Theorem sinkpi 13483

Description: The sine of an integer multiple of pi is 0. (Contributed by NM, 11-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sinkpi	|- ( K e. ZZ -> ( sin ` ( K x. pi ) ) = 0 )

Proof of Theorem sinkpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9204	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
2		picn 13423	. . . . 5 |- pi e. CC
3		mulcl 7888	. . . . 5 |- ( ( K e. CC /\ pi e. CC ) -> ( K x. pi ) e. CC )
4	1, 2, 3	sylancl 411	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( K x. pi ) e. CC )
5	4	addid2d 8056	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( 0 + ( K x. pi ) ) = ( K x. pi ) )
6	5	fveq2d 5498	. 2 |- ( K e. ZZ -> ( sin ` ( 0 + ( K x. pi ) ) ) = ( sin ` ( K x. pi ) ) )
7		0cn 7899	. . . . 5 |- 0 e. CC
8		addcl 7886	. . . . 5 |- ( ( 0 e. CC /\ ( K x. pi ) e. CC ) -> ( 0 + ( K x. pi ) ) e. CC )
9	7, 4, 8	sylancr 412	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( 0 + ( K x. pi ) ) e. CC )
10	9	sincld 11660	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( sin ` ( 0 + ( K x. pi ) ) ) e. CC )
11		abssinper 13482	. . . . 5 |- ( ( 0 e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( abs ` ( sin ` ( 0 + ( K x. pi ) ) ) ) = ( abs ` ( sin ` 0 ) ) )
12	7, 11	mpan 422	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( abs ` ( sin ` ( 0 + ( K x. pi ) ) ) ) = ( abs ` ( sin ` 0 ) ) )
13		sin0 11679	. . . . . 6 |- ( sin ` 0 ) = 0
14	13	fveq2i 5497	. . . . 5 |- ( abs ` ( sin ` 0 ) ) = ( abs ` 0 )
15		abs0 11009	. . . . 5 |- ( abs ` 0 ) = 0
16	14, 15	eqtri 2191	. . . 4 |- ( abs ` ( sin ` 0 ) ) = 0
17	12, 16	eqtrdi 2219	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( abs ` ( sin ` ( 0 + ( K x. pi ) ) ) ) = 0 )
18	10, 17	abs00d 11137	. 2 |- ( K e. ZZ -> ( sin ` ( 0 + ( K x. pi ) ) ) = 0 )
19	6, 18	eqtr3d 2205	1 |- ( K e. ZZ -> ( sin ` ( K x. pi ) ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1348   e. wcel 2141   ` cfv 5196  (class class class)co 5850   CCcc 7759   0cc0 7761   + caddc 7764   x. cmul 7766   ZZcz 9199   abscabs 10948   sincsin 11594   picpi 11597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879  ax-arch 7880  ax-caucvg 7881  ax-pre-suploc 7882  ax-addf 7883  ax-mulf 7884

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-disj 3965  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-of 6058  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-irdg 6346  df-frec 6367  df-1o 6392  df-oadd 6396  df-er 6509  df-map 6624  df-pm 6625  df-en 6715  df-dom 6716  df-fin 6717  df-sup 6957  df-inf 6958  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-3 8925  df-4 8926  df-5 8927  df-6 8928  df-7 8929  df-8 8930  df-9 8931  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-q 9566  df-rp 9598  df-xneg 9716  df-xadd 9717  df-ioo 9836  df-ioc 9837  df-ico 9838  df-icc 9839  df-fz 9953  df-fzo 10086  df-seqfrec 10389  df-exp 10463  df-fac 10647  df-bc 10669  df-ihash 10697  df-shft 10766  df-cj 10793  df-re 10794  df-im 10795  df-rsqrt 10949  df-abs 10950  df-clim 11229  df-sumdc 11304  df-ef 11598  df-sin 11600  df-cos 11601  df-pi 11603  df-rest 12567  df-topgen 12586  df-psmet 12702  df-xmet 12703  df-met 12704  df-bl 12705  df-mopn 12706  df-top 12711  df-topon 12724  df-bases 12756  df-ntr 12811  df-cn 12903  df-cnp 12904  df-tx 12968  df-cncf 13273  df-limced 13340  df-dvap 13341

This theorem is referenced by: (None)