Theorem dfle2 13159

Description: Alternative definition of 'less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfle2	⊢ ≤ = ( < ∪ ( I ↾ ℝ*))

Proof of Theorem dfle2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lerel 11309	. 2 ⊢ Rel ≤
2		ltrelxr 11306	. . . 4 ⊢ < ⊆ (ℝ* × ℝ*)
3		idssxp 6052	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ℝ*) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
4	2, 3	unssi 4185	. . 3 ⊢ ( < ∪ ( I ↾ ℝ*)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
5		relxp 5696	. . 3 ⊢ Rel (ℝ* × ℝ*)
6		relss 5783	. . 3 ⊢ (( < ∪ ( I ↾ ℝ*)) ⊆ (ℝ* × ℝ*) → (Rel (ℝ* × ℝ*) → Rel ( < ∪ ( I ↾ ℝ*))))
7	4, 5, 6	mp2 9	. 2 ⊢ Rel ( < ∪ ( I ↾ ℝ*))
8		lerelxr 11308	. . . 4 ⊢ ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
9	8	brel 5743	. . 3 ⊢ (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*))
10	4	brel 5743	. . 3 ⊢ (𝑥( < ∪ ( I ↾ ℝ*))𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*))
11		xrleloe 13156	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦)))
12		resieq 5996	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥( I ↾ ℝ*)𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦))
13	12	orbi2d 914	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥( I ↾ ℝ*)𝑦) ↔ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦)))
14	11, 13	bitr4d 282	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥( I ↾ ℝ*)𝑦)))
15		brun 5199	. . . 4 ⊢ (𝑥( < ∪ ( I ↾ ℝ*))𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥( I ↾ ℝ*)𝑦))
16	14, 15	bitr4di 289	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑥( < ∪ ( I ↾ ℝ*))𝑦))
17	9, 10, 16	pm5.21nii 378	. 2 ⊢ (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑥( < ∪ ( I ↾ ℝ*))𝑦)
18	1, 7, 17	eqbrriv 5793	1 ⊢ ≤ = ( < ∪ ( I ↾ ℝ*))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∪ cun 3945   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5148   I cid 5575   × cxp 5676   ↾ cres 5680  Rel wrel 5683  ℝ^*cxr 11278   < clt 11279   ≤ cle 11280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285

This theorem is referenced by: (None)