Theorem ge0xrre 44230

Description: A nonnegative extended real that is not +∞ is a real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ge0xrre	⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem ge0xrre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rge0ssre 13429	. 2 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2		0xr 11257	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 0 ∈ ℝ*)
4		pnfxr 11264	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
6		eliccxr 13408	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
7	6	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 0 ∈ ℝ*)
9	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → +∞ ∈ ℝ*)
10		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
11		iccgelb 13376	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐴)
12	8, 9, 10, 11	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝐴)
13	12	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 0 ≤ 𝐴)
14		pnfge 13106	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)
15	6, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ≤ +∞)
16	15	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ≤ +∞)
17		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
18	7, 5, 16, 17	xrleneltd 44019	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 < +∞)
19	3, 5, 7, 13, 18	elicod 13370	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
20	1, 19	sselid 3979	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   class class class wbr 5147  (class class class)co 7405  ℝcr 11105  0cc0 11106  +∞cpnf 11241  ℝ^*cxr 11243   ≤ cle 11245  [,)cico 13322  [,]cicc 13323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-addrcl 11167  ax-rnegex 11177  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-ico 13326  df-icc 13327

This theorem is referenced by:  ge0lere  44231  ovolsplit  44690  sge0tsms  45082  sge0cl  45083  sge0isum  45129  sge0xaddlem1  45135  voliunsge0lem  45174  sge0hsphoire  45291  hoidmvlelem1  45297  hoidmvlelem4  45300  hspmbl  45331