Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ressioosup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressioosup 44727
Description: If the supremum does not belong to a set of reals, the set is a subset of the unbounded below, right-open interval, with upper bound equal to the supremum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ressioosup.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
ressioosup.s 𝑆 = sup(𝐴, ℝ*, < )
ressioosup.n (𝜑 → ¬ 𝑆𝐴)
ressioosup.i 𝐼 = (-∞(,)𝑆)
Assertion
Ref Expression
ressioosup (𝜑𝐴𝐼)

Proof of Theorem ressioosup
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mnfxr 11278 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
21a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → -∞ ∈ ℝ*)
3 ressioosup.s . . . . . 6 𝑆 = sup(𝐴, ℝ*, < )
4 ressioosup.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
5 ressxr 11265 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℝ*
65a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
74, 6sstrd 3992 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
87adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
98supxrcld 44258 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
103, 9eqeltrid 2836 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑆 ∈ ℝ*)
114adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
12 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
1311, 12sseldd 3983 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
1413mnfltd 13111 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → -∞ < 𝑥)
157sselda 3982 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
16 supxrub 13310 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
178, 12, 16syl2anc 583 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
183a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑆 = sup(𝐴, ℝ*, < ))
1918eqcomd 2737 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = 𝑆)
2017, 19breqtrd 5174 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝑆)
21 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑆𝑥 = 𝑆)
2221eqcomd 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑆𝑆 = 𝑥)
2322adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝑥 = 𝑆) → 𝑆 = 𝑥)
24 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝑥 = 𝑆) → 𝑥𝐴)
2523, 24eqeltrd 2832 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝑥 = 𝑆) → 𝑆𝐴)
2625adantll 711 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑥 = 𝑆) → 𝑆𝐴)
27 ressioosup.n . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 𝑆𝐴)
2827ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑥 = 𝑆) → ¬ 𝑆𝐴)
2926, 28pm2.65da 814 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ¬ 𝑥 = 𝑆)
3029neqned 2946 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝑆)
3115, 10, 20, 30xrleneltd 44492 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 < 𝑆)
322, 10, 13, 14, 31eliood 44670 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆))
33 ressioosup.i . . . 4 𝐼 = (-∞(,)𝑆)
3432, 33eleqtrrdi 2843 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐼)
3534ralrimiva 3145 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝑥𝐼)
36 dfss3 3970 . 2 (𝐴𝐼 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥𝐼)
3735, 36sylibr 233 1 (𝜑𝐴𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  wss 3948   class class class wbr 5148  (class class class)co 7412  supcsup 9441  cr 11115  -∞cmnf 11253  *cxr 11254   < clt 11255  cle 11256  (,)cioo 13331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9443  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-ioo 13335
This theorem is referenced by:  pimdecfgtioo  45892  pimincfltioo  45893
  Copyright terms: Public domain W3C validator