Theorem xrleneltd 42833

Description: 'Less than or equal to' and 'not equals' implies 'less than', for extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrleneltd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrleneltd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrleneltd.alb	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrleneltd.anb	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrleneltd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem xrleneltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrleneltd.anb	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2	1	necomd 3001	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
3		xrleneltd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrleneltd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrleneltd.alb	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
6		xrleltne 12878	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴))
8	2, 7	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945   class class class wbr 5079  ℝ^*cxr 11009   < clt 11010   ≤ cle 11011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5490  df-po 5504  df-so 5505  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016

This theorem is referenced by:  infleinf  42882  eliccelicod  43039  ge0xrre  43040  ressioosup  43064  ressiooinf  43066  sge0pr  43903