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Theorem infleinf 41991
Description: If any element of 𝐵 can be approximated from above by members of 𝐴, then the infimum of 𝐴 is less than or equal to the infimum of 𝐵. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
infleinf.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
infleinf.b (𝜑𝐵 ⊆ ℝ*)
infleinf.c ((𝜑𝑥𝐵𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 𝑦))
Assertion
Ref Expression
infleinf (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem infleinf
Dummy variables 𝑟 𝑤 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 infleinf.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
2 infxrcl 12718 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
4 pnfge 12517 . . . . 5 (inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ +∞)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ +∞)
65adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐵 = ∅) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ +∞)
7 infeq1 8928 . . . . . 6 (𝐵 = ∅ → inf(𝐵, ℝ*, < ) = inf(∅, ℝ*, < ))
8 xrinf0 12723 . . . . . . 7 inf(∅, ℝ*, < ) = +∞
98a1i 11 . . . . . 6 (𝐵 = ∅ → inf(∅, ℝ*, < ) = +∞)
107, 9eqtrd 2836 . . . . 5 (𝐵 = ∅ → inf(𝐵, ℝ*, < ) = +∞)
1110eqcomd 2807 . . . 4 (𝐵 = ∅ → +∞ = inf(𝐵, ℝ*, < ))
1211adantl 485 . . 3 ((𝜑𝐵 = ∅) → +∞ = inf(𝐵, ℝ*, < ))
136, 12breqtrd 5059 . 2 ((𝜑𝐵 = ∅) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ))
14 neqne 2998 . . . 4 𝐵 = ∅ → 𝐵 ≠ ∅)
1514adantl 485 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = ∅) → 𝐵 ≠ ∅)
163adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
17 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 ∈ ℝ → 𝑟 ∈ ℝ)
18 2re 11703 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 ∈ ℝ → 2 ∈ ℝ)
2017, 19resubcld 11061 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 ∈ ℝ → (𝑟 − 2) ∈ ℝ)
2120adantl 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑟 − 2) ∈ ℝ)
22 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞) → inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞)
23 infleinf.b . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ*)
24 infxrunb2 41987 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ⊆ ℝ* → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑥𝐵 𝑥 < 𝑦 ↔ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑥𝐵 𝑥 < 𝑦 ↔ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞))
2625adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞) → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑥𝐵 𝑥 < 𝑦 ↔ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞))
2722, 26mpbird 260 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑥𝐵 𝑥 < 𝑦)
2827adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑥𝐵 𝑥 < 𝑦)
29 breq2 5037 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑟 − 2) → (𝑥 < 𝑦𝑥 < (𝑟 − 2)))
3029rexbidv 3259 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑟 − 2) → (∃𝑥𝐵 𝑥 < 𝑦 ↔ ∃𝑥𝐵 𝑥 < (𝑟 − 2)))
3130rspcva 3572 . . . . . . . . . . 11 (((𝑟 − 2) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑥𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑥𝐵 𝑥 < (𝑟 − 2))
3221, 28, 31syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ∃𝑥𝐵 𝑥 < (𝑟 − 2))
33 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝜑)
34 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
35 1rp 12385 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℝ+
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐵) → 1 ∈ ℝ+)
37 1ex 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ V
38 eleq1 2880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 1 → (𝑦 ∈ ℝ+ ↔ 1 ∈ ℝ+))
39383anbi3d 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 1 → ((𝜑𝑥𝐵𝑦 ∈ ℝ+) ↔ (𝜑𝑥𝐵 ∧ 1 ∈ ℝ+)))
40 oveq2 7147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 1 → (𝑥 +𝑒 𝑦) = (𝑥 +𝑒 1))
4140breq2d 5045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 1 → (𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 𝑦) ↔ 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 1)))
4241rexbidv 3259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 1 → (∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 𝑦) ↔ ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 1)))
4339, 42imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 1 → (((𝜑𝑥𝐵𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 𝑦)) ↔ ((𝜑𝑥𝐵 ∧ 1 ∈ ℝ+) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 1))))
44 infleinf.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐵𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 𝑦))
4537, 43, 44vtocl 3510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ 1 ∈ ℝ+) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 1))
4633, 34, 36, 45syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐵) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 1))
4746adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 1))
48473adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵𝑥 < (𝑟 − 2)) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 1))
49 simp1l 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵𝑥 < (𝑟 − 2)) → 𝜑)
5049ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵𝑥 < (𝑟 − 2)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 1)) → 𝜑)
5150, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵𝑥 < (𝑟 − 2)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 1)) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
5250, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵𝑥 < (𝑟 − 2)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 1)) → 𝐵 ⊆ ℝ*)
53 simp1r 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵𝑥 < (𝑟 − 2)) → 𝑟 ∈ ℝ)
5453ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵𝑥 < (𝑟 − 2)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 1)) → 𝑟 ∈ ℝ)
55 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵𝑥 < (𝑟 − 2)) → 𝑥𝐵)
5655ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵𝑥 < (𝑟 − 2)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 1)) → 𝑥𝐵)
57 simpll3 1211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵𝑥 < (𝑟 − 2)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 1)) → 𝑥 < (𝑟 − 2))
58 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵𝑥 < (𝑟 − 2)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 1)) → 𝑧𝐴)
