Theorem dflt2 13191

Description: Alternative definition of 'less than' in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dflt2	⊢ < = ( ≤ ∖ I )

Proof of Theorem dflt2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrel 11289	. 2 ⊢ Rel <
2		difss 4093	. . 3 ⊢ ( ≤ ∖ I ) ⊆ ≤
3		lerel 11291	. . 3 ⊢ Rel ≤
4		relss 5773	. . 3 ⊢ (( ≤ ∖ I ) ⊆ ≤ → (Rel ≤ → Rel ( ≤ ∖ I )))
5	2, 3, 4	mp2 9	. 2 ⊢ Rel ( ≤ ∖ I )
6		ltrelxr 11288	. . . 4 ⊢ < ⊆ (ℝ* × ℝ*)
7	6	brel 5731	. . 3 ⊢ (𝑥 < 𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*))
8		lerelxr 11290	. . . . 5 ⊢ ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
9	2, 8	sstri 3949	. . . 4 ⊢ ( ≤ ∖ I ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
10	9	brel 5731	. . 3 ⊢ (𝑥( ≤ ∖ I )𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*))
11		xrltlen 13189	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)))
12		equcom 2051	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑦)
13		vex 3462	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
14	13	ideq 5843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 I 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦)
15	12, 14	bitr4i 281	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 ↔ 𝑥 I 𝑦)
16	15	necon3abii 3007	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ≠ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 I 𝑦)
17	16	anbi2i 635	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ ¬ 𝑥 I 𝑦))
18	11, 17	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ ¬ 𝑥 I 𝑦)))
19		brdif 5169	. . . 4 ⊢ (𝑥( ≤ ∖ I )𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ ¬ 𝑥 I 𝑦))
20	18, 19	bitr4di 292	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑥( ≤ ∖ I )𝑦))
21	7, 10, 20	pm5.21nii 381	. 2 ⊢ (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑥( ≤ ∖ I )𝑦)
22	1, 5, 21	eqbrriv 5782	1 ⊢ < = ( ≤ ∖ I )

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961   ∖ cdif 3905   ⊆ wss 3908   class class class wbr 5114   I cid 5560   × cxp 5664  Rel wrel 5671  ℝ^*cxr 11260   < clt 11261   ≤ cle 11262

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267

This theorem is used by:  relt  21802  xrslt  33358