MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dflt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dflt2 12187
Description: Alternative definition of 'less than' in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
dflt2 < = ( ≤ ∖ I )

Proof of Theorem dflt2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrel 10303 . 2 Rel <
2 difss 3889 . . 3 ( ≤ ∖ I ) ⊆ ≤
3 lerel 10305 . . 3 Rel ≤
4 relss 5347 . . 3 (( ≤ ∖ I ) ⊆ ≤ → (Rel ≤ → Rel ( ≤ ∖ I )))
52, 3, 4mp2 9 . 2 Rel ( ≤ ∖ I )
6 ltrelxr 10302 . . . 4 < ⊆ (ℝ* × ℝ*)
76brel 5309 . . 3 (𝑥 < 𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
8 lerelxr 10304 . . . . 5 ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
92, 8sstri 3762 . . . 4 ( ≤ ∖ I ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
109brel 5309 . . 3 (𝑥( ≤ ∖ I )𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
11 xrltlen 12185 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥𝑦𝑦𝑥)))
12 equcom 2103 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥𝑥 = 𝑦)
13 vex 3354 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
1413ideq 5414 . . . . . . . 8 (𝑥 I 𝑦𝑥 = 𝑦)
1512, 14bitr4i 267 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥𝑥 I 𝑦)
1615necon3abii 2989 . . . . . 6 (𝑦𝑥 ↔ ¬ 𝑥 I 𝑦)
1716anbi2i 603 . . . . 5 ((𝑥𝑦𝑦𝑥) ↔ (𝑥𝑦 ∧ ¬ 𝑥 I 𝑦))
1811, 17syl6bb 276 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥𝑦 ∧ ¬ 𝑥 I 𝑦)))
19 brdif 4840 . . . 4 (𝑥( ≤ ∖ I )𝑦 ↔ (𝑥𝑦 ∧ ¬ 𝑥 I 𝑦))
2018, 19syl6bbr 278 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦𝑥( ≤ ∖ I )𝑦))
217, 10, 20pm5.21nii 367 . 2 (𝑥 < 𝑦𝑥( ≤ ∖ I )𝑦)
221, 5, 21eqbrriv 5356 1 < = ( ≤ ∖ I )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  cdif 3721  wss 3724   class class class wbr 4787   I cid 5157   × cxp 5248  Rel wrel 5255  *cxr 10276   < clt 10277  cle 10278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-er 7897  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283
This theorem is referenced by:  relt  20179  xrslt  30017
  Copyright terms: Public domain W3C validator