Theorem bezoutlemex 11692

Description: Lemma for Bézout's identity. Existence of a number which we will later show to be the greater common divisor and its decomposition into cofactors. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 3-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemex	|- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, d, x, y   z, A, d   B, d, x, y   z, B

Proof of Theorem bezoutlemex

Dummy variables a b s t w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5782	. . . . . . . 8 |- ( y = t -> ( B x. y ) = ( B x. t ) )
2	1	oveq2d 5790	. . . . . . 7 |- ( y = t -> ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) = ( ( A x. x ) + ( B x. t ) ) )
3	2	eqeq2d 2151	. . . . . 6 |- ( y = t -> ( d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) <-> d = ( ( A x. x ) + ( B x. t ) ) ) )
4	3	cbvrexv 2655	. . . . 5 |- ( E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) <-> E. t e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. t ) ) )
5	4	rexbii 2442	. . . 4 |- ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) <-> E. x e. ZZ E. t e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. t ) ) )
6		oveq2 5782	. . . . . . . 8 |- ( x = s -> ( A x. x ) = ( A x. s ) )
7	6	oveq1d 5789	. . . . . . 7 |- ( x = s -> ( ( A x. x ) + ( B x. t ) ) = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
8	7	eqeq2d 2151	. . . . . 6 |- ( x = s -> ( d = ( ( A x. x ) + ( B x. t ) ) <-> d = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) )
9	8	rexbidv 2438	. . . . 5 |- ( x = s -> ( E. t e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. t ) ) <-> E. t e. ZZ d = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) )
10	9	cbvrexv 2655	. . . 4 |- ( E. x e. ZZ E. t e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. t ) ) <-> E. s e. ZZ E. t e. ZZ d = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
11	5, 10	bitri 183	. . 3 |- ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) <-> E. s e. ZZ E. t e. ZZ d = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
12		simpl 108	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> A e. NN0 )
13		simpr 109	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> B e. NN0 )
14	11, 12, 13	bezoutlemb 11691	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> [. B / d ]. E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) )
15		dfsbcq2 2912	. . . 4 |- ( b = B -> ( [ b / d ] E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) <-> [. B / d ]. E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
16		breq2 3933	. . . . . . . . 9 |- ( b = B -> ( z || b <-> z || B ) )
17	16	anbi2d 459	. . . . . . . 8 |- ( b = B -> ( ( z || A /\ z || b ) <-> ( z || A /\ z || B ) ) )
18	17	imbi2d 229	. . . . . . 7 |- ( b = B -> ( ( z || d -> ( z || A /\ z || b ) ) <-> ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
19	18	ralbidv 2437	. . . . . 6 |- ( b = B -> ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || b ) ) <-> A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
20	19	anbi1d 460	. . . . 5 |- ( b = B -> ( ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) <-> ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
21	20	rexbidv 2438	. . . 4 |- ( b = B -> ( E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) <-> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
22	15, 21	imbi12d 233	. . 3 |- ( b = B -> ( ( [ b / d ] E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) <-> ( [. B / d ]. E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) ) )
23	11, 12, 13	bezoutlema 11690	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> [. A / d ]. E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) )
24		dfsbcq2 2912	. . . . . 6 |- ( a = A -> ( [ a / d ] E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) <-> [. A / d ]. E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
25		breq2 3933	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = A -> ( z || a <-> z || A ) )
26	25	anbi1d 460	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = A -> ( ( z || a /\ z || b ) <-> ( z || A /\ z || b ) ) )
27	26	imbi2d 229	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = A -> ( ( z || d -> ( z || a /\ z || b ) ) <-> ( z || d -> ( z || A /\ z || b ) ) ) )
