Theorem cos2kpi 15334

Description: If K is an integer, then the cosine of 2 K pi is 1. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cos2kpi	|- ( K e. ZZ -> ( cos ` ( K x. ( 2 x. pi ) ) ) = 1 )

Proof of Theorem cos2kpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9390	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
2		2cn 9120	. . . . . 6 |- 2 e. CC
3		picn 15309	. . . . . 6 |- pi e. CC
4	2, 3	mulcli 8090	. . . . 5 |- ( 2 x. pi ) e. CC
5		mulcl 8065	. . . . 5 |- ( ( K e. CC /\ ( 2 x. pi ) e. CC ) -> ( K x. ( 2 x. pi ) ) e. CC )
6	1, 4, 5	sylancl 413	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( K x. ( 2 x. pi ) ) e. CC )
7	6	addlidd 8235	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( 0 + ( K x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( K x. ( 2 x. pi ) ) )
8	7	fveq2d 5590	. 2 |- ( K e. ZZ -> ( cos ` ( 0 + ( K x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( cos ` ( K x. ( 2 x. pi ) ) ) )
9		0cn 8077	. . . 4 |- 0 e. CC
10		cosper 15332	. . . 4 |- ( ( 0 e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( cos ` ( 0 + ( K x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( cos ` 0 ) )
11	9, 10	mpan 424	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( cos ` ( 0 + ( K x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( cos ` 0 ) )
12		cos0 12091	. . 3 |- ( cos ` 0 ) = 1
13	11, 12	eqtrdi 2255	. 2 |- ( K e. ZZ -> ( cos ` ( 0 + ( K x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = 1 )
14	8, 13	eqtr3d 2241	1 |- ( K e. ZZ -> ( cos ` ( K x. ( 2 x. pi ) ) ) = 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2177   ` cfv 5277  (class class class)co 5954   CCcc 7936   0cc0 7938   1c1 7939   + caddc 7941   x. cmul 7943   2c2 9100   ZZcz 9385   cosccos 12006   picpi 12008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4164  ax-sep 4167  ax-nul 4175  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-iinf 4641  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-mulrcl 8037  ax-addcom 8038  ax-mulcom 8039  ax-addass 8040  ax-mulass 8041  ax-distr 8042  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-1rid 8045  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-precex 8048  ax-cnre 8049  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-ltwlin 8051  ax-pre-lttrn 8052  ax-pre-apti 8053  ax-pre-ltadd 8054  ax-pre-mulgt0 8055  ax-pre-mulext 8056  ax-arch 8057  ax-caucvg 8058  ax-pre-suploc 8059  ax-addf 8060  ax-mulf 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-if 3574  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-iun 3932  df-disj 4025  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-tr 4148  df-id 4345  df-po 4348  df-iso 4349  df-iord 4418  df-on 4420  df-ilim 4421  df-suc 4423  df-iom 4644  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-isom 5286  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-of 6168  df-1st 6236  df-2nd 6237  df-recs 6401  df-irdg 6466  df-frec 6487  df-1o 6512  df-oadd 6516  df-er 6630  df-map 6747  df-pm 6748  df-en 6838  df-dom 6839  df-fin 6840  df-sup 7098  df-inf 7099  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-xr 8124  df-ltxr 8125  df-le 8126  df-sub 8258  df-neg 8259  df-reap 8661  df-ap 8668  df-div 8759  df-inn 9050  df-2 9108  df-3 9109  df-4 9110  df-5 9111  df-6 9112  df-7 9113  df-8 9114  df-9 9115  df-n0 9309  df-z 9386  df-uz 9662  df-q 9754  df-rp 9789  df-xneg 9907  df-xadd 9908  df-ioo 10027  df-ioc 10028  df-ico 10029  df-icc 10030  df-fz 10144  df-fzo 10278  df-seqfrec 10606  df-exp 10697  df-fac 10884  df-bc 10906  df-ihash 10934  df-shft 11176  df-cj 11203  df-re 11204  df-im 11205  df-rsqrt 11359  df-abs 11360  df-clim 11640  df-sumdc 11715  df-ef 12009  df-sin 12011  df-cos 12012  df-pi 12014  df-rest 13123  df-topgen 13142  df-psmet 14355  df-xmet 14356  df-met 14357  df-bl 14358  df-mopn 14359  df-top 14520  df-topon 14533  df-bases 14565  df-ntr 14618  df-cn 14710  df-cnp 14711  df-tx 14775  df-cncf 15093  df-limced 15178  df-dvap 15179

This theorem is referenced by:  coskpi  15370