anb	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrleneltd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem xrleneltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrleneltd.anb	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2	1	necomd 3002	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
3		xrleneltd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrleneltd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrleneltd.alb	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
6		xrleltne 13207	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴))
8	2, 7	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   class class class wbr 5166  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330

This theorem is referenced by:  infleinf  45287  pimxrneun  45404  eliccelicod  45448  ge0xrre  45449  ressioosup  45473  ressiooinf  45475  sge0pr  46315