Theorem dflt2 12391

Description: Alternative definition of 'less than' in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dflt2	⊢ < = ( ≤ ∖ I )

Proof of Theorem dflt2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrel 10550	. 2 ⊢ Rel <
2		difss 4029	. . 3 ⊢ ( ≤ ∖ I ) ⊆ ≤
3		lerel 10552	. . 3 ⊢ Rel ≤
4		relss 5542	. . 3 ⊢ (( ≤ ∖ I ) ⊆ ≤ → (Rel ≤ → Rel ( ≤ ∖ I )))
5	2, 3, 4	mp2 9	. 2 ⊢ Rel ( ≤ ∖ I )
6		ltrelxr 10549	. . . 4 ⊢ < ⊆ (ℝ* × ℝ*)
7	6	brel 5503	. . 3 ⊢ (𝑥 < 𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*))
8		lerelxr 10551	. . . . 5 ⊢ ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
9	2, 8	sstri 3898	. . . 4 ⊢ ( ≤ ∖ I ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
10	9	brel 5503	. . 3 ⊢ (𝑥( ≤ ∖ I )𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*))
11		xrltlen 12389	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)))
12		equcom 2002	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑦)
13		vex 3440	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
14	13	ideq 5609	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 I 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦)
15	12, 14	bitr4i 279	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 ↔ 𝑥 I 𝑦)
16	15	necon3abii 3030	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ≠ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 I 𝑦)
17	16	anbi2i 622	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ ¬ 𝑥 I 𝑦))
18	11, 17	syl6bb 288	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ ¬ 𝑥 I 𝑦)))
19		brdif 5015	. . . 4 ⊢ (𝑥( ≤ ∖ I )𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ ¬ 𝑥 I 𝑦))
20	18, 19	syl6bbr 290	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑥( ≤ ∖ I )𝑦))
21	7, 10, 20	pm5.21nii 380	. 2 ⊢ (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑥( ≤ ∖ I )𝑦)
22	1, 5, 21	eqbrriv 5550	1 ⊢ < = ( ≤ ∖ I )

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984   ∖ cdif 3856   ⊆ wss 3859   class class class wbr 4962   I cid 5347   × cxp 5441  Rel wrel 5448  ℝ^*cxr 10520   < clt 10521   ≤ cle 10522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-po 5362  df-so 5363  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527

This theorem is referenced by:  relt  20441  xrslt  30337