MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dflt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dflt2 13068
Description: Alternative definition of 'less than' in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
dflt2 < = ( ≤ ∖ I )

Proof of Theorem dflt2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrel 11218 . 2 Rel <
2 difss 4092 . . 3 ( ≤ ∖ I ) ⊆ ≤
3 lerel 11220 . . 3 Rel ≤
4 relss 5738 . . 3 (( ≤ ∖ I ) ⊆ ≤ → (Rel ≤ → Rel ( ≤ ∖ I )))
52, 3, 4mp2 9 . 2 Rel ( ≤ ∖ I )
6 ltrelxr 11217 . . . 4 < ⊆ (ℝ* × ℝ*)
76brel 5698 . . 3 (𝑥 < 𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
8 lerelxr 11219 . . . . 5 ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
92, 8sstri 3954 . . . 4 ( ≤ ∖ I ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
109brel 5698 . . 3 (𝑥( ≤ ∖ I )𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
11 xrltlen 13066 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥𝑦𝑦𝑥)))
12 equcom 2022 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥𝑥 = 𝑦)
13 vex 3450 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
1413ideq 5809 . . . . . . . 8 (𝑥 I 𝑦𝑥 = 𝑦)
1512, 14bitr4i 278 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥𝑥 I 𝑦)
1615necon3abii 2991 . . . . . 6 (𝑦𝑥 ↔ ¬ 𝑥 I 𝑦)
1716anbi2i 624 . . . . 5 ((𝑥𝑦𝑦𝑥) ↔ (𝑥𝑦 ∧ ¬ 𝑥 I 𝑦))
1811, 17bitrdi 287 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥𝑦 ∧ ¬ 𝑥 I 𝑦)))
19 brdif 5159 . . . 4 (𝑥( ≤ ∖ I )𝑦 ↔ (𝑥𝑦 ∧ ¬ 𝑥 I 𝑦))
2018, 19bitr4di 289 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦𝑥( ≤ ∖ I )𝑦))
217, 10, 20pm5.21nii 380 . 2 (𝑥 < 𝑦𝑥( ≤ ∖ I )𝑦)
221, 5, 21eqbrriv 5748 1 < = ( ≤ ∖ I )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  cdif 3908  wss 3911   class class class wbr 5106   I cid 5531   × cxp 5632  Rel wrel 5639  *cxr 11189   < clt 11190  cle 11191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196
This theorem is referenced by:  relt  21022  xrslt  31870
  Copyright terms: Public domain W3C validator