Theorem dmres 4987

Description: The domain of a restriction. Exercise 14 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by set.mm contributors, 1-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dmres	⊢ dom (A ↾ B) = (B ∩ dom A)

Proof of Theorem dmres

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.41v 1901	. . . 4 ⊢ (∃y(xAy ∧ x ∈ B) ↔ (∃y xAy ∧ x ∈ B))
2		eldm 4899	. . . . 5 ⊢ (x ∈ dom (A ↾ B) ↔ ∃y x(A ↾ B)y)
3		brres 4950	. . . . . 6 ⊢ (x(A ↾ B)y ↔ (xAy ∧ x ∈ B))
4	3	exbii 1582	. . . . 5 ⊢ (∃y x(A ↾ B)y ↔ ∃y(xAy ∧ x ∈ B))
5	2, 4	bitri 240	. . . 4 ⊢ (x ∈ dom (A ↾ B) ↔ ∃y(xAy ∧ x ∈ B))
6		eldm 4899	. . . . 5 ⊢ (x ∈ dom A ↔ ∃y xAy)
7	6	anbi1i 676	. . . 4 ⊢ ((x ∈ dom A ∧ x ∈ B) ↔ (∃y xAy ∧ x ∈ B))
8	1, 5, 7	3bitr4ri 269	. . 3 ⊢ ((x ∈ dom A ∧ x ∈ B) ↔ x ∈ dom (A ↾ B))
9	8	ineqri 3450	. 2 ⊢ (dom A ∩ B) = dom (A ↾ B)
10		incom 3449	. 2 ⊢ (dom A ∩ B) = (B ∩ dom A)
11	9, 10	eqtr3i 2375	1 ⊢ dom (A ↾ B) = (B ∩ dom A)

Syntax hints:   ∧ wa 358  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ∩ cin 3209   class class class wbr 4640  dom cdm 4773   ↾ cres 4775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-ima 4728  df-xp 4785  df-cnv 4786  df-rn 4787  df-dm 4788  df-res 4789

This theorem is referenced by:  ssdmres  4988  imadisj  5016  ndmima  5026  resdmres  5079  funimacnv  5169  fnresdisj  5194  fnres  5200  nfvres  5353  respreima  5411  ffvresb  5432  funfvima  5460