Theorem ge0xrre 40551

Description: A nonnegative extended real that is not +∞ is a real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ge0xrre	⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem ge0xrre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rge0ssre 12577	. 2 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2		0xr 10410	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 0 ∈ ℝ*)
4		pnfxr 10417	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
6		eliccxr 12555	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
7	6	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 0 ∈ ℝ*)
9	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → +∞ ∈ ℝ*)
10		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
11		iccgelb 12525	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐴)
12	8, 9, 10, 11	syl3anc 1494	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝐴)
13	12	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 0 ≤ 𝐴)
14		pnfge 12257	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)
15	6, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ≤ +∞)
16	15	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ≤ +∞)
17		simpr 479	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
18	7, 5, 16, 17	xrleneltd 40334	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 < +∞)
19	3, 5, 7, 13, 18	elicod 12519	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
20	1, 19	sseldi 3825	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999   class class class wbr 4875  (class class class)co 6910  ℝcr 10258  0cc0 10259  +∞cpnf 10395  ℝ^*cxr 10397   ≤ cle 10399  [,)cico 12472  [,]cicc 12473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-addrcl 10320  ax-rnegex 10330  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-po 5265  df-so 5266  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-ico 12476  df-icc 12477

This theorem is referenced by:  ge0lere  40552  ovolsplit  40997  sge0tsms  41386  sge0cl  41387  sge0isum  41433  sge0xaddlem1  41439  voliunsge0lem  41478  sge0hsphoire  41595  hoidmvlelem1  41601  hoidmvlelem4  41604  hspmbl  41635