Theorem xrleneltd 45931

Description: 'Less than or equal to' and 'not equals' implies 'less than', for extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrleneltd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrleneltd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrleneltd.alb	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrleneltd.anb	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrleneltd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem xrleneltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrleneltd.anb	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2	1	necomd 3019	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
3		xrleneltd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrleneltd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrleneltd.alb	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
6		xrleltne 13170	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1396	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴))
8	2, 7	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   class class class wbr 5113  ℝ^*cxr 11242   < clt 11243   ≤ cle 11244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249

This theorem is referenced by:  infleinf  45979  pimxrneun  46094  eliccelicod  46138  ge0xrre  46139  ressioosup  46163  ressiooinf  46165  sge0pr  47000