Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | opkex 4113 |
. . . . . . 7
⊢ ⟪y, x⟫
∈ V |
2 | 1 | elimak 4259 |
. . . . . 6
⊢ (⟪y, x⟫
∈ ( ∼ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ((( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c))) “k ℘1℘1℘1℘11c) “k ℘11c) ↔ ∃t ∈
℘1 1c⟪t, ⟪y, x⟫⟫ ∈ ∼ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ((( Ins2k ( Ins2k
Ins3k ( Sk
∘k SIk
◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c))) “k ℘1℘1℘1℘11c)) |
3 | | df-rex 2620 |
. . . . . 6
⊢ (∃t ∈ ℘1
1c⟪t,
⟪y, x⟫⟫ ∈ ∼ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ((( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c))) “k ℘1℘1℘1℘11c) ↔ ∃t(t
∈ ℘11c
∧ ⟪t, ⟪y, x⟫⟫ ∈ ∼ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕
((( Ins2k ( Ins2k Ins3k (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c))) “k ℘1℘1℘1℘11c))) |
4 | | elpw11c 4147 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (t ∈ ℘11c ↔ ∃z t = {{z}}) |
5 | 4 | anbi1i 676 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((t ∈ ℘11c ∧ ⟪t,
⟪y, x⟫⟫ ∈ ∼ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ((( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c))) “k ℘1℘1℘1℘11c)) ↔ (∃z t
= {{z}} ∧ ⟪t, ⟪y, x⟫⟫ ∈ ∼ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ((( Ins2k ( Ins2k
Ins3k ( Sk
∘k SIk
◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c))) “k ℘1℘1℘1℘11c))) |
6 | | 19.41v 1901 |
. . . . . . . . 9
⊢ (∃z(t = {{z}} ∧ ⟪t,
⟪y, x⟫⟫ ∈ ∼ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ((( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c))) “k ℘1℘1℘1℘11c)) ↔ (∃z t
= {{z}} ∧ ⟪t, ⟪y, x⟫⟫ ∈ ∼ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ((( Ins2k ( Ins2k
Ins3k ( Sk
∘k SIk
◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c))) “k ℘1℘1℘1℘11c))) |
7 | 5, 6 | bitr4i 243 |
. . . . . . . 8
⊢ ((t ∈ ℘11c ∧ ⟪t,
⟪y, x⟫⟫ ∈ ∼ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ((( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c))) “k ℘1℘1℘1℘11c)) ↔ ∃z(t
= {{z}} ∧ ⟪t, ⟪y, x⟫⟫ ∈ ∼ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ((( Ins2k ( Ins2k
Ins3k ( Sk
∘k SIk
◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c))) “k ℘1℘1℘1℘11c))) |
8 | 7 | exbii 1582 |
. . . . . . 7
⊢ (∃t(t ∈ ℘11c ∧ ⟪t,
⟪y, x⟫⟫ ∈ ∼ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ((( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c))) “k ℘1℘1℘1℘11c)) ↔ ∃t∃z(t
= {{z}} ∧ ⟪t, ⟪y, x⟫⟫ ∈ ∼ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ((( Ins2k ( Ins2k
Ins3k ( Sk
∘k SIk
◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c))) “k ℘1℘1℘1℘11c))) |
9 | | excom 1741 |
. . . . . . 7
⊢ (∃z∃t(t = {{z}} ∧ ⟪t,
⟪y, x⟫⟫ ∈ ∼ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ((( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c))) “k ℘1℘1℘1℘11c)) ↔ ∃t∃z(t
= {{z}} ∧ ⟪t, ⟪y, x⟫⟫ ∈ ∼ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ((( Ins2k ( Ins2k
Ins3k ( Sk
∘k SIk
◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c))) “k ℘1℘1℘1℘11c))) |
10 | 8, 9 | bitr4i 243 |
. . . . . 6
⊢ (∃t(t ∈ ℘11c ∧ ⟪t,
⟪y, x⟫⟫ ∈ ∼ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ((( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c))) “k ℘1℘1℘1℘11c)) ↔ ∃z∃t(t
= {{z}} ∧ ⟪t, ⟪y, x⟫⟫ ∈ ∼ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ((( Ins2k ( Ins2k
Ins3k ( Sk
∘k SIk
◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c))) “k ℘1℘1℘1℘11c))) |
11 | 2, 3, 10 | 3bitri 262 |
. . . . 5
⊢ (⟪y, x⟫
∈ ( ∼ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ((( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c))) “k ℘1℘1℘1℘11c) “k ℘11c) ↔ ∃z∃t(t
= {{z}} ∧ ⟪t, ⟪y, x⟫⟫ ∈ ∼ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ((( Ins2k ( Ins2k
Ins3k ( Sk
∘k SIk
◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c))) “k ℘1℘1℘1℘11c))) |
12 | | snex 4111 |
. . . . . . . 8
⊢ {{z}} ∈
V |
13 | | opkeq1 4059 |
. . . . . . . . 9
⊢ (t = {{z}} →
⟪t, ⟪y, x⟫⟫ = ⟪{{z}}, ⟪y,
x⟫⟫) |
14 | 13 | eleq1d 2419 |
