MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dflt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dflt2 13190
Description: Alternative definition of 'less than' in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
dflt2 < = ( ≤ ∖ I )

Proof of Theorem dflt2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrel 11323 . 2 Rel <
2 difss 4136 . . 3 ( ≤ ∖ I ) ⊆ ≤
3 lerel 11325 . . 3 Rel ≤
4 relss 5791 . . 3 (( ≤ ∖ I ) ⊆ ≤ → (Rel ≤ → Rel ( ≤ ∖ I )))
52, 3, 4mp2 9 . 2 Rel ( ≤ ∖ I )
6 ltrelxr 11322 . . . 4 < ⊆ (ℝ* × ℝ*)
76brel 5750 . . 3 (𝑥 < 𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
8 lerelxr 11324 . . . . 5 ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
92, 8sstri 3993 . . . 4 ( ≤ ∖ I ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
109brel 5750 . . 3 (𝑥( ≤ ∖ I )𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
11 xrltlen 13188 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥𝑦𝑦𝑥)))
12 equcom 2017 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥𝑥 = 𝑦)
13 vex 3484 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
1413ideq 5863 . . . . . . . 8 (𝑥 I 𝑦𝑥 = 𝑦)
1512, 14bitr4i 278 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥𝑥 I 𝑦)
1615necon3abii 2987 . . . . . 6 (𝑦𝑥 ↔ ¬ 𝑥 I 𝑦)
1716anbi2i 623 . . . . 5 ((𝑥𝑦𝑦𝑥) ↔ (𝑥𝑦 ∧ ¬ 𝑥 I 𝑦))
1811, 17bitrdi 287 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥𝑦 ∧ ¬ 𝑥 I 𝑦)))
19 brdif 5196 . . . 4 (𝑥( ≤ ∖ I )𝑦 ↔ (𝑥𝑦 ∧ ¬ 𝑥 I 𝑦))
2018, 19bitr4di 289 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦𝑥( ≤ ∖ I )𝑦))
217, 10, 20pm5.21nii 378 . 2 (𝑥 < 𝑦𝑥( ≤ ∖ I )𝑦)
221, 5, 21eqbrriv 5801 1 < = ( ≤ ∖ I )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cdif 3948  wss 3951   class class class wbr 5143   I cid 5577   × cxp 5683  Rel wrel 5690  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301
This theorem is referenced by:  relt  21633  xrslt  33009
  Copyright terms: Public domain W3C validator