Theorem hashgt0 13466

Description: The cardinality of a nonempty set is greater than zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Mar-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hashgt0	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝐴))

Proof of Theorem hashgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashge0 13465	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 0 ≤ (♯‘𝐴))
2	1	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 0 ≤ (♯‘𝐴))
3		hasheq0 13443	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
4	3	necon3bid 3042	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
5	4	biimpar 471	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ≠ 0)
6	2, 5	jca 509	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (0 ≤ (♯‘𝐴) ∧ (♯‘𝐴) ≠ 0))
7		0xr 10402	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
8		hashxrcl 13437	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
9		xrltlen 12264	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℝ*) → (0 < (♯‘𝐴) ↔ (0 ≤ (♯‘𝐴) ∧ (♯‘𝐴) ≠ 0)))
10	7, 8, 9	sylancr 583	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (0 < (♯‘𝐴) ↔ (0 ≤ (♯‘𝐴) ∧ (♯‘𝐴) ≠ 0)))
11	10	biimpar 471	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (0 ≤ (♯‘𝐴) ∧ (♯‘𝐴) ≠ 0)) → 0 < (♯‘𝐴))
12	6, 11	syldan 587	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∈ wcel 2166   ≠ wne 2998  ∅c0 4143   class class class wbr 4872  ‘cfv 6122  0cc0 10251  ℝ^*cxr 10389   < clt 10390   ≤ cle 10391  ♯chash 13409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-oadd 7829  df-er 8008  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-card 9077  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-nn 11350  df-n0 11618  df-xnn0 11690  df-z 11704  df-uz 11968  df-fz 12619  df-hash 13410

This theorem is referenced by:  hashgt0elexb  13478  wrdeqs1catOLD  13809  clwwlkccat  27318  esumpinfval  30679