NFE Home New Foundations Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  resoprab2 GIF version

Theorem resoprab2 5582
Description: Restriction of an operator abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
resoprab2 ((C A D B) → ({x, y, z ((x A y B) φ)} (C × D)) = {x, y, z ((x C y D) φ)})
Distinct variable groups:   x,A,y,z   x,B,y,z   x,C,y,z   x,D,y,z
Allowed substitution hints:   φ(x,y,z)

Proof of Theorem resoprab2
StepHypRef Expression
1 resoprab 5581 . 2 ({x, y, z ((x A y B) φ)} (C × D)) = {x, y, z ((x C y D) ((x A y B) φ))}
2 anass 630 . . . 4 ((((x C y D) (x A y B)) φ) ↔ ((x C y D) ((x A y B) φ)))
3 an4 797 . . . . . 6 (((x C y D) (x A y B)) ↔ ((x C x A) (y D y B)))
4 ssel 3267 . . . . . . . . 9 (C A → (x Cx A))
5 pm4.71 611 . . . . . . . . 9 ((x Cx A) ↔ (x C ↔ (x C x A)))
64, 5sylib 188 . . . . . . . 8 (C A → (x C ↔ (x C x A)))
76bicomd 192 . . . . . . 7 (C A → ((x C x A) ↔ x C))
8 ssel 3267 . . . . . . . . 9 (D B → (y Dy B))
9 pm4.71 611 . . . . . . . . 9 ((y Dy B) ↔ (y D ↔ (y D y B)))
108, 9sylib 188 . . . . . . . 8 (D B → (y D ↔ (y D y B)))
1110bicomd 192 . . . . . . 7 (D B → ((y D y B) ↔ y D))
127, 11bi2anan9 843 . . . . . 6 ((C A D B) → (((x C x A) (y D y B)) ↔ (x C y D)))
133, 12syl5bb 248 . . . . 5 ((C A D B) → (((x C y D) (x A y B)) ↔ (x C y D)))
1413anbi1d 685 . . . 4 ((C A D B) → ((((x C y D) (x A y B)) φ) ↔ ((x C y D) φ)))
152, 14syl5bbr 250 . . 3 ((C A D B) → (((x C y D) ((x A y B) φ)) ↔ ((x C y D) φ)))
1615oprabbidv 5564 . 2 ((C A D B) → {x, y, z ((x C y D) ((x A y B) φ))} = {x, y, z ((x C y D) φ)})
171, 16syl5eq 2397 1 ((C A D B) → ({x, y, z ((x A y B) φ)} (C × D)) = {x, y, z ((x C y D) φ)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 176   wa 358   = wceq 1642   wcel 1710   wss 3257   × cxp 4770   cres 4774  {coprab 5527
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-xp 4784  df-res 4788  df-oprab 5528
This theorem is referenced by:  resmpt2  5697
  Copyright terms: Public domain W3C validator