Theorem ge0xrre 46279

Description: A nonnegative extended real that is not +∞ is a real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ge0xrre	⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem ge0xrre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rge0ssre 13493	. 2 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2		0xr 11266	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 0 ∈ ℝ*)
4		pnfxr 11273	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
6		eliccxr 13472	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 0 ∈ ℝ*)
9	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → +∞ ∈ ℝ*)
10		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
11		iccgelb 13439	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐴)
12	8, 9, 10, 11	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝐴)
13	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 0 ≤ 𝐴)
14		pnfge 13165	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)
15	6, 14	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ≤ +∞)
16	15	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ≤ +∞)
17		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
18	7, 5, 16, 17	xrleneltd 46071	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 < +∞)
19	3, 5, 7, 13, 18	elicod 13432	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
20	1, 19	sselid 3938	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961   class class class wbr 5112  (class class class)co 7416  ℝcr 11109  0cc0 11110  +∞cpnf 11250  ℝ^*cxr 11252   ≤ cle 11254  [,)cico 13384  [,]cicc 13385

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-addrcl 11171  ax-rnegex 11181  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4876  df-iun 4961  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-id 5559  df-po 5572  df-so 5573  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-ico 13388  df-icc 13389

This theorem is used by:  ge0lere  46280  ovolsplit  46734  sge0tsms  47126  sge0cl  47127  sge0isum  47173  sge0xaddlem1  47179  voliunsge0lem  47218  sge0hsphoire  47335  hoidmvlelem1  47341  hoidmvlelem4  47344  hspmbl  47375