Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ge0xrre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ge0xrre 45544
Description: A nonnegative extended real that is not +∞ is a real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
ge0xrre ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem ge0xrre
StepHypRef Expression
1 rge0ssre 13496 . 2 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2 0xr 11308 . . . 4 0 ∈ ℝ*
32a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 0 ∈ ℝ*)
4 pnfxr 11315 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
54a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
6 eliccxr 13475 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
76adantr 480 . . 3 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
82a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 0 ∈ ℝ*)
94a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → +∞ ∈ ℝ*)
10 id 22 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
11 iccgelb 13443 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐴)
128, 9, 10, 11syl3anc 1373 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝐴)
1312adantr 480 . . 3 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 0 ≤ 𝐴)
14 pnfge 13172 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≤ +∞)
156, 14syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ≤ +∞)
1615adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ≤ +∞)
17 simpr 484 . . . 4 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
187, 5, 16, 17xrleneltd 45334 . . 3 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 < +∞)
193, 5, 7, 13, 18elicod 13437 . 2 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
201, 19sselid 3981 1 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  +∞cpnf 11292  *cxr 11294  cle 11296  [,)cico 13389  [,]cicc 13390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-addrcl 11216  ax-rnegex 11226  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-ico 13393  df-icc 13394
This theorem is referenced by:  ge0lere  45545  ovolsplit  46003  sge0tsms  46395  sge0cl  46396  sge0isum  46442  sge0xaddlem1  46448  voliunsge0lem  46487  sge0hsphoire  46604  hoidmvlelem1  46610  hoidmvlelem4  46613  hspmbl  46644
  Copyright terms: Public domain W3C validator