. . . . . . . 8
⊢ (t = {{z}} →
(⟪t, ⟪y, x⟫⟫ ∈ ∼ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ((( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c))) “k ℘1℘1℘1℘11c) ↔ ⟪{{z}}, ⟪y, x⟫⟫ ∈ ∼ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ((( Ins2k ( Ins2k
Ins3k ( Sk
∘k SIk
◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c))) “k ℘1℘1℘1℘11c))) |
15 | 12, 14 | ceqsexv 2894 |
. . . . . . 7
⊢ (∃t(t = {{z}} ∧ ⟪t,
⟪y, x⟫⟫ ∈ ∼ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ((( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c))) “k ℘1℘1℘1℘11c)) ↔ ⟪{{z}}, ⟪y, x⟫⟫ ∈ ∼ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ((( Ins2k ( Ins2k
Ins3k ( Sk
∘k SIk
◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c))) “k ℘1℘1℘1℘11c)) |
16 | | opkex 4113 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ⟪{{z}}, ⟪y,
x⟫⟫ ∈ V |
17 | 16 | elimak 4259 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (⟪{{z}}, ⟪y,
x⟫⟫ ∈ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ((( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c))) “k ℘1℘1℘1℘11c) ↔ ∃t ∈
℘1 ℘1℘1℘11c⟪t, ⟪{{z}}, ⟪y, x⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins2k Sk ⊕
((( Ins2k ( Ins2k Ins3k (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c)))) |
18 | | df-rex 2620 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (∃t ∈ ℘1
℘1℘1℘11c⟪t, ⟪{{z}}, ⟪y,
x⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ((( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c))) ↔ ∃t(t
∈ ℘1℘1℘1℘11c ∧
⟪t, ⟪{{z}},
⟪y, x⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ((( Ins2k ( Ins2k
Ins3k ( Sk
∘k SIk
◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c))))) |
19 | | elpw141c 4150 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (t ∈ ℘1℘1℘1℘11c ↔ ∃w t = {{{{{w}}}}}) |
20 | 19 | anbi1i 676 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((t ∈ ℘1℘1℘1℘11c ∧ ⟪t,
⟪{{z}}, ⟪y, x⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ((( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c)))) ↔ (∃w t
= {{{{{w}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{z}}, ⟪y, x⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins2k Sk ⊕
((( Ins2k ( Ins2k Ins3k (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c))))) |
21 | | 19.41v 1901 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (∃w(t = {{{{{w}}}}}
∧ ⟪t, ⟪{{z}}, ⟪y,
x⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ((( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c)))) ↔ (∃w t
= {{{{{w}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{z}}, ⟪y, x⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins2k Sk ⊕
((( Ins2k ( Ins2k Ins3k (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c))))) |
22 | 20, 21 | bitr4i 243 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((t ∈ ℘1℘1℘1℘11c ∧ ⟪t,
⟪{{z}}, ⟪y, x⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ((( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c)))) ↔ ∃w(t
= {{{{{w}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{z}}, ⟪y, x⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins2k Sk ⊕
((( Ins2k ( Ins2k Ins3k (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c))))) |
23 | 22 | exbii 1582 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (∃t(t ∈ ℘1℘1℘1℘11c ∧ ⟪t,
⟪{{z}}, ⟪y, x⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ((( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c)))) ↔ ∃t∃w(t
= {{{{{w}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{z}}, ⟪y, x⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins2k Sk ⊕
((( Ins2k ( Ins2k Ins3k (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c))))) |
24 | | excom 1741 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (∃w∃t(t = {{{{{w}}}}}
∧ ⟪t, ⟪{{z}}, ⟪y,
x⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ((( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c)))) ↔ ∃t∃w(t
