MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashgt0 14405
Description: The cardinality of a nonempty set is greater than zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashgt0 ((𝐴𝑉𝐴 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝐴))

Proof of Theorem hashgt0
StepHypRef Expression
1 hashge0 14404 . . . 4 (𝐴𝑉 → 0 ≤ (♯‘𝐴))
21adantr 479 . . 3 ((𝐴𝑉𝐴 ≠ ∅) → 0 ≤ (♯‘𝐴))
3 hasheq0 14380 . . . . 5 (𝐴𝑉 → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
43necon3bid 2975 . . . 4 (𝐴𝑉 → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
54biimpar 476 . . 3 ((𝐴𝑉𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ≠ 0)
62, 5jca 510 . 2 ((𝐴𝑉𝐴 ≠ ∅) → (0 ≤ (♯‘𝐴) ∧ (♯‘𝐴) ≠ 0))
7 0xr 11311 . . . 4 0 ∈ ℝ*
8 hashxrcl 14374 . . . 4 (𝐴𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
9 xrltlen 13179 . . . 4 ((0 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℝ*) → (0 < (♯‘𝐴) ↔ (0 ≤ (♯‘𝐴) ∧ (♯‘𝐴) ≠ 0)))
107, 8, 9sylancr 585 . . 3 (𝐴𝑉 → (0 < (♯‘𝐴) ↔ (0 ≤ (♯‘𝐴) ∧ (♯‘𝐴) ≠ 0)))
1110biimpar 476 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ (0 ≤ (♯‘𝐴) ∧ (♯‘𝐴) ≠ 0)) → 0 < (♯‘𝐴))
126, 11syldan 589 1 ((𝐴𝑉𝐴 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wcel 2099  wne 2930  c0 4325   class class class wbr 5153  cfv 6554  0cc0 11158  *cxr 11297   < clt 11298  cle 11299  chash 14347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-oadd 8500  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-n0 12525  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-hash 14348
This theorem is referenced by:  hashgt0elexb  14419  clwwlkgt0  29919  clwwlkccat  29923  hashxpe  32711  cycpmco2lem5  33008  fldext2chn  33606  esumpinfval  33906
  Copyright terms: Public domain W3C validator