Theorem dflt2 13307

Description: Alternative definition of 'less than' in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dflt2	⊢ < = ( ≤ ∖ I )

Proof of Theorem dflt2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrel 11401	. 2 ⊢ Rel <
2		difss 4075	. . 3 ⊢ ( ≤ ∖ I ) ⊆ ≤
3		lerel 11403	. . 3 ⊢ Rel ≤
4		relss 5764	. . 3 ⊢ (( ≤ ∖ I ) ⊆ ≤ → (Rel ≤ → Rel ( ≤ ∖ I )))
5	2, 3, 4	mp2 9	. 2 ⊢ Rel ( ≤ ∖ I )
6		ltrelxr 11400	. . . 4 ⊢ < ⊆ (ℝ* × ℝ*)
7	6	brel 5721	. . 3 ⊢ (𝑥 < 𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*))
8		lerelxr 11402	. . . . 5 ⊢ ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
9	2, 8	sstri 3922	. . . 4 ⊢ ( ≤ ∖ I ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
10	9	brel 5721	. . 3 ⊢ (𝑥( ≤ ∖ I )𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*))
11		xrltlen 13305	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)))
12		equcom 2053	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑦)
13		vex 3458	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
14	13	ideq 5837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 I 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦)
15	12, 14	bitr4i 281	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 ↔ 𝑥 I 𝑦)
16	15	necon3abii 3005	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ≠ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 I 𝑦)
17	16	anbi2i 635	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ ¬ 𝑥 I 𝑦))
18	11, 17	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ ¬ 𝑥 I 𝑦)))
19		brdif 5162	. . . 4 ⊢ (𝑥( ≤ ∖ I )𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ ¬ 𝑥 I 𝑦))
20	18, 19	bitr4di 292	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑥( ≤ ∖ I )𝑦))
21	7, 10, 20	pm5.21nii 381	. 2 ⊢ (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑥( ≤ ∖ I )𝑦)
22	1, 5, 21	eqbrriv 5773	1 ⊢ < = ( ≤ ∖ I )

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048   class class class wbr 5106   I cid 5550   × cxp 5654  Rel wrel 5661  ℝ^*cxr 11372   < clt 11373   ≤ cle 11374

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-po 5564  df-so 5565  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379

This theorem is used by:  relt  21954  xrslt  33644