= {{{{{w}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{z}}, ⟪y, x⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins2k Sk ⊕
((( Ins2k ( Ins2k Ins3k (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c))))) |
25 | 23, 24 | bitr4i 243 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (∃t(t ∈ ℘1℘1℘1℘11c ∧ ⟪t,
⟪{{z}}, ⟪y, x⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ((( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c)))) ↔ ∃w∃t(t
= {{{{{w}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{z}}, ⟪y, x⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins2k Sk ⊕
((( Ins2k ( Ins2k Ins3k (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c))))) |
26 | 17, 18, 25 | 3bitri 262 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (⟪{{z}}, ⟪y,
x⟫⟫ ∈ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ((( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c))) “k ℘1℘1℘1℘11c) ↔ ∃w∃t(t
= {{{{{w}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{z}}, ⟪y, x⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins2k Sk ⊕
((( Ins2k ( Ins2k Ins3k (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c))))) |
27 | | snex 4111 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ {{{{{w}}}}} ∈
V |
28 | | opkeq1 4059 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (t = {{{{{w}}}}}
→ ⟪t, ⟪{{z}}, ⟪y,
x⟫⟫⟫ =
⟪{{{{{w}}}}}, ⟪{{z}}, ⟪y,
x⟫⟫⟫) |
29 | 28 | eleq1d 2419 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (t = {{{{{w}}}}}
→ (⟪t, ⟪{{z}}, ⟪y,
x⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ((( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c))) ↔ ⟪{{{{{w}}}}}, ⟪{{z}}, ⟪y, x⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins2k Sk ⊕
((( Ins2k ( Ins2k Ins3k (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c))))) |
30 | 27, 29 | ceqsexv 2894 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (∃t(t = {{{{{w}}}}}
∧ ⟪t, ⟪{{z}}, ⟪y,
x⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ((( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c)))) ↔ ⟪{{{{{w}}}}}, ⟪{{z}}, ⟪y, x⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins2k Sk ⊕
((( Ins2k ( Ins2k Ins3k (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c)))) |
31 | | elsymdif 3223 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(⟪{{{{{w}}}}},
⟪{{z}}, ⟪y, x⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ((( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c))) ↔ ¬ (⟪{{{{{w}}}}}, ⟪{{z}}, ⟪y, x⟫⟫⟫ ∈ Ins2k Ins2k Sk ↔
⟪{{{{{w}}}}}, ⟪{{z}}, ⟪y, x⟫⟫⟫ ∈ ((( Ins2k ( Ins2k
Ins3k ( Sk
∘k SIk
◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c)))) |
32 | | snex 4111 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ {{{w}}} ∈
V |
33 | 32, 12, 1 | otkelins2k 4255 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(⟪{{{{{w}}}}},
⟪{{z}}, ⟪y, x⟫⟫⟫ ∈ Ins2k Ins2k Sk ↔ ⟪{{{w}}}, ⟪y,
x⟫⟫ ∈ Ins2k Sk ) |
34 | | snex 4111 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ {w} ∈
V |
35 | | vex 2862 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ y ∈
V |
36 | | vex 2862 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ x ∈
V |
37 | 34, 35, 36 | otkelins2k 4255 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(⟪{{{w}}}, ⟪y, x⟫⟫ ∈ Ins2k Sk ↔ ⟪{w}, x⟫
∈ Sk ) |
38 | | vex 2862 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ w ∈
V |
39 | 38, 36 | elssetk 4270 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (⟪{w}, x⟫
∈ Sk ↔ w ∈ x) |
40 | 33, 37, 39 | 3bitri 262 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(⟪{{{{{w}}}}},
⟪{{z}}, ⟪y, x⟫⟫⟫ ∈ Ins2k Ins2k Sk ↔ w ∈ x) |
41 | | opkex 4113 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
⟪{{{{{w}}}}},
⟪{{z}}, ⟪y, x⟫⟫⟫ ∈ V |
42 | 41 | elimak 4259 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(⟪{{{{{w}}}}},
⟪{{z}}, ⟪y, x⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ↔ ∃t ∈
℘1 ℘1℘1℘1℘1℘11c⟪t, ⟪{{{{{w}}}}}, ⟪{{z}}, ⟪y, x⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k ( Ins2k
Ins3k ( Sk
∘k SIk
◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))))) |
43 | | elpw161c 4152 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (t ∈ ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c ↔ ∃v t = {{{{{{{v}}}}}}}) |
44 | 43 | anbi1i 676 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((t ∈ ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c ∧ ⟪t,
⟪{{{{{w}}}}}, ⟪{{z}}, ⟪y,
x⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))))) ↔ (∃v t = {{{{{{{v}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{w}}}}}, ⟪{{z}}, ⟪y, x⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k ( Ins2k
Ins3k ( Sk
∘k SIk
◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))))) |
45 | | 19.41v 1901 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (∃v(t = {{{{{{{v}}}}}}} ∧
⟪t, ⟪{{{{{w}}}}}, ⟪{{z}}, ⟪y,
x⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))))) ↔ (∃v t = {{{{{{{v}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{w}}}}}, ⟪{{z}}, ⟪y, x⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k ( Ins2k
Ins3k ( Sk
∘k SIk
◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))))) |
46 | 44, 45 | bitr4i 243 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((t ∈ ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c ∧ ⟪t,
⟪{{{{{w}}}}}, ⟪{{z}}, ⟪y,
x⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))))) ↔ ∃v(t = {{{{{{{v}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{w}}}}}, ⟪{{z}}, ⟪y, x⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k ( Ins2k
Ins3k ( Sk
∘k SIk
◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))))) |
47 | 46 | exbii 1582 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (∃t(t ∈ ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c ∧ ⟪t,
⟪{{{{{w}}}}}, ⟪{{z}}, ⟪y,
x⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))))) ↔ ∃t∃v(t = {{{{{{{v}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{w}}}}}, ⟪{{z}}, ⟪y, x⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k ( Ins2k
Ins3k ( Sk
∘k SIk
◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))))) |
48 | | df-rex 2620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (∃t ∈ ℘1
℘1℘1℘1℘1℘11c⟪t, ⟪{{{{{w}}}}}, ⟪{{z}}, ⟪y,
x⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ↔ ∃t(t ∈
℘1℘1℘1℘1℘1℘11c ∧
⟪t, ⟪{{{{{w}}}}},
⟪{{z}}, ⟪y, x⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k ( Ins2k
Ins3k ( Sk
∘k SIk
◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))))) |
49 | | excom 1741 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (∃v∃t(t = {{{{{{{v}}}}}}} ∧
⟪t, ⟪{{{{{w}}}}}, ⟪{{z}}, ⟪y,
x⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))))) ↔ ∃t∃v(t = {{{{{{{v}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{w}}}}}, ⟪{{z}}, ⟪y, x⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k ( Ins2k
Ins3k ( Sk
∘k SIk
◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))))) |
50 | 47, 48, 49 | 3bitr4i 268 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (∃t ∈ ℘1
℘1℘1℘1℘1℘11c⟪t, ⟪{{{{{w}}}}}, ⟪{{z}}, ⟪y,
x⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ↔ ∃v∃t(t = {{{{{{{v}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{w}}}}}, ⟪{{z}}, ⟪y, x⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k ( Ins2k
Ins3k ( Sk
∘k SIk
◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))))) |
51 | | snex 4111 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ {{{{{{{v}}}}}}} ∈
V |
52 | | opkeq1 4059 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (t = {{{{{{{v}}}}}}} → ⟪t, ⟪{{{{{w}}}}}, ⟪{{z}}, ⟪y,
x⟫⟫⟫⟫ =
⟪{{{{{{{v}}}}}}},
⟪{{{{{w}}}}}, ⟪{{z}}, ⟪y,
x⟫⟫⟫⟫) |
53 | 52 | eleq1d 2419 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (t = {{{{{{{v}}}}}}} → (⟪t, ⟪{{{{{w}}}}}, ⟪{{z}}, ⟪y,
x⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ↔ ⟪{{{{{{{v}}}}}}},
⟪{{{{{w}}}}}, ⟪{{z}}, ⟪y, x⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k ( Ins2k
Ins3k ( Sk
∘k SIk
◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))))) |
