Theorem ge0xrre 46816

Description: A nonnegative extended real that is not +∞ is a real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ge0xrre	⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem ge0xrre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rge0ssre 13627	. 2 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2		0xr 11395	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 0 ∈ ℝ*)
4		pnfxr 11402	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
6		eliccxr 13606	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 0 ∈ ℝ*)
9	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → +∞ ∈ ℝ*)
10		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
11		iccgelb 13573	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐴)
12	8, 9, 10, 11	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝐴)
13	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 0 ≤ 𝐴)
14		pnfge 13299	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)
15	6, 14	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ≤ +∞)
16	15	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ≤ +∞)
17		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
18	7, 5, 16, 17	xrleneltd 46608	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 < +∞)
19	3, 5, 7, 13, 18	elicod 13566	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
20	1, 19	sselid 3911	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  0cc0 11239  +∞cpnf 11379  ℝ^*cxr 11381   ≤ cle 11383  [,)cico 13518  [,]cicc 13519

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-addrcl 11300  ax-rnegex 11310  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-ico 13522  df-icc 13523

This theorem is used by:  ge0lere  46817  ovolsplit  47271  sge0tsms  47663  sge0cl  47664  sge0isum  47710  sge0xaddlem1  47716  voliunsge0lem  47755  sge0hsphoire  47872  hoidmvlelem1  47878  hoidmvlelem4  47881  hspmbl  47912