Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0pr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0pr 44721
Description: Sum of a pair of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0pr.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0pr.b (𝜑𝐵𝑊)
sge0pr.d (𝜑𝐷 ∈ (0[,]+∞))
sge0pr.e (𝜑𝐸 ∈ (0[,]+∞))
sge0pr.cd (𝑘 = 𝐴𝐶 = 𝐷)
sge0pr.ce (𝑘 = 𝐵𝐶 = 𝐸)
sge0pr.ab (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
sge0pr (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) = (𝐷 +𝑒 𝐸))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sge0pr
StepHypRef Expression
1 iccssxr 13353 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 sge0pr.e . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ (0[,]+∞))
31, 2sselid 3943 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℝ*)
4 mnfxr 11217 . . . . . . . 8 -∞ ∈ ℝ*
54a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
6 0xr 11207 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
76a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
8 mnflt0 13051 . . . . . . . . 9 -∞ < 0
98a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → -∞ < 0)
10 pnfxr 11214 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ ℝ*
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
12 iccgelb 13326 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐸 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐸)
137, 11, 2, 12syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝐸)
145, 7, 3, 9, 13xrltletrd 13086 . . . . . . 7 (𝜑 → -∞ < 𝐸)
155, 3, 14xrgtned 43643 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ≠ -∞)
16 xaddpnf2 13152 . . . . . 6 ((𝐸 ∈ ℝ*𝐸 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐸) = +∞)
173, 15, 16syl2anc 585 . . . . 5 (𝜑 → (+∞ +𝑒 𝐸) = +∞)
1817eqcomd 2739 . . . 4 (𝜑 → +∞ = (+∞ +𝑒 𝐸))
1918adantr 482 . . 3 ((𝜑𝐷 = +∞) → +∞ = (+∞ +𝑒 𝐸))
20 prex 5390 . . . . 5 {𝐴, 𝐵} ∈ V
2120a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝐷 = +∞) → {𝐴, 𝐵} ∈ V)
22 sge0pr.cd . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐴𝐶 = 𝐷)
2322adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐷)
24 sge0pr.d . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ (0[,]+∞))
2524adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 = 𝐴) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
2623, 25eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 = 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
2726adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
28 simpll 766 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐴) → 𝜑)
29 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ ¬ 𝑘 = 𝐴) → 𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵})
30 neqne 2948 . . . . . . . . . . 11 𝑘 = 𝐴𝑘𝐴)
3130adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ ¬ 𝑘 = 𝐴) → 𝑘𝐴)
32 elprn1 43960 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘 = 𝐵)
3329, 31, 32syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ ¬ 𝑘 = 𝐴) → 𝑘 = 𝐵)
3433adantll 713 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐴) → 𝑘 = 𝐵)
35 sge0pr.ce . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐵𝐶 = 𝐸)
3635adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐸)
372adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐸 ∈ (0[,]+∞))
3836, 37eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
3928, 34, 38syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
4027, 39pm2.61dan 812 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
41 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)
4240, 41fmptd 7063 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶):{𝐴, 𝐵}⟶(0[,]+∞))
4342adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝐷 = +∞) → (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶):{𝐴, 𝐵}⟶(0[,]+∞))
44 id 22 . . . . . . 7 (𝐷 = +∞ → 𝐷 = +∞)
4544eqcomd 2739 . . . . . 6 (𝐷 = +∞ → +∞ = 𝐷)
4645adantl 483 . . . . 5 ((𝜑𝐷 = +∞) → +∞ = 𝐷)
47 prid1g 4722 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (0[,]+∞) → 𝐷 ∈ {𝐷, 𝐸})
4824, 47syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ {𝐷, 𝐸})
49 sge0pr.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑉)
50 sge0pr.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵𝑊)
5149, 50, 41, 22, 35rnmptpr 43482 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶) = {𝐷, 𝐸})
5251eqcomd 2739 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝐷, 𝐸} = ran (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶))
5348, 52eleqtrd 2836 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ran (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶))
5453adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝐷 = +∞) → 𝐷 ∈ ran (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶))
