Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ressioosup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressioosup 44845
Description: If the supremum does not belong to a set of reals, the set is a subset of the unbounded below, right-open interval, with upper bound equal to the supremum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ressioosup.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
ressioosup.s 𝑆 = sup(𝐴, ℝ*, < )
ressioosup.n (𝜑 → ¬ 𝑆𝐴)
ressioosup.i 𝐼 = (-∞(,)𝑆)
Assertion
Ref Expression
ressioosup (𝜑𝐴𝐼)

Proof of Theorem ressioosup
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mnfxr 11275 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
21a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → -∞ ∈ ℝ*)
3 ressioosup.s . . . . . 6 𝑆 = sup(𝐴, ℝ*, < )
4 ressioosup.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
5 ressxr 11262 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℝ*
65a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
74, 6sstrd 3987 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
87adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
98supxrcld 44376 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
103, 9eqeltrid 2831 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑆 ∈ ℝ*)
114adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
12 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
1311, 12sseldd 3978 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
1413mnfltd 13110 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → -∞ < 𝑥)
157sselda 3977 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
16 supxrub 13309 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
178, 12, 16syl2anc 583 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
183a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑆 = sup(𝐴, ℝ*, < ))
1918eqcomd 2732 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = 𝑆)
2017, 19breqtrd 5167 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝑆)
21 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑆𝑥 = 𝑆)
2221eqcomd 2732 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑆𝑆 = 𝑥)
2322adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝑥 = 𝑆) → 𝑆 = 𝑥)
24 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝑥 = 𝑆) → 𝑥𝐴)
2523, 24eqeltrd 2827 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝑥 = 𝑆) → 𝑆𝐴)
2625adantll 711 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑥 = 𝑆) → 𝑆𝐴)
27 ressioosup.n . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 𝑆𝐴)
2827ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑥 = 𝑆) → ¬ 𝑆𝐴)
2926, 28pm2.65da 814 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ¬ 𝑥 = 𝑆)
3029neqned 2941 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝑆)
3115, 10, 20, 30xrleneltd 44610 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 < 𝑆)
322, 10, 13, 14, 31eliood 44788 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆))
33 ressioosup.i . . . 4 𝐼 = (-∞(,)𝑆)
3432, 33eleqtrrdi 2838 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐼)
3534ralrimiva 3140 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝑥𝐼)
36 dfss3 3965 . 2 (𝐴𝐼 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥𝐼)
3735, 36sylibr 233 1 (𝜑𝐴𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3055  wss 3943   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  supcsup 9437  cr 11111  -∞cmnf 11250  *cxr 11251   < clt 11252  cle 11253  (,)cioo 13330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-ioo 13334
This theorem is referenced by:  pimdecfgtioo  46010  pimincfltioo  46011
  Copyright terms: Public domain W3C validator