Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ge0xrre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ge0xrre 41799
Description: A nonnegative extended real that is not +∞ is a real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
ge0xrre ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem ge0xrre
StepHypRef Expression
1 rge0ssre 12838 . 2 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2 0xr 10682 . . . 4 0 ∈ ℝ*
32a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 0 ∈ ℝ*)
4 pnfxr 10689 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
54a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
6 eliccxr 12817 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
76adantr 483 . . 3 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
82a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 0 ∈ ℝ*)
94a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → +∞ ∈ ℝ*)
10 id 22 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
11 iccgelb 12787 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐴)
128, 9, 10, 11syl3anc 1367 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝐴)
1312adantr 483 . . 3 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 0 ≤ 𝐴)
14 pnfge 12519 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≤ +∞)
156, 14syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ≤ +∞)
1615adantr 483 . . . 4 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ≤ +∞)
17 simpr 487 . . . 4 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
187, 5, 16, 17xrleneltd 41583 . . 3 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 < +∞)
193, 5, 7, 13, 18elicod 12781 . 2 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
201, 19sseldi 3965 1 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  wcel 2110  wne 3016   class class class wbr 5059  (class class class)co 7150  cr 10530  0cc0 10531  +∞cpnf 10666  *cxr 10668  cle 10670  [,)cico 12734  [,]cicc 12735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-addrcl 10592  ax-rnegex 10602  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-po 5469  df-so 5470  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-ico 12738  df-icc 12739
This theorem is referenced by:  ge0lere  41800  ovolsplit  42266  sge0tsms  42655  sge0cl  42656  sge0isum  42702  sge0xaddlem1  42708  voliunsge0lem  42747  sge0hsphoire  42864  hoidmvlelem1  42870  hoidmvlelem4  42873  hspmbl  42904
  Copyright terms: Public domain W3C validator