ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cos2kpi Unicode version

Theorem cos2kpi 13331
Description: If  K is an integer, then the cosine of  2 K pi is 1. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
cos2kpi  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( cos `  ( K  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  1 )

Proof of Theorem cos2kpi
StepHypRef Expression
1 zcn 9190 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
2 2cn 8922 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
3 picn 13306 . . . . . 6  |-  pi  e.  CC
42, 3mulcli 7898 . . . . 5  |-  ( 2  x.  pi )  e.  CC
5 mulcl 7874 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  CC  /\  ( 2  x.  pi )  e.  CC )  ->  ( K  x.  (
2  x.  pi ) )  e.  CC )
61, 4, 5sylancl 410 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  x.  ( 2  x.  pi ) )  e.  CC )
76addid2d 8042 . . 3  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
0  +  ( K  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( K  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
87fveq2d 5487 . 2  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( cos `  ( 0  +  ( K  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )  =  ( cos `  ( K  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
9 0cn 7885 . . . 4  |-  0  e.  CC
10 cosper 13329 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( cos `  (
0  +  ( K  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( cos `  0 ) )
119, 10mpan 421 . . 3  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( cos `  ( 0  +  ( K  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )  =  ( cos `  0
) )
12 cos0 11665 . . 3  |-  ( cos `  0 )  =  1
1311, 12eqtrdi 2213 . 2  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( cos `  ( 0  +  ( K  x.  (
2  x.  pi ) ) ) )  =  1 )
148, 13eqtr3d 2199 1  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( cos `  ( K  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1342    e. wcel 2135   ` cfv 5185  (class class class)co 5839   CCcc 7745   0cc0 7747   1c1 7748    + caddc 7750    x. cmul 7752   2c2 8902   ZZcz 9185   cosccos 11580   picpi 11582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4094  ax-sep 4097  ax-nul 4105  ax-pow 4150  ax-pr 4184  ax-un 4408  ax-setind 4511  ax-iinf 4562  ax-cnex 7838  ax-resscn 7839  ax-1cn 7840  ax-1re 7841  ax-icn 7842  ax-addcl 7843  ax-addrcl 7844  ax-mulcl 7845  ax-mulrcl 7846  ax-addcom 7847  ax-mulcom 7848  ax-addass 7849  ax-mulass 7850  ax-distr 7851  ax-i2m1 7852  ax-0lt1 7853  ax-1rid 7854  ax-0id 7855  ax-rnegex 7856  ax-precex 7857  ax-cnre 7858  ax-pre-ltirr 7859  ax-pre-ltwlin 7860  ax-pre-lttrn 7861  ax-pre-apti 7862  ax-pre-ltadd 7863  ax-pre-mulgt0 7864  ax-pre-mulext 7865  ax-arch 7866  ax-caucvg 7867  ax-pre-suploc 7868  ax-addf 7869  ax-mulf 7870
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2726  df-sbc 2950  df-csb 3044  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3408  df-if 3519  df-pw 3558  df-sn 3579  df-pr 3580  df-op 3582  df-uni 3787  df-int 3822  df-iun 3865  df-disj 3957  df-br 3980  df-opab 4041  df-mpt 4042  df-tr 4078  df-id 4268  df-po 4271  df-iso 4272  df-iord 4341  df-on 4343  df-ilim 4344  df-suc 4346  df-iom 4565  df-xp 4607  df-rel 4608  df-cnv 4609  df-co 4610  df-dm 4611  df-rn 4612  df-res 4613  df-ima 4614  df-iota 5150  df-fun 5187  df-fn 5188  df-f 5189  df-f1 5190  df-fo 5191  df-f1o 5192  df-fv 5193  df-isom 5194  df-riota 5795  df-ov 5842  df-oprab 5843  df-mpo 5844  df-of 6047  df-1st 6103  df-2nd 6104  df-recs 6267  df-irdg 6332  df-frec 6353  df-1o 6378  df-oadd 6382  df-er 6495  df-map 6610  df-pm 6611  df-en 6701  df-dom 6702  df-fin 6703  df-sup 6943  df-inf 6944  df-pnf 7929  df-mnf 7930  df-xr 7931  df-ltxr 7932  df-le 7933  df-sub 8065  df-neg 8066  df-reap 8467  df-ap 8474  df-div 8563  df-inn 8852  df-2 8910  df-3 8911  df-4 8912  df-5 8913  df-6 8914  df-7 8915  df-8 8916  df-9 8917  df-n0 9109  df-z 9186  df-uz 9461  df-q 9552  df-rp 9584  df-xneg 9702  df-xadd 9703  df-ioo 9822  df-ioc 9823  df-ico 9824  df-icc 9825  df-fz 9939  df-fzo 10072  df-seqfrec 10375  df-exp 10449  df-fac 10633  df-bc 10655  df-ihash 10683  df-shft 10751  df-cj 10778  df-re 10779  df-im 10780  df-rsqrt 10934  df-abs 10935  df-clim 11214  df-sumdc 11289  df-ef 11583  df-sin 11585  df-cos 11586  df-pi 11588  df-rest 12551  df-topgen 12570  df-psmet 12585  df-xmet 12586  df-met 12587  df-bl 12588  df-mopn 12589  df-top 12594  df-topon 12607  df-bases 12639  df-ntr 12694  df-cn 12786  df-cnp 12787  df-tx 12851  df-cncf 13156  df-limced 13223  df-dvap 13224
This theorem is referenced by:  coskpi  13367
  Copyright terms: Public domain W3C validator