54 | 51, 53 | ceqsexv 2894 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (∃t(t = {{{{{{{v}}}}}}} ∧
⟪t, ⟪{{{{{w}}}}}, ⟪{{z}}, ⟪y,
x⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))))) ↔ ⟪{{{{{{{v}}}}}}},
⟪{{{{{w}}}}}, ⟪{{z}}, ⟪y, x⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k ( Ins2k
Ins3k ( Sk
∘k SIk
◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))))) |
55 | | elin 3219 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(⟪{{{{{{{v}}}}}}},
⟪{{{{{w}}}}}, ⟪{{z}}, ⟪y,
x⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ↔ (⟪{{{{{{{v}}}}}}},
⟪{{{{{w}}}}}, ⟪{{z}}, ⟪y, x⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2k ( Ins2k
Ins3k ( Sk
∘k SIk
◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∧
⟪{{{{{{{v}}}}}}}, ⟪{{{{{w}}}}}, ⟪{{z}}, ⟪y, x⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk Imagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))))) |
56 | | elun 3220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(⟪{{{{{v}}}}},
⟪{{z}}, ⟪y, x⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ↔ (⟪{{{{{v}}}}}, ⟪{{z}}, ⟪y, x⟫⟫⟫ ∈ Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∨ ⟪{{{{{v}}}}}, ⟪{{z}}, ⟪y, x⟫⟫⟫ ∈ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c))) |
57 | | snex 4111 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ {{{v}}} ∈
V |
58 | 57, 12, 1 | otkelins2k 4255 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(⟪{{{{{v}}}}},
⟪{{z}}, ⟪y, x⟫⟫⟫ ∈ Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ↔ ⟪{{{v}}},
⟪y, x⟫⟫ ∈ Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))))) |
59 | | snex 4111 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ {v} ∈
V |
60 | 59, 35, 36 | otkelins3k 4256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(⟪{{{v}}}, ⟪y, x⟫⟫ ∈ Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ↔ ⟪{v}, y⟫ ∈ ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))))) |
61 | | vex 2862 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ v ∈
V |
62 | 61, 35 | setconslem1 4731 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (⟪{v}, y⟫
∈ ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ↔ ∃u ∈ y
v = Phi u) |
63 | 58, 60, 62 | 3bitri 262 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(⟪{{{{{v}}}}},
⟪{{z}}, ⟪y, x⟫⟫⟫ ∈ Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ↔ ∃u ∈ y
v = Phi u) |
64 | 57, 12, 1 | otkelins3k 4256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(⟪{{{{{v}}}}},
⟪{{z}}, ⟪y, x⟫⟫⟫ ∈ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k SIk ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ↔ ⟪{{{v}}}, {{z}}⟫ ∈ SIk SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k
SIk ∼ (( Ins2k Sk ⊕
Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) |
65 | | snex 4111 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ {{v}} ∈
V |
66 | | snex 4111 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ {z} ∈
V |
67 | 65, 66 | opksnelsik 4265 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(⟪{{{v}}}, {{z}}⟫ ∈
SIk SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k SIk ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ↔ ⟪{{v}}, {z}⟫ ∈ SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) |
68 | | vex 2862 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ z ∈
V |
69 | 59, 68 | opksnelsik 4265 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (⟪{{v}}, {z}⟫
∈ SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k SIk ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ↔ ⟪{v}, z⟫ ∈ (( Ins2k Sk ∩ Ins3k
SIk ∼ (( Ins2k Sk ⊕
Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) |
70 | 61, 68 | setconslem2 4732 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (⟪{v}, z⟫
∈ (( Ins2k Sk ∩ Ins3k SIk ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ↔ ∃u ∈
z v = ( Phi
u ∪ {0c})) |
71 | 69, 70 | bitri 240 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (⟪{{v}}, {z}⟫
∈ SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k SIk ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ↔ ∃u ∈
