MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrltlen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrltlen 12538
Description: 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrltlen ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))

Proof of Theorem xrltlen
StepHypRef Expression
1 xrlttri 12531 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴)))
2 ioran 981 . . . 4 (¬ (𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴) ↔ (¬ 𝐴 = 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
32biancomi 466 . . 3 (¬ (𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴) ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵))
41, 3syl6bb 290 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵)))
5 xrlenlt 10706 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
6 nesym 3070 . . . 4 (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 = 𝐵)
76a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 = 𝐵))
85, 7anbi12d 633 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵𝐴) ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵)))
94, 8bitr4d 285 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014   class class class wbr 5053  *cxr 10674   < clt 10675  cle 10676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-po 5462  df-so 5463  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-er 8287  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681
This theorem is referenced by:  dflt2  12540  hashgt0  13756
  Copyright terms: Public domain W3C validator