5546, 54eqeltrd 2834 . . . 4 ((𝜑𝐷 = +∞) → +∞ ∈ ran (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶))
5621, 43, 55sge0pnfval 44700 . . 3 ((𝜑𝐷 = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) = +∞)
57 oveq1 7365 . . . 4 (𝐷 = +∞ → (𝐷 +𝑒 𝐸) = (+∞ +𝑒 𝐸))
5857adantl 483 . . 3 ((𝜑𝐷 = +∞) → (𝐷 +𝑒 𝐸) = (+∞ +𝑒 𝐸))
5919, 56, 583eqtr4d 2783 . 2 ((𝜑𝐷 = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) = (𝐷 +𝑒 𝐸))
601, 24sselid 3943 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
61 iccgelb 13326 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐷 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐷)
627, 11, 24, 61syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ 𝐷)
635, 7, 60, 9, 62xrltletrd 13086 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -∞ < 𝐷)
645, 60, 63xrgtned 43643 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ≠ -∞)
65 xaddpnf1 13151 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≠ -∞) → (𝐷 +𝑒 +∞) = +∞)
6660, 64, 65syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 +𝑒 +∞) = +∞)
6766eqcomd 2739 . . . . . 6 (𝜑 → +∞ = (𝐷 +𝑒 +∞))
6867adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝐸 = +∞) → +∞ = (𝐷 +𝑒 +∞))
6920a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝐸 = +∞) → {𝐴, 𝐵} ∈ V)
7042adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝐸 = +∞) → (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶):{𝐴, 𝐵}⟶(0[,]+∞))
71 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐸 = +∞ → 𝐸 = +∞)
7271eqcomd 2739 . . . . . . . 8 (𝐸 = +∞ → +∞ = 𝐸)
7372adantl 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝐸 = +∞) → +∞ = 𝐸)
74 prid2g 4723 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ (0[,]+∞) → 𝐸 ∈ {𝐷, 𝐸})
752, 74syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ {𝐷, 𝐸})
7675, 52eleqtrd 2836 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ran (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶))
7776adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝐸 = +∞) → 𝐸 ∈ ran (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶))
7873, 77eqeltrd 2834 . . . . . 6 ((𝜑𝐸 = +∞) → +∞ ∈ ran (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶))
7969, 70, 78sge0pnfval 44700 . . . . 5 ((𝜑𝐸 = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) = +∞)
80 oveq2 7366 . . . . . 6 (𝐸 = +∞ → (𝐷 +𝑒 𝐸) = (𝐷 +𝑒 +∞))
8180adantl 483 . . . . 5 ((𝜑𝐸 = +∞) → (𝐷 +𝑒 𝐸) = (𝐷 +𝑒 +∞))
8268, 79, 813eqtr4d 2783 . . . 4 ((𝜑𝐸 = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) = (𝐷 +𝑒 𝐸))
8382adantlr 714 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = +∞) ∧ 𝐸 = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) = (𝐷 +𝑒 𝐸))
84 rge0ssre 13379 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
85 ax-resscn 11113 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
8684, 85sstri 3954 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
876a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = +∞) → 0 ∈ ℝ*)
8810a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
8960adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = +∞) → 𝐷 ∈ ℝ*)
9062adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = +∞) → 0 ≤ 𝐷)
91 pnfge 13056 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≤ +∞)
9260, 91syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ≤ +∞)
9392adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = +∞) → 𝐷 ≤ +∞)
9444necon3bi 2967 . . . . . . . . . . 11 𝐷 = +∞ → 𝐷 ≠ +∞)
9594adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = +∞) → 𝐷 ≠ +∞)
9689, 88, 93, 95xrleneltd 43644 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = +∞) → 𝐷 < +∞)
9787, 88, 89, 90, 96elicod 13320 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = +∞) → 𝐷 ∈ (0[,)+∞))
9897adantr 482 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = +∞) ∧ ¬ 𝐸 = +∞) → 𝐷 ∈ (0[,)+∞))
9986, 98sselid 3943 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = +∞) ∧ ¬ 𝐸 = +∞) → 𝐷 ∈ ℂ)
1006a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 = +∞) → 0 ∈ ℝ*)
10110a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 = +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
1023adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 = +∞) → 𝐸 ∈ ℝ*)
10313adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 = +∞) → 0 ≤ 𝐸)
104 pnfge 13056 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸 ∈ ℝ*𝐸 ≤ +∞)
1053, 104syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ≤ +∞)
106105adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 = +∞) → 𝐸 ≤ +∞)
10771necon3bi 2967 . . . . . . . . . . 11 𝐸 = +∞ → 𝐸 ≠ +∞)
108107adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 = +∞) → 𝐸 ≠ +∞)
109102, 101, 106, 108xrleneltd 43644 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 = +∞) → 𝐸 < +∞)
