Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ge0xrre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ge0xrre 44907
Description: A nonnegative extended real that is not +∞ is a real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
ge0xrre ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem ge0xrre
StepHypRef Expression
1 rge0ssre 13460 . 2 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2 0xr 11286 . . . 4 0 ∈ ℝ*
32a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 0 ∈ ℝ*)
4 pnfxr 11293 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
54a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
6 eliccxr 13439 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
76adantr 480 . . 3 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
82a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 0 ∈ ℝ*)
94a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → +∞ ∈ ℝ*)
10 id 22 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
11 iccgelb 13407 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐴)
128, 9, 10, 11syl3anc 1369 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝐴)
1312adantr 480 . . 3 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 0 ≤ 𝐴)
14 pnfge 13137 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≤ +∞)
156, 14syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ≤ +∞)
1615adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ≤ +∞)
17 simpr 484 . . . 4 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
187, 5, 16, 17xrleneltd 44696 . . 3 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 < +∞)
193, 5, 7, 13, 18elicod 13401 . 2 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
201, 19sselid 3977 1 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2099  wne 2936   class class class wbr 5143  (class class class)co 7415  cr 11132  0cc0 11133  +∞cpnf 11270  *cxr 11272  cle 11274  [,)cico 13353  [,]cicc 13354
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-addrcl 11194  ax-rnegex 11204  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5571  df-po 5585  df-so 5586  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-ico 13357  df-icc 13358
This theorem is referenced by:  ge0lere  44908  ovolsplit  45367  sge0tsms  45759  sge0cl  45760  sge0isum  45806  sge0xaddlem1  45812  voliunsge0lem  45851  sge0hsphoire  45968  hoidmvlelem1  45974  hoidmvlelem4  45977  hspmbl  46008
  Copyright terms: Public domain W3C validator