Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfle2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfle2 12581
 Description: Alternative definition of 'less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfle2 ≤ = ( < ∪ ( I ↾ ℝ*))

Proof of Theorem dfle2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lerel 10743 . 2 Rel ≤
2 ltrelxr 10740 . . . 4 < ⊆ (ℝ* × ℝ*)
3 idssxp 5888 . . . 4 ( I ↾ ℝ*) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
42, 3unssi 4090 . . 3 ( < ∪ ( I ↾ ℝ*)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
5 relxp 5542 . . 3 Rel (ℝ* × ℝ*)
6 relss 5625 . . 3 (( < ∪ ( I ↾ ℝ*)) ⊆ (ℝ* × ℝ*) → (Rel (ℝ* × ℝ*) → Rel ( < ∪ ( I ↾ ℝ*))))
74, 5, 6mp2 9 . 2 Rel ( < ∪ ( I ↾ ℝ*))
8 lerelxr 10742 . . . 4 ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
98brel 5586 . . 3 (𝑥𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
104brel 5586 . . 3 (𝑥( < ∪ ( I ↾ ℝ*))𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
11 xrleloe 12578 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦)))
12 resieq 5834 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥( I ↾ ℝ*)𝑦𝑥 = 𝑦))
1312orbi2d 913 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝑦𝑥( I ↾ ℝ*)𝑦) ↔ (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦)))
1411, 13bitr4d 285 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦𝑥( I ↾ ℝ*)𝑦)))
15 brun 5083 . . . 4 (𝑥( < ∪ ( I ↾ ℝ*))𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦𝑥( I ↾ ℝ*)𝑦))
1614, 15bitr4di 292 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝑦𝑥( < ∪ ( I ↾ ℝ*))𝑦))
179, 10, 16pm5.21nii 383 . 2 (𝑥𝑦𝑥( < ∪ ( I ↾ ℝ*))𝑦)
181, 7, 17eqbrriv 5633 1 ≤ = ( < ∪ ( I ↾ ℝ*))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∪ cun 3856   ⊆ wss 3858   class class class wbr 5032   I cid 5429   × cxp 5522   ↾ cres 5526  Rel wrel 5529  ℝ*cxr 10712   < clt 10713   ≤ cle 10714 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-op 4529  df-uni 4799  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-id 5430  df-po 5443  df-so 5444  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator