Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eliccelicod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliccelicod 44974
Description: A member of a closed interval that is not the upper bound, is a member of the left-closed, right-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
eliccelicod.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
eliccelicod.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
eliccelicod.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
eliccelicod.d (𝜑𝐶𝐵)
Assertion
Ref Expression
eliccelicod (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Proof of Theorem eliccelicod
StepHypRef Expression
1 eliccelicod.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2 eliccelicod.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
3 eliccelicod.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4 eliccxr 13439 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
53, 4syl 17 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
6 iccgelb 13407 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝐶)
71, 2, 3, 6syl3anc 1368 . 2 (𝜑𝐴𝐶)
8 iccleub 13406 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶𝐵)
91, 2, 3, 8syl3anc 1368 . . 3 (𝜑𝐶𝐵)
10 eliccelicod.d . . 3 (𝜑𝐶𝐵)
115, 2, 9, 10xrleneltd 44764 . 2 (𝜑𝐶 < 𝐵)
121, 2, 5, 7, 11elicod 13401 1 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2098  wne 2930   class class class wbr 5144  (class class class)co 7413  *cxr 11272  cle 11274  [,)cico 13353  [,]cicc 13354
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5571  df-po 5585  df-so 5586  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-ico 13357  df-icc 13358
This theorem is referenced by:  carageniuncl  45970
  Copyright terms: Public domain W3C validator