Theorem ge0xrre 45449

Description: A nonnegative extended real that is not +∞ is a real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ge0xrre	⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem ge0xrre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rge0ssre 13516	. 2 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2		0xr 11337	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 0 ∈ ℝ*)
4		pnfxr 11344	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
6		eliccxr 13495	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 0 ∈ ℝ*)
9	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → +∞ ∈ ℝ*)
10		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
11		iccgelb 13463	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐴)
12	8, 9, 10, 11	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝐴)
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 0 ≤ 𝐴)
14		pnfge 13193	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)
15	6, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ≤ +∞)
16	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ≤ +∞)
17		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
18	7, 5, 16, 17	xrleneltd 45238	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 < +∞)
19	3, 5, 7, 13, 18	elicod 13457	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
20	1, 19	sselid 4006	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184  +∞cpnf 11321  ℝ^*cxr 11323   ≤ cle 11325  [,)cico 13409  [,]cicc 13410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-addrcl 11245  ax-rnegex 11255  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-ico 13413  df-icc 13414

This theorem is referenced by:  ge0lere  45450  ovolsplit  45909  sge0tsms  46301  sge0cl  46302  sge0isum  46348  sge0xaddlem1  46354  voliunsge0lem  46393  sge0hsphoire  46510  hoidmvlelem1  46516  hoidmvlelem4  46519  hspmbl  46550