Theorem eliccelicod 43027

Description: A member of a closed interval that is not the upper bound, is a member of the left-closed, right-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
eliccelicod.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
eliccelicod.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
eliccelicod.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
eliccelicod.d	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eliccelicod	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Proof of Theorem eliccelicod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliccelicod.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		eliccelicod.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		eliccelicod.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4		eliccxr 13155	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		iccgelb 13123	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
8		iccleub 13122	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
9	1, 2, 3, 8	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)
10		eliccelicod.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
11	5, 2, 9, 10	xrleneltd 42821	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)
12	1, 2, 5, 7, 11	elicod 13117	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5074  (class class class)co 7268  ℝ^*cxr 10996   ≤ cle 10998  [,)cico 13069  [,]cicc 13070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5485  df-po 5499  df-so 5500  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-1st 7821  df-2nd 7822  df-er 8486  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-ico 13073  df-icc 13074

This theorem is referenced by:  carageniuncl  44020