Theorem eliccelicod 45511

Description: A member of a closed interval that is not the upper bound, is a member of the left-closed, right-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
eliccelicod.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
eliccelicod.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
eliccelicod.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
eliccelicod.d	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eliccelicod	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Proof of Theorem eliccelicod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliccelicod.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		eliccelicod.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		eliccelicod.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4		eliccxr 13338	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		iccgelb 13305	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
8		iccleub 13304	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
9	1, 2, 3, 8	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)
10		eliccelicod.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
11	5, 2, 9, 10	xrleneltd 45303	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)
12	1, 2, 5, 7, 11	elicod 13298	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5092  (class class class)co 7349  ℝ^*cxr 11148   ≤ cle 11150  [,)cico 13250  [,]cicc 13251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-ico 13254  df-icc 13255

This theorem is referenced by:  carageniuncl  46504