Theorem dfle2 12881

Description: Alternative definition of 'less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfle2	⊢ ≤ = ( < ∪ ( I ↾ ℝ*))

Proof of Theorem dfle2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lerel 11039	. 2 ⊢ Rel ≤
2		ltrelxr 11036	. . . 4 ⊢ < ⊆ (ℝ* × ℝ*)
3		idssxp 5956	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ℝ*) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
4	2, 3	unssi 4119	. . 3 ⊢ ( < ∪ ( I ↾ ℝ*)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
5		relxp 5607	. . 3 ⊢ Rel (ℝ* × ℝ*)
6		relss 5692	. . 3 ⊢ (( < ∪ ( I ↾ ℝ*)) ⊆ (ℝ* × ℝ*) → (Rel (ℝ* × ℝ*) → Rel ( < ∪ ( I ↾ ℝ*))))
7	4, 5, 6	mp2 9	. 2 ⊢ Rel ( < ∪ ( I ↾ ℝ*))
8		lerelxr 11038	. . . 4 ⊢ ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
9	8	brel 5652	. . 3 ⊢ (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*))
10	4	brel 5652	. . 3 ⊢ (𝑥( < ∪ ( I ↾ ℝ*))𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*))
11		xrleloe 12878	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦)))
12		resieq 5902	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥( I ↾ ℝ*)𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦))
13	12	orbi2d 913	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥( I ↾ ℝ*)𝑦) ↔ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦)))
14	11, 13	bitr4d 281	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥( I ↾ ℝ*)𝑦)))
15		brun 5125	. . . 4 ⊢ (𝑥( < ∪ ( I ↾ ℝ*))𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥( I ↾ ℝ*)𝑦))
16	14, 15	bitr4di 289	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑥( < ∪ ( I ↾ ℝ*))𝑦))
17	9, 10, 16	pm5.21nii 380	. 2 ⊢ (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑥( < ∪ ( I ↾ ℝ*))𝑦)
18	1, 7, 17	eqbrriv 5701	1 ⊢ ≤ = ( < ∪ ( I ↾ ℝ*))

Syntax hints:   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∪ cun 3885   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074   I cid 5488   × cxp 5587   ↾ cres 5591  Rel wrel 5594  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015

This theorem is referenced by: (None)