Theorem dflt2 12984

Description: Alternative definition of 'less than' in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dflt2	⊢ < = ( ≤ ∖ I )

Proof of Theorem dflt2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrel 11139	. 2 ⊢ Rel <
2		difss 4079	. . 3 ⊢ ( ≤ ∖ I ) ⊆ ≤
3		lerel 11141	. . 3 ⊢ Rel ≤
4		relss 5724	. . 3 ⊢ (( ≤ ∖ I ) ⊆ ≤ → (Rel ≤ → Rel ( ≤ ∖ I )))
5	2, 3, 4	mp2 9	. 2 ⊢ Rel ( ≤ ∖ I )
6		ltrelxr 11138	. . . 4 ⊢ < ⊆ (ℝ* × ℝ*)
7	6	brel 5684	. . 3 ⊢ (𝑥 < 𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*))
8		lerelxr 11140	. . . . 5 ⊢ ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
9	2, 8	sstri 3941	. . . 4 ⊢ ( ≤ ∖ I ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
10	9	brel 5684	. . 3 ⊢ (𝑥( ≤ ∖ I )𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*))
11		xrltlen 12982	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)))
12		equcom 2020	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑦)
13		vex 3445	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
14	13	ideq 5795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 I 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦)
15	12, 14	bitr4i 277	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 ↔ 𝑥 I 𝑦)
16	15	necon3abii 2987	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ≠ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 I 𝑦)
17	16	anbi2i 623	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ ¬ 𝑥 I 𝑦))
18	11, 17	bitrdi 286	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ ¬ 𝑥 I 𝑦)))
19		brdif 5146	. . . 4 ⊢ (𝑥( ≤ ∖ I )𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ ¬ 𝑥 I 𝑦))
20	18, 19	bitr4di 288	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑥( ≤ ∖ I )𝑦))
21	7, 10, 20	pm5.21nii 379	. 2 ⊢ (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑥( ≤ ∖ I )𝑦)
22	1, 5, 21	eqbrriv 5734	1 ⊢ < = ( ≤ ∖ I )

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940   ∖ cdif 3895   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5093   I cid 5518   × cxp 5619  Rel wrel 5626  ℝ^*cxr 11110   < clt 11111   ≤ cle 11112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651  ax-cnex 11029  ax-resscn 11030  ax-pre-lttri 11047  ax-pre-lttrn 11048

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4854  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-id 5519  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-er 8570  df-en 8806  df-dom 8807  df-sdom 8808  df-pnf 11113  df-mnf 11114  df-xr 11115  df-ltxr 11116  df-le 11117

This theorem is referenced by:  relt  20927  xrslt  31572