Theorem swapres 5513

Description: Bijection law for restrictions of Swap . (Contributed by SF, 23-Feb-2015.) (Modified by Scott Fenton, 17-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
swapres	⊢ ( Swap ↾ A):A–1-1-onto→◡A

Proof of Theorem swapres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swapf1o 5512	. . . 4 ⊢ Swap :V–1-1-onto→V
2		f1of1 5287	. . . 4 ⊢ ( Swap :V–1-1-onto→V → Swap :V–1-1→V)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Swap :V–1-1→V
4		ssv 3292	. . 3 ⊢ A ⊆ V
5		f1ores 5301	. . 3 ⊢ (( Swap :V–1-1→V ∧ A ⊆ V) → ( Swap ↾ A):A–1-1-onto→( Swap “ A))
6	3, 4, 5	mp2an 653	. 2 ⊢ ( Swap ↾ A):A–1-1-onto→( Swap “ A)
7		dfcnv2 5101	. . 3 ⊢ ◡A = ( Swap “ A)
8		f1oeq3 5284	. . 3 ⊢ (◡A = ( Swap “ A) → (( Swap ↾ A):A–1-1-onto→◡A ↔ ( Swap ↾ A):A–1-1-onto→( Swap “ A)))
9	7, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ (( Swap ↾ A):A–1-1-onto→◡A ↔ ( Swap ↾ A):A–1-1-onto→( Swap “ A))
10	6, 9	mpbir 200	1 ⊢ ( Swap ↾ A):A–1-1-onto→◡A

Syntax hints:   ↔ wb 176   = wceq 1642  Vcvv 2860   ⊆ wss 3258   Swap cswap 4719   “ cima 4723  ^◡ccnv 4772   ↾ cres 4775  –1-1→wf1 4779  –1-1-onto→wf1o 4781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-swap 4725  df-co 4727  df-ima 4728  df-id 4768  df-xp 4785  df-cnv 4786  df-rn 4787  df-dm 4788  df-res 4789  df-fun 4790  df-fn 4791  df-f 4792  df-f1 4793  df-fo 4794  df-f1o 4795

This theorem is referenced by:  cnven  6046  xpcomen  6053