z v = ( Phi
u ∪ {0c})) |
72 | 64, 67, 71 | 3bitri 262 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(⟪{{{{{v}}}}},
⟪{{z}}, ⟪y, x⟫⟫⟫ ∈ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k SIk ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ↔ ∃u ∈
z v = ( Phi
u ∪ {0c})) |
73 | 63, 72 | orbi12i 507 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
((⟪{{{{{v}}}}},
⟪{{z}}, ⟪y, x⟫⟫⟫ ∈ Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∨ ⟪{{{{{v}}}}}, ⟪{{z}}, ⟪y, x⟫⟫⟫ ∈ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ↔ (∃u ∈
y v = Phi
u ∨ ∃u ∈
z v = ( Phi
u ∪ {0c}))) |
74 | 56, 73 | bitri 240 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(⟪{{{{{v}}}}},
⟪{{z}}, ⟪y, x⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ↔ (∃u ∈
y v = Phi
u ∨ ∃u ∈
z v = ( Phi
u ∪ {0c}))) |
75 | | snex 4111 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ {{{{{v}}}}} ∈
V |
76 | 75, 27, 16 | otkelins2k 4255 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(⟪{{{{{{{v}}}}}}},
⟪{{{{{w}}}}}, ⟪{{z}}, ⟪y,
x⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ↔ ⟪{{{{{v}}}}}, ⟪{{z}}, ⟪y, x⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c))) |
77 | | df-op 4566 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ 〈y, z〉 = ({v ∣ ∃u ∈ y v = Phi u} ∪ {v
∣ ∃u ∈ z v = ( Phi u ∪ {0c})}) |
78 | 77 | eleq2i 2417 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (v ∈ 〈y, z〉 ↔ v ∈ ({v ∣ ∃u ∈ y v = Phi u} ∪ {v
∣ ∃u ∈ z v = ( Phi u ∪ {0c})})) |
79 | | elun 3220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (v ∈ ({v ∣ ∃u ∈ y v = Phi u} ∪ {v
∣ ∃u ∈ z v = ( Phi u ∪ {0c})}) ↔ (v ∈ {v ∣ ∃u ∈ y v = Phi u} ∨ v ∈ {v ∣ ∃u ∈ z v = ( Phi u ∪ {0c})})) |
80 | | abid 2341 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (v ∈ {v ∣ ∃u ∈ y v = Phi u} ↔ ∃u ∈ y v = Phi u) |
81 | | abid 2341 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (v ∈ {v ∣ ∃u ∈ z v = ( Phi u ∪ {0c})} ↔ ∃u ∈ z v = ( Phi u ∪ {0c})) |
82 | 80, 81 | orbi12i 507 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((v ∈ {v ∣ ∃u ∈ y v = Phi u} ∨ v ∈ {v ∣ ∃u ∈ z v = ( Phi u ∪ {0c})}) ↔ (∃u ∈ y v = Phi u ∨ ∃u ∈ z v = ( Phi u ∪ {0c}))) |
83 | 78, 79, 82 | 3bitri 262 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (v ∈ 〈y, z〉 ↔ (∃u ∈ y v = Phi u ∨ ∃u ∈ z v = ( Phi u ∪ {0c}))) |
84 | 74, 76, 83 | 3bitr4i 268 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(⟪{{{{{{{v}}}}}}},
⟪{{{{{w}}}}}, ⟪{{z}}, ⟪y,
x⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ↔ v ∈ 〈y, z〉) |
85 | 75, 27, 16 | otkelins3k 4256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(⟪{{{{{{{v}}}}}}},
⟪{{{{{w}}}}}, ⟪{{z}}, ⟪y,
x⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k SIk SIk Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ (
Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ↔ ⟪{{{{{v}}}}}, {{{{{w}}}}}⟫ ∈
SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k SIk SIk Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ (
Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) |
86 | | snex 4111 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ {{{{v}}}} ∈
V |
87 | | snex 4111 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ {{{{w}}}} ∈
V |
88 | 86, 87 | opksnelsik 4265 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(⟪{{{{{v}}}}}, {{{{{w}}}}}⟫ ∈
SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k SIk SIk Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ (
Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ↔ ⟪{{{{v}}}}, {{{{w}}}}⟫ ∈
SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k SIk SIk Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ (
Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) |
89 | 57, 32 | opksnelsik 4265 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(⟪{{{{v}}}}, {{{{w}}}}⟫ ∈
SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k SIk SIk Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ (
Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ↔ ⟪{{{v}}}, {{{w}}}⟫ ∈
SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k SIk SIk Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ (
Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) |
90 | | snex 4111 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ {{w}} ∈
V |
91 | 65, 90 | opksnelsik 4265 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(⟪{{{v}}}, {{{w}}}⟫ ∈
SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k SIk SIk Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ (
Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ↔ ⟪{{v}}, {{w}}⟫ ∈
SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k SIk SIk Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ (
Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) |
92 | 59, 34 | opksnelsik 4265 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (⟪{{v}}, {{w}}⟫ ∈
SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k SIk SIk Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ (
Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ↔ ⟪{v}, {w}⟫
∈ SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k SIk SIk Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ (
Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) |
93 | 61, 38 | opksnelsik 4265 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (⟪{v}, {w}⟫
∈ SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k SIk SIk Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ (
Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ↔ ⟪v, w⟫
∈
Imagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k SIk SIk Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ (
Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) |
94 | 61, 38 | opkelimagek 4272 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (⟪v, w⟫
∈
Imagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k SIk SIk Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ (
Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ↔ w =
(((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k SIk SIk Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ (
Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) “k v)) |
95 | | dfphi2 4569 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ Phi v =
(((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k SIk SIk Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ (
Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) “k v) |
96 | 95 | eqeq2i 2363 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (w = Phi v ↔ w =
(((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k SIk SIk Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ (
Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) “k v)) |
97 | 94, 96 | bitr4i 243 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (⟪v, w⟫
∈
Imagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k SIk SIk Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ (
Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ↔ w =
Phi v) |
98 | 92, 93, 97 | 3bitri 262 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (⟪{{v}}, {{w}}⟫ ∈
SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k SIk SIk Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ (
Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ↔ w =
Phi v) |
99 | 89, 91, 98 | 3bitri 262 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(⟪{{{{v}}}}, {{{{w}}}}⟫ ∈
SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k SIk SIk Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ (
Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ↔ w =
Phi v) |
100 | 85, 88, 99 | 3bitri 262 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(⟪{{{{{{{v}}}}}}},
⟪{{{{{w}}}}}, ⟪{{z}}, ⟪y,
x⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k SIk SIk Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ (
Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ↔ w =
Phi v) |
101 | 84, 100 | |