Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ressioosup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressioosup 41699
Description: If the supremum does not belong to a set of reals, the set is a subset of the unbounded below, right-open interval, with upper bound equal to the supremum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ressioosup.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
ressioosup.s 𝑆 = sup(𝐴, ℝ*, < )
ressioosup.n (𝜑 → ¬ 𝑆𝐴)
ressioosup.i 𝐼 = (-∞(,)𝑆)
Assertion
Ref Expression
ressioosup (𝜑𝐴𝐼)

Proof of Theorem ressioosup
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mnfxr 10690 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
21a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → -∞ ∈ ℝ*)
3 ressioosup.s . . . . . 6 𝑆 = sup(𝐴, ℝ*, < )
4 ressioosup.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
5 ressxr 10677 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℝ*
65a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
74, 6sstrd 3980 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
87adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
98supxrcld 41242 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
103, 9eqeltrid 2921 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑆 ∈ ℝ*)
114adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
12 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
1311, 12sseldd 3971 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
1413mnfltd 12512 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → -∞ < 𝑥)
157sselda 3970 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
16 supxrub 12710 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
178, 12, 16syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
183a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑆 = sup(𝐴, ℝ*, < ))
1918eqcomd 2831 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = 𝑆)
2017, 19breqtrd 5088 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝑆)
21 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑆𝑥 = 𝑆)
2221eqcomd 2831 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑆𝑆 = 𝑥)
2322adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝑥 = 𝑆) → 𝑆 = 𝑥)
24 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝑥 = 𝑆) → 𝑥𝐴)
2523, 24eqeltrd 2917 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝑥 = 𝑆) → 𝑆𝐴)
2625adantll 710 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑥 = 𝑆) → 𝑆𝐴)
27 ressioosup.n . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 𝑆𝐴)
2827ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑥 = 𝑆) → ¬ 𝑆𝐴)
2926, 28pm2.65da 813 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ¬ 𝑥 = 𝑆)
3029neqned 3027 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝑆)
3115, 10, 20, 30xrleneltd 41459 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 < 𝑆)
322, 10, 13, 14, 31eliood 41641 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆))
33 ressioosup.i . . . 4 𝐼 = (-∞(,)𝑆)
3432, 33syl6eleqr 2928 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐼)
3534ralrimiva 3186 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝑥𝐼)
36 dfss3 3959 . 2 (𝐴𝐼 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥𝐼)
3735, 36sylibr 235 1 (𝜑𝐴𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3142  wss 3939   class class class wbr 5062  (class class class)co 7151  supcsup 8896  cr 10528  -∞cmnf 10665  *cxr 10666   < clt 10667  cle 10668  (,)cioo 12731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-po 5472  df-so 5473  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-ioo 12735
This theorem is referenced by:  pimdecfgtioo  42864  pimincfltioo  42865
  Copyright terms: Public domain W3C validator