Theorem ressioosup 45473

Description: If the supremum does not belong to a set of reals, the set is a subset of the unbounded below, right-open interval, with upper bound equal to the supremum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressioosup.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
ressioosup.s	⊢ 𝑆 = sup(𝐴, ℝ*, < )
ressioosup.n	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ 𝐴)
ressioosup.i	⊢ 𝐼 = (-∞(,)𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ressioosup	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐼)

Proof of Theorem ressioosup

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 11347	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -∞ ∈ ℝ*)
3		ressioosup.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = sup(𝐴, ℝ*, < )
4		ressioosup.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
5		ressxr 11334	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
7	4, 6	sstrd 4019	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
8	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
9	8	supxrcld 45009	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
10	3, 9	eqeltrid 2848	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ ℝ*)
11	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
12		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
13	11, 12	sseldd 4009	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
14	13	mnfltd 13187	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -∞ < 𝑥)
15	7	sselda 4008	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
16		supxrub 13386	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
17	8, 12, 16	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
18	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 = sup(𝐴, ℝ*, < ))
19	18	eqcomd 2746	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = 𝑆)
20	17, 19	breqtrd 5192	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ 𝑆)
21		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → 𝑥 = 𝑆)
22	21	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → 𝑆 = 𝑥)
23	22	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = 𝑆) → 𝑆 = 𝑥)
24		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐴)
25	23, 24	eqeltrd 2844	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = 𝑆) → 𝑆 ∈ 𝐴)
26	25	adantll 713	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝑆) → 𝑆 ∈ 𝐴)
27		ressioosup.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ 𝐴)
28	27	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝑆) → ¬ 𝑆 ∈ 𝐴)
29	26, 28	pm2.65da 816	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 = 𝑆)
30	29	neqned 2953	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ 𝑆)
31	15, 10, 20, 30	xrleneltd 45238	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 < 𝑆)
32	2, 10, 13, 14, 31	eliood 45416	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆))
33		ressioosup.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (-∞(,)𝑆)
34	32, 33	eleqtrrdi 2855	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐼)
35	34	ralrimiva 3152	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐼)
36		dfss3 3997	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐼 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐼)
37	35, 36	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐼)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  supcsup 9509  ℝcr 11183  -∞cmnf 11322  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325  (,)cioo 13407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-ioo 13411

This theorem is referenced by:  pimdecfgtioo  46638  pimincfltioo  46639