Theorem ressioosup 46372

Description: If the supremum does not belong to a set of reals, the set is a subset of the unbounded below, right-open interval, with upper bound equal to the supremum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressioosup.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
ressioosup.s	⊢ 𝑆 = sup(𝐴, ℝ*, < )
ressioosup.n	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ 𝐴)
ressioosup.i	⊢ 𝐼 = (-∞(,)𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ressioosup	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐼)

Proof of Theorem ressioosup

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 11293	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -∞ ∈ ℝ*)
3		ressioosup.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = sup(𝐴, ℝ*, < )
4		ressioosup.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
5		ressxr 11280	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
7	4, 6	sstrd 3944	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
8	7	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
9	8	supxrcld 45926	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
10	3, 9	eqeltrid 2866	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ ℝ*)
11	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
12		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
13	11, 12	sseldd 3935	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
14	13	mnfltd 13177	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -∞ < 𝑥)
15	7	sselda 3934	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
16		supxrub 13378	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
17	8, 12, 16	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
18	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 = sup(𝐴, ℝ*, < ))
19	18	eqcomd 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = 𝑆)
20	17, 19	breqtrd 5135	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ 𝑆)
21		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → 𝑥 = 𝑆)
22	21	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → 𝑆 = 𝑥)
23	22	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = 𝑆) → 𝑆 = 𝑥)
24		simpl 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐴)
25	23, 24	eqeltrd 2862	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = 𝑆) → 𝑆 ∈ 𝐴)
26	25	adantll 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝑆) → 𝑆 ∈ 𝐴)
27		ressioosup.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ 𝐴)
28	27	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝑆) → ¬ 𝑆 ∈ 𝐴)
29	26, 28	pm2.65da 829	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 = 𝑆)
30	29	neqned 2964	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ 𝑆)
31	15, 10, 20, 30	xrleneltd 46140	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 < 𝑆)
32	2, 10, 13, 14, 31	eliood 46315	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆))
33		ressioosup.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (-∞(,)𝑆)
34	32, 33	eleqtrrdi 2873	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐼)
35	34	ralrimiva 3156	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐼)
36		dfss3 3923	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐼 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐼)
37	35, 36	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐼)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5107  (class class class)co 7416  supcsup 9413  ℝcr 11126  -∞cmnf 11268  ℝ^*cxr 11269   < clt 11270   ≤ cle 11271  (,)cioo 13400

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-ioo 13404

This theorem is used by:  pimdecfgtioo  47532  pimincfltioo  47533