Theorem funprg 5150

Description: A set of two pairs is a function if their first members are different. (Contributed by FL, 26-Jun-2011.) (Revised by Scott Fenton, 16-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
funprg	⊢ ((A ≠ B ∧ C ∈ V ∧ D ∈ W) → Fun {⟨A, C⟩, ⟨B, D⟩})

Proof of Theorem funprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmsnopg 5067	. . . . . 6 ⊢ (C ∈ V → dom {⟨A, C⟩} = {A})
2	1	3ad2ant2 977	. . . . 5 ⊢ ((A ≠ B ∧ C ∈ V ∧ D ∈ W) → dom {⟨A, C⟩} = {A})
3		dmsnopg 5067	. . . . . 6 ⊢ (D ∈ W → dom {⟨B, D⟩} = {B})
4	3	3ad2ant3 978	. . . . 5 ⊢ ((A ≠ B ∧ C ∈ V ∧ D ∈ W) → dom {⟨B, D⟩} = {B})
5	2, 4	ineq12d 3459	. . . 4 ⊢ ((A ≠ B ∧ C ∈ V ∧ D ∈ W) → (dom {⟨A, C⟩} ∩ dom {⟨B, D⟩}) = ({A} ∩ {B}))
6		disjsn2 3788	. . . . 5 ⊢ (A ≠ B → ({A} ∩ {B}) = ∅)
7	6	3ad2ant1 976	. . . 4 ⊢ ((A ≠ B ∧ C ∈ V ∧ D ∈ W) → ({A} ∩ {B}) = ∅)
8	5, 7	eqtrd 2385	. . 3 ⊢ ((A ≠ B ∧ C ∈ V ∧ D ∈ W) → (dom {⟨A, C⟩} ∩ dom {⟨B, D⟩}) = ∅)
9		funsn 5148	. . . 4 ⊢ Fun {⟨A, C⟩}
10		funsn 5148	. . . 4 ⊢ Fun {⟨B, D⟩}
11		funun 5147	. . . 4 ⊢ (((Fun {⟨A, C⟩} ∧ Fun {⟨B, D⟩}) ∧ (dom {⟨A, C⟩} ∩ dom {⟨B, D⟩}) = ∅) → Fun ({⟨A, C⟩} ∪ {⟨B, D⟩}))
12	9, 10, 11	mpanl12 663	. . 3 ⊢ ((dom {⟨A, C⟩} ∩ dom {⟨B, D⟩}) = ∅ → Fun ({⟨A, C⟩} ∪ {⟨B, D⟩}))
13	8, 12	syl 15	. 2 ⊢ ((A ≠ B ∧ C ∈ V ∧ D ∈ W) → Fun ({⟨A, C⟩} ∪ {⟨B, D⟩}))
14		df-pr 3743	. . 3 ⊢ {⟨A, C⟩, ⟨B, D⟩} = ({⟨A, C⟩} ∪ {⟨B, D⟩})
15	14	funeqi 5129	. 2 ⊢ (Fun {⟨A, C⟩, ⟨B, D⟩} ↔ Fun ({⟨A, C⟩} ∪ {⟨B, D⟩}))
16	13, 15	sylibr 203	1 ⊢ ((A ≠ B ∧ C ∈ V ∧ D ∈ W) → Fun {⟨A, C⟩, ⟨B, D⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 934   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2517   ∪ cun 3208   ∩ cin 3209  ∅c0 3551  {csn 3738  {cpr 3739  ⟨cop 4562  dom cdm 4773  Fun wfun 4776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-co 4727  df-ima 4728  df-id 4768  df-cnv 4786  df-rn 4787  df-dm 4788  df-fun 4790

This theorem is referenced by:  funpr  5152