59 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵𝑥 < (𝑟 − 2)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 1)) → 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 1))
6051, 52, 54, 56, 57, 58, 59infleinflem2 41990 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵𝑥 < (𝑟 − 2)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 1)) → 𝑧 < 𝑟)
6160ex 416 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵𝑥 < (𝑟 − 2)) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 1) → 𝑧 < 𝑟))
6261reximdva 3236 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵𝑥 < (𝑟 − 2)) → (∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 1) → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑟))
6348, 62mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵𝑥 < (𝑟 − 2)) → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑟)
64633exp 1116 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥𝐵 → (𝑥 < (𝑟 − 2) → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑟)))
6564adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥𝐵 → (𝑥 < (𝑟 − 2) → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑟)))
6665rexlimdv 3245 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (∃𝑥𝐵 𝑥 < (𝑟 − 2) → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑟))
6732, 66mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑟)
6867ralrimiva 3152 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞) → ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑟)
69 infxrunb2 41987 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑟 ↔ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞))
701, 69syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑟 ↔ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞))
7170adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞) → (∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑟 ↔ inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞))
7268, 71mpbid 235 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞) → inf(𝐴, ℝ*, < ) = -∞)
7372, 22eqtr4d 2839 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞) → inf(𝐴, ℝ*, < ) = inf(𝐵, ℝ*, < ))
7416, 73xreqled 41949 . . . . 5 ((𝜑 ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ))
7574adantlr 714 . . . 4 (((𝜑𝐵 ≠ ∅) ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ))
76 mnfxr 10691 . . . . . . . 8 -∞ ∈ ℝ*
7776a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
7877ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ≠ ∅) ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞) → -∞ ∈ ℝ*)
79 infxrcl 12718 . . . . . . . 8 (𝐵 ⊆ ℝ* → inf(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8023, 79syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → inf(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8180ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ≠ ∅) ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞) → inf(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
82 mnfle 12521 . . . . . . 7 (inf(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → -∞ ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ))
8381, 82syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ≠ ∅) ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞) → -∞ ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ))
84 neqne 2998 . . . . . . . 8 (¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞ → inf(𝐵, ℝ*, < ) ≠ -∞)
8584necomd 3045 . . . . . . 7 (¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞ → -∞ ≠ inf(𝐵, ℝ*, < ))
8685adantl 485 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ≠ ∅) ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞) → -∞ ≠ inf(𝐵, ℝ*, < ))
8778, 81, 83, 86xrleneltd 41942 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ≠ ∅) ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞) → -∞ < inf(𝐵, ℝ*, < ))
883ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ≠ ∅) ∧ -∞ < inf(𝐵, ℝ*, < )) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8980ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ≠ ∅) ∧ -∞ < inf(𝐵, ℝ*, < )) → inf(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
90 nfv 1915 . . . . . . . 8 𝑏(((𝜑𝐵 ≠ ∅) ∧ -∞ < inf(𝐵, ℝ*, < )) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)
9123ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐵 ≠ ∅) ∧ -∞ < inf(𝐵, ℝ*, < )) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝐵 ⊆ ℝ*)
92 simpllr 775 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐵 ≠ ∅) ∧ -∞ < inf(𝐵, ℝ*, < )) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≠ ∅)
93 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ -∞ < inf(𝐵, ℝ*, < )) → -∞ < inf(𝐵, ℝ*, < ))
94 infxrbnd2 41988 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ⊆ ℝ* → (∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 𝑏𝑥 ↔ -∞ < inf(𝐵, ℝ*, < )))
9523, 94syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 𝑏𝑥 ↔ -∞ < inf(𝐵, ℝ*, < )))
9695adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ -∞ < inf(𝐵, ℝ*, < )) → (∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 𝑏𝑥 ↔ -∞ < inf(𝐵, ℝ*, < )))
9793, 96mpbird 260 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ -∞ < inf(𝐵, ℝ*, < )) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 𝑏𝑥)
9897ad4ant13 750 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐵 ≠ ∅) ∧ -∞ < inf(𝐵, ℝ*, < )) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥𝐵 𝑏𝑥)
99 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐵 ≠ ∅) ∧ -∞ < inf(𝐵, ℝ*, < )) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+)
10099rphalfcld 12435 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐵 ≠ ∅) ∧ -∞ < inf(𝐵, ℝ*, < )) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)
10190, 91, 92, 98, 100infrpge 41970 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐵 ≠ ∅) ∧ -∞ < inf(𝐵, ℝ*, < )) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑥𝐵 𝑥 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑤 / 2)))
102 simpll 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐵) → 𝜑)
103 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
104 rphalfcl 12408 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)
105104ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)
106 ovex 7172 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 / 2) ∈ V
107 eleq1 2880 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑤 / 2) → (𝑦 ∈ ℝ+ ↔ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+))
1081073anbi3d 1439 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑤 / 2) → ((𝜑𝑥𝐵𝑦 ∈ ℝ+) ↔ (𝜑𝑥𝐵 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)))
109 oveq2 7147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑤 / 2) → (𝑥 +𝑒 𝑦) = (𝑥 +𝑒 (𝑤 / 2)))
110109breq2d 5045 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑤 / 2) → (𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 𝑦) ↔ 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 (𝑤 / 2))))
111110rexbidv 3259 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑤 / 2) → (∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 𝑦) ↔ ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 (𝑤 / 2))))
112108, 111imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑤 / 2) → (((𝜑𝑥𝐵𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 𝑦)) ↔ ((𝜑𝑥𝐵 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 (𝑤 / 2)))))
113106, 112, 44vtocl 3510 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 (𝑤 / 2)))
114102, 103, 105, 113syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐵) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 (𝑤 / 2)))
1151143adant3 1129 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐵𝑥 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑤 / 2))) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 (𝑤 / 2)))
116 simp11l 1281 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐵𝑥 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ 𝑧𝐴𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝜑)
117116, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐵𝑥 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ 𝑧𝐴𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
118116, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐵𝑥 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ 𝑧𝐴𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝐵 ⊆ ℝ*)
119 simp11 1200 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐵𝑥 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ 𝑧𝐴𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝜑𝑤 ∈ ℝ+))
120119simprd 499 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐵𝑥 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ 𝑧𝐴𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝑤 ∈ ℝ+)
121 simp12 1201 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐵𝑥 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ 𝑧𝐴𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝑥𝐵)
122 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐵𝑥 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝑥 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑤 / 2)))
1231223ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐵𝑥 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ 𝑧𝐴𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝑥 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑤 / 2)))
124 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐵𝑥 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ 𝑧𝐴𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝑧𝐴)
125 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐵𝑥 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ 𝑧𝐴𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 (𝑤 / 2)))
126117, 118, 120, 121, 123, 124, 125infleinflem1 41989 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐵𝑥 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ 𝑧𝐴𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 (𝑤 / 2))) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑤))
1271263exp 1116 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐵𝑥 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑧𝐴 → (𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 (𝑤 / 2)) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑤))))
128127rexlimdv 3245 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐵𝑥 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑤 / 2))) → (∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑥 +𝑒 (𝑤 / 2)) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑤)))
129115, 128mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝐵𝑥 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑤 / 2))) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑤))
1301293exp 1116 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑥𝐵 → (𝑥 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑤 / 2)) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑤))))
131130rexlimdv 3245 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (∃𝑥𝐵 𝑥 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑤 / 2)) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑤)))
132131ad4ant14 751 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐵 ≠ ∅) ∧ -∞ < inf(𝐵, ℝ*, < )) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∃𝑥𝐵 𝑥 ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 (𝑤 / 2)) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑤)))
133101, 132mpd 15 . . . . . 6 ((((𝜑𝐵 ≠ ∅) ∧ -∞ < inf(𝐵, ℝ*, < )) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ (inf(𝐵, ℝ*, < ) +𝑒 𝑤))
13488, 89, 133xrlexaddrp 41971 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ≠ ∅) ∧ -∞ < inf(𝐵, ℝ*, < )) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ))
13587, 134syldan 594 . . . 4 (((𝜑𝐵 ≠ ∅) ∧ ¬ inf(𝐵, ℝ*, < ) = -∞) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ))
13675, 135pm2.61dan 812 . . 3 ((𝜑𝐵 ≠ ∅) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ))
13715, 136syldan 594 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = ∅) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ))
13813, 137pm2.61dan 812 1 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  wral 3109  wrex 3110  wss 3884  c0 4246   class class class wbr 5033  (class class class)co 7139  infcinf 8893  cr 10529  1c1 10531  +∞cpnf 10665  -∞cmnf 10666  *cxr 10667   < clt 10668  cle 10669  cmin 10863   / cdiv 11290  2c2 11684  +crp 12381   +𝑒 cxad 12497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500
This theorem is referenced by:  ovolval5lem3  43280
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