Theorem bezoutlemex 12034

Description: Lemma for Bézout's identity. Existence of a number which we will later show to be the greater common divisor and its decomposition into cofactors. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 3-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemex	|- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, d, x, y   z, A, d   B, d, x, y   z, B

Proof of Theorem bezoutlemex

Dummy variables a b s t w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5904	. . . . . . . 8 |- ( y = t -> ( B x. y ) = ( B x. t ) )
2	1	oveq2d 5912	. . . . . . 7 |- ( y = t -> ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) = ( ( A x. x ) + ( B x. t ) ) )
3	2	eqeq2d 2201	. . . . . 6 |- ( y = t -> ( d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) <-> d = ( ( A x. x ) + ( B x. t ) ) ) )
4	3	cbvrexv 2719	. . . . 5 |- ( E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) <-> E. t e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. t ) ) )
5	4	rexbii 2497	. . . 4 |- ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) <-> E. x e. ZZ E. t e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. t ) ) )
6		oveq2 5904	. . . . . . . 8 |- ( x = s -> ( A x. x ) = ( A x. s ) )
7	6	oveq1d 5911	. . . . . . 7 |- ( x = s -> ( ( A x. x ) + ( B x. t ) ) = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
8	7	eqeq2d 2201	. . . . . 6 |- ( x = s -> ( d = ( ( A x. x ) + ( B x. t ) ) <-> d = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) )
9	8	rexbidv 2491	. . . . 5 |- ( x = s -> ( E. t e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. t ) ) <-> E. t e. ZZ d = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) ) )
10	9	cbvrexv 2719	. . . 4 |- ( E. x e. ZZ E. t e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. t ) ) <-> E. s e. ZZ E. t e. ZZ d = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
11	5, 10	bitri 184	. . 3 |- ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) <-> E. s e. ZZ E. t e. ZZ d = ( ( A x. s ) + ( B x. t ) ) )
12		simpl 109	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> A e. NN0 )
13		simpr 110	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> B e. NN0 )
14	11, 12, 13	bezoutlemb 12033	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> [. B / d ]. E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) )
15		dfsbcq2 2980	. . . 4 |- ( b = B -> ( [ b / d ] E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) <-> [. B / d ]. E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
16		breq2 4022	. . . . . . . . 9 |- ( b = B -> ( z || b <-> z || B ) )
17	16	anbi2d 464	. . . . . . . 8 |- ( b = B -> ( ( z || A /\ z || b ) <-> ( z || A /\ z || B ) ) )
18	17	imbi2d 230	. . . . . . 7 |- ( b = B -> ( ( z || d -> ( z || A /\ z || b ) ) <-> ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
19	18	ralbidv 2490	. . . . . 6 |- ( b = B -> ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || b ) ) <-> A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
20	19	anbi1d 465	. . . . 5 |- ( b = B -> ( ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) <-> ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
21	20	rexbidv 2491	. . . 4 |- ( b = B -> ( E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) <-> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
22	15, 21	imbi12d 234	. . 3 |- ( b = B -> ( ( [ b / d ] E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) <-> ( [. B / d ]. E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) ) )
23	11, 12, 13	bezoutlema 12032	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> [. A / d ]. E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) )
24		dfsbcq2 2980	. . . . . 6 |- ( a = A -> ( [ a / d ] E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) <-> [. A / d ]. E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
25		breq2 4022	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = A -> ( z || a <-> z || A ) )
26	25	anbi1d 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = A -> ( ( z || a /\ z || b ) <-> ( z || A /\ z || b ) ) )
27	26	imbi2d 230	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = A -> ( ( z || d -> ( z || a /\ z || b ) ) <-> ( z || d -> ( z || A /\ z || b ) ) ) )
28	27	ralbidv 2490	. . . . . . . . . 10 |- ( a = A -> ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || a /\ z || b ) ) <-> A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || b ) ) ) )
29	28	anbi1d 465	. . . . . . . . 9 |- ( a = A -> ( ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || a /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) <-> ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
30	29	rexbidv 2491	. . . . . . . 8 |- ( a = A -> ( E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || a /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) <-> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
31	30	imbi2d 230	. . . . . . 7 |- ( a = A -> ( ( [ b / d ] E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || a /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) <-> ( [ b / d ] E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) ) )
32	31	ralbidv 2490	. . . . . 6 |- ( a = A -> ( A. b e. NN0 ( [ b / d ] E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || a /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) <-> A. b e. NN0 ( [ b / d ] E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) ) )
33	24, 32	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( a = A -> ( ( [ a / d ] E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> A. b e. NN0 ( [ b / d ] E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || a /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) ) <-> ( [. A / d ]. E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> A. b e. NN0 ( [ b / d ] E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) ) ) )
34		breq1 4021	. . . . . . . 8 |- ( z = w -> ( z || d <-> w || d ) )
35		breq1 4021	. . . . . . . . 9 |- ( z = w -> ( z || a <-> w || a ) )
36		breq1 4021	. . . . . . . . 9 |- ( z = w -> ( z || b <-> w || b ) )
37	35, 36	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( z = w -> ( ( z || a /\ z || b ) <-> ( w || a /\ w || b ) ) )
38	34, 37	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( z = w -> ( ( z || d -> ( z || a /\ z || b ) ) <-> ( w || d -> ( w || a /\ w || b ) ) ) )
39	38	cbvralv 2718	. . . . . 6 |- ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || a /\ z || b ) ) <-> A. w e. NN0 ( w || d -> ( w || a /\ w || b ) ) )
40	11, 39, 12, 13	bezoutlemmain 12031	. . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> A. a e. NN0 ( [ a / d ] E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> A. b e. NN0 ( [ b / d ] E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || a /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) ) )
41	33, 40, 12	rspcdva 2861	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> ( [. A / d ]. E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> A. b e. NN0 ( [ b / d ] E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) ) )
42	23, 41	mpd 13	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> A. b e. NN0 ( [ b / d ] E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || b ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
43	22, 42, 13	rspcdva 2861	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> ( [. B / d ]. E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
44	14, 43	mpd 13	1 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   [wsb 1773   e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469   [.wsbc 2977   class class class wbr 4018  (class class class)co 5896   + caddc 7844   x. cmul 7846   NN0cn0 9206   ZZcz 9283   || cdvds 11826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-frec 6416  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-q 9650  df-rp 9684  df-fz 10039  df-fl 10301  df-mod 10354  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040  df-dvds 11827

This theorem is referenced by:  bezoutlemzz  12035