Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eliccelicod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliccelicod 41960
Description: A member of a closed interval that is not the upper bound, is a member of the left-closed, right-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
eliccelicod.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
eliccelicod.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
eliccelicod.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
eliccelicod.d (𝜑𝐶𝐵)
Assertion
Ref Expression
eliccelicod (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Proof of Theorem eliccelicod
StepHypRef Expression
1 eliccelicod.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2 eliccelicod.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
3 eliccelicod.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4 eliccxr 12803 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
53, 4syl 17 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
6 iccgelb 12771 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝐶)
71, 2, 3, 6syl3anc 1368 . 2 (𝜑𝐴𝐶)
8 iccleub 12770 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶𝐵)
91, 2, 3, 8syl3anc 1368 . . 3 (𝜑𝐶𝐵)
10 eliccelicod.d . . 3 (𝜑𝐶𝐵)
115, 2, 9, 10xrleneltd 41747 . 2 (𝜑𝐶 < 𝐵)
121, 2, 5, 7, 11elicod 12765 1 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2115  wne 3007   class class class wbr 5039  (class class class)co 7130  *cxr 10651  cle 10653  [,)cico 12718  [,]cicc 12719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-po 5447  df-so 5448  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-ico 12722  df-icc 12723
This theorem is referenced by:  carageniuncl  42955
  Copyright terms: Public domain W3C validator