Theorem dfle2 13167

Description: Alternative definition of 'less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfle2	⊢ ≤ = ( < ∪ ( I ↾ ℝ*))

Proof of Theorem dfle2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lerel 11268	. 2 ⊢ Rel ≤
2		ltrelxr 11265	. . . 4 ⊢ < ⊆ (ℝ* × ℝ*)
3		idssxp 6051	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ℝ*) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
4	2, 3	unssi 4144	. . 3 ⊢ ( < ∪ ( I ↾ ℝ*)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
5		relxp 5679	. . 3 ⊢ Rel (ℝ* × ℝ*)
6		relss 5768	. . 3 ⊢ (( < ∪ ( I ↾ ℝ*)) ⊆ (ℝ* × ℝ*) → (Rel (ℝ* × ℝ*) → Rel ( < ∪ ( I ↾ ℝ*))))
7	4, 5, 6	mp2 9	. 2 ⊢ Rel ( < ∪ ( I ↾ ℝ*))
8		lerelxr 11267	. . . 4 ⊢ ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
9	8	brel 5726	. . 3 ⊢ (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*))
10	4	brel 5726	. . 3 ⊢ (𝑥( < ∪ ( I ↾ ℝ*))𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*))
11		xrleloe 13164	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦)))
12		resieq 5989	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥( I ↾ ℝ*)𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦))
13	12	orbi2d 928	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥( I ↾ ℝ*)𝑦) ↔ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦)))
14	11, 13	bitr4d 285	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥( I ↾ ℝ*)𝑦)))
15		brun 5162	. . . 4 ⊢ (𝑥( < ∪ ( I ↾ ℝ*))𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥( I ↾ ℝ*)𝑦))
16	14, 15	bitr4di 292	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑥( < ∪ ( I ↾ ℝ*))𝑦))
17	9, 10, 16	pm5.21nii 381	. 2 ⊢ (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑥( < ∪ ( I ↾ ℝ*))𝑦)
18	1, 7, 17	eqbrriv 5777	1 ⊢ ≤ = ( < ∪ ( I ↾ ℝ*))

Syntax hints:   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∪ cun 3903   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5109   I cid 5555   × cxp 5659   ↾ cres 5663  Rel wrel 5666  ℝ^*cxr 11237   < clt 11238   ≤ cle 11239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244

This theorem is referenced by: (None)