110100, 101, 102, 103, 109elicod 13320 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 = +∞) → 𝐸 ∈ (0[,)+∞))
11186, 110sselid 3943 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 = +∞) → 𝐸 ∈ ℂ)
112111adantlr 714 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = +∞) ∧ ¬ 𝐸 = +∞) → 𝐸 ∈ ℂ)
11399, 112jca 513 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = +∞) ∧ ¬ 𝐸 = +∞) → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ))
11449, 50jca 513 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑊))
115114ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = +∞) ∧ ¬ 𝐸 = +∞) → (𝐴𝑉𝐵𝑊))
116 sge0pr.ab . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
117116ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = +∞) ∧ ¬ 𝐸 = +∞) → 𝐴𝐵)
11822, 35, 113, 115, 117sumpr 15638 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = +∞) ∧ ¬ 𝐸 = +∞) → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (𝐷 + 𝐸))
119 prfi 9269 . . . . . 6 {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
120119a1i 11 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = +∞) ∧ ¬ 𝐸 = +∞) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
12122adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = +∞) ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐷)
12297adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = +∞) ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐷 ∈ (0[,)+∞))
123121, 122eqeltrd 2834 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = +∞) ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
124123ad4ant14 751 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = +∞) ∧ ¬ 𝐸 = +∞) ∧ 𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
125 simp-4l 782 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = +∞) ∧ ¬ 𝐸 = +∞) ∧ 𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐴) → 𝜑)
126 simpllr 775 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = +∞) ∧ ¬ 𝐸 = +∞) ∧ 𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐴) → ¬ 𝐸 = +∞)
12733adantll 713 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = +∞) ∧ ¬ 𝐸 = +∞) ∧ 𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐴) → 𝑘 = 𝐵)
128363adant2 1132 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 = +∞ ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐸)
1291103adant3 1133 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 = +∞ ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐸 ∈ (0[,)+∞))
130128, 129eqeltrd 2834 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 = +∞ ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
131125, 126, 127, 130syl3anc 1372 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = +∞) ∧ ¬ 𝐸 = +∞) ∧ 𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
132124, 131pm2.61dan 812 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = +∞) ∧ ¬ 𝐸 = +∞) ∧ 𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
133120, 132sge0fsummpt 44717 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = +∞) ∧ ¬ 𝐸 = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) = Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶)
13484, 98sselid 3943 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = +∞) ∧ ¬ 𝐸 = +∞) → 𝐷 ∈ ℝ)
13584, 110sselid 3943 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 = +∞) → 𝐸 ∈ ℝ)
136135adantlr 714 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = +∞) ∧ ¬ 𝐸 = +∞) → 𝐸 ∈ ℝ)
137 rexadd 13157 . . . . 5 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (𝐷 +𝑒 𝐸) = (𝐷 + 𝐸))
138134, 136, 137syl2anc 585 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = +∞) ∧ ¬ 𝐸 = +∞) → (𝐷 +𝑒 𝐸) = (𝐷 + 𝐸))
139118, 133, 1383eqtr4d 2783 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = +∞) ∧ ¬ 𝐸 = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) = (𝐷 +𝑒 𝐸))
14083, 139pm2.61dan 812 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐷 = +∞) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) = (𝐷 +𝑒 𝐸))
14159, 140pm2.61dan 812 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) = (𝐷 +𝑒 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  Vcvv 3444  {cpr 4589   class class class wbr 5106  cmpt 5189  ran crn 5635  wf 6493  cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  cc 11054  cr 11055  0cc0 11056   + caddc 11059  +∞cpnf 11191  -∞cmnf 11192  *cxr 11193   < clt 11194  cle 11195   +𝑒 cxad 13036  [,)cico 13272  [,]cicc 13273  Σcsu 15576  Σ^csumge0 44689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-xadd 13039  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577  df-sumge0 44690
This theorem is referenced by:  sge0prle  44728  meadjun  44789  ovnsubadd2lem  44972
  Copyright terms: Public domain W3C validator