Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ge0xrre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ge0xrre 44945
Description: A nonnegative extended real that is not +∞ is a real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
ge0xrre ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem ge0xrre
StepHypRef Expression
1 rge0ssre 13473 . 2 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2 0xr 11299 . . . 4 0 ∈ ℝ*
32a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 0 ∈ ℝ*)
4 pnfxr 11306 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
54a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
6 eliccxr 13452 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
76adantr 479 . . 3 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
82a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 0 ∈ ℝ*)
94a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → +∞ ∈ ℝ*)
10 id 22 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
11 iccgelb 13420 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐴)
128, 9, 10, 11syl3anc 1368 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝐴)
1312adantr 479 . . 3 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 0 ≤ 𝐴)
14 pnfge 13150 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≤ +∞)
156, 14syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ≤ +∞)
1615adantr 479 . . . 4 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ≤ +∞)
17 simpr 483 . . . 4 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
187, 5, 16, 17xrleneltd 44734 . . 3 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 < +∞)
193, 5, 7, 13, 18elicod 13414 . 2 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
201, 19sselid 3980 1 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wcel 2098  wne 2937   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  cr 11145  0cc0 11146  +∞cpnf 11283  *cxr 11285  cle 11287  [,)cico 13366  [,]cicc 13367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-addrcl 11207  ax-rnegex 11217  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-ico 13370  df-icc 13371
This theorem is referenced by:  ge0lere  44946  ovolsplit  45405  sge0tsms  45797  sge0cl  45798  sge0isum  45844  sge0xaddlem1  45850  voliunsge0lem  45889  sge0hsphoire  46006  hoidmvlelem1  46012  hoidmvlelem4  46015  hspmbl  46046
  Copyright terms: Public domain W3C validator