Theorem dflt2 13097

Description: Alternative definition of 'less than' in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dflt2	⊢ < = ( ≤ ∖ I )

Proof of Theorem dflt2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrel 11205	. 2 ⊢ Rel <
2		difss 4073	. . 3 ⊢ ( ≤ ∖ I ) ⊆ ≤
3		lerel 11207	. . 3 ⊢ Rel ≤
4		relss 5732	. . 3 ⊢ (( ≤ ∖ I ) ⊆ ≤ → (Rel ≤ → Rel ( ≤ ∖ I )))
5	2, 3, 4	mp2 9	. 2 ⊢ Rel ( ≤ ∖ I )
6		ltrelxr 11204	. . . 4 ⊢ < ⊆ (ℝ* × ℝ*)
7	6	brel 5690	. . 3 ⊢ (𝑥 < 𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*))
8		lerelxr 11206	. . . . 5 ⊢ ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
9	2, 8	sstri 3931	. . . 4 ⊢ ( ≤ ∖ I ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
10	9	brel 5690	. . 3 ⊢ (𝑥( ≤ ∖ I )𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*))
11		xrltlen 13095	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)))
12		equcom 2025	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑦)
13		vex 3436	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
14	13	ideq 5801	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 I 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦)
15	12, 14	bitr4i 279	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 ↔ 𝑥 I 𝑦)
16	15	necon3abii 2981	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ≠ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 I 𝑦)
17	16	anbi2i 629	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ ¬ 𝑥 I 𝑦))
18	11, 17	bitrdi 288	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ ¬ 𝑥 I 𝑦)))
19		brdif 5132	. . . 4 ⊢ (𝑥( ≤ ∖ I )𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ ¬ 𝑥 I 𝑦))
20	18, 19	bitr4di 290	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑥( ≤ ∖ I )𝑦))
21	7, 10, 20	pm5.21nii 379	. 2 ⊢ (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑥( ≤ ∖ I )𝑦)
22	1, 5, 21	eqbrriv 5741	1 ⊢ < = ( ≤ ∖ I )

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5079   I cid 5519   × cxp 5623  Rel wrel 5630  ℝ^*cxr 11176   < clt 11177   ≤ cle 11178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183

This theorem is referenced by:  relt  21597  xrslt  33093