28	27	ralbidv 2437	. . . . . . . . . 10 |- ( a = A -> ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || a /\ z || b ) ) <-> A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || b ) ) ) )
29	28	anbi1d 460	. . . . . . . . 9 |- ( a = A -> ( ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || a /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) <-> ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
30	29	rexbidv 2438	. . . . . . . 8 |- ( a = A -> ( E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || a /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) <-> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
31	30	imbi2d 229	. . . . . . 7 |- ( a = A -> ( ( [ b / d ] E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || a /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) <-> ( [ b / d ] E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) ) )
32	31	ralbidv 2437	. . . . . 6 |- ( a = A -> ( A. b e. NN0 ( [ b / d ] E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || a /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) <-> A. b e. NN0 ( [ b / d ] E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) ) )
33	24, 32	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( a = A -> ( ( [ a / d ] E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> A. b e. NN0 ( [ b / d ] E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || a /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) ) <-> ( [. A / d ]. E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> A. b e. NN0 ( [ b / d ] E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) ) ) )
34		breq1 3932	. . . . . . . 8 |- ( z = w -> ( z || d <-> w || d ) )
35		breq1 3932	. . . . . . . . 9 |- ( z = w -> ( z || a <-> w || a ) )
36		breq1 3932	. . . . . . . . 9 |- ( z = w -> ( z || b <-> w || b ) )
37	35, 36	anbi12d 464	. . . . . . . 8 |- ( z = w -> ( ( z || a /\ z || b ) <-> ( w || a /\ w || b ) ) )
38	34, 37	imbi12d 233	. . . . . . 7 |- ( z = w -> ( ( z || d -> ( z || a /\ z || b ) ) <-> ( w || d -> ( w || a /\ w || b ) ) ) )
39	38	cbvralv 2654	. . . . . 6 |- ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || a /\ z || b ) ) <-> A. w e. NN0 ( w || d -> ( w || a /\ w || b ) ) )
40	11, 39, 12, 13	bezoutlemmain 11689	. . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> A. a e. NN0 ( [ a / d ] E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> A. b e. NN0 ( [ b / d ] E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || a /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) ) )
41	33, 40, 12	rspcdva 2794	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> ( [. A / d ]. E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> A. b e. NN0 ( [ b / d ] E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) ) )
42	23, 41	mpd 13	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> A. b e. NN0 ( [ b / d ] E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
43	22, 42, 13	rspcdva 2794	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> ( [. B / d ]. E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
44	14, 43	mpd 13	1 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   [wsb 1735   A.wral 2416   E.wrex 2417   [.wsbc 2909   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   + caddc 7626   x. cmul 7628   NN0cn0 8980   ZZcz 9057   || cdvds 11496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7714  ax-resscn 7715  ax-1cn 7716  ax-1re 7717  ax-icn 7718  ax-addcl 7719  ax-addrcl 7720  ax-mulcl 7721  ax-mulrcl 7722  ax-addcom 7723  ax-mulcom 7724  ax-addass 7725  ax-mulass 7726  ax-distr 7727  ax-i2m1 7728  ax-0lt1 7729  ax-1rid 7730  ax-0id 7731  ax-rnegex 7732  ax-precex 7733  ax-cnre 7734  ax-pre-ltirr 7735  ax-pre-ltwlin 7736  ax-pre-lttrn 7737  ax-pre-apti 7738  ax-pre-ltadd 7739  ax-pre-mulgt0 7740  ax-pre-mulext 7741  ax-arch 7742

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7805  df-mnf 7806  df-xr 7807  df-ltxr 7808  df-le 7809  df-sub 7938  df-neg 7939  df-reap 8340  df-ap 8347  df-div 8436  df-inn 8724  df-2 8782  df-n0 8981  df-z 9058  df-uz 9330  df-q 9415  df-rp 9445  df-fz 9794  df-fl 10046  df-mod 10099  df-seqfrec 10222  df-exp 10296  df-cj 10617  df-re 10618  df-im 10619  df-rsqrt 10773  df-abs 10774  df-dvds 11497

This theorem is referenced by:  bezoutlemzz  11693