New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  fcnvres GIF version

Theorem fcnvres 5243
 Description: The converse of a restriction of a function. (Contributed by set.mm contributors, 26-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
fcnvres (F:A–→B(F A) = (F B))

Proof of Theorem fcnvres
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-br 4640 . . . . 5 (xFyx, y F)
2 ffn 5223 . . . . . . 7 (F:A–→BF Fn A)
3 fnbr 5185 . . . . . . 7 ((F Fn A xFy) → x A)
42, 3sylan 457 . . . . . 6 ((F:A–→B xFy) → x A)
5 frn 5228 . . . . . . 7 (F:A–→B → ran F B)
6 brelrn 4960 . . . . . . 7 (xFyy ran F)
7 ssel2 3268 . . . . . . 7 ((ran F B y ran F) → y B)
85, 6, 7syl2an 463 . . . . . 6 ((F:A–→B xFy) → y B)
94, 82thd 231 . . . . 5 ((F:A–→B xFy) → (x Ay B))
101, 9sylan2br 462 . . . 4 ((F:A–→B x, y F) → (x Ay B))
1110pm5.32da 622 . . 3 (F:A–→B → ((x, y F x A) ↔ (x, y F y B)))
12 opelcnv 4893 . . . 4 (y, x (F A) ↔ x, y (F A))
13 opelres 4950 . . . 4 (x, y (F A) ↔ (x, y F x A))
1412, 13bitri 240 . . 3 (y, x (F A) ↔ (x, y F x A))
15 opelres 4950 . . . 4 (y, x (F B) ↔ (y, x F y B))
16 opelcnv 4893 . . . . 5 (y, x Fx, y F)
1716anbi1i 676 . . . 4 ((y, x F y B) ↔ (x, y F y B))
1815, 17bitri 240 . . 3 (y, x (F B) ↔ (x, y F y B))
1911, 14, 183bitr4g 279 . 2 (F:A–→B → (y, x (F A) ↔ y, x (F B)))
2019eqrelrdv 4852 1 (F:A–→B(F A) = (F B))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ⊆ wss 3257  ⟨cop 4561   class class class wbr 4639  ◡ccnv 4771  ran crn 4773   ↾ cres 4774   Fn wfn 4776  –→wf 4777 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-ima 4727  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fn 4790  df-f 4791 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator