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Theorem bezoutlemex 11689
Description: Lemma for Bézout's identity. Existence of a number which we will later show to be the greater common divisor and its decomposition into cofactors. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 3-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
bezoutlemex  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, d, x, y    z, A, d    B, d, x, y    z, B

Proof of Theorem bezoutlemex
Dummy variables  a  b  s  t  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5782 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  t  ->  ( B  x.  y )  =  ( B  x.  t ) )
21oveq2d 5790 . . . . . . 7  |-  ( y  =  t  ->  (
( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  t
) ) )
32eqeq2d 2151 . . . . . 6  |-  ( y  =  t  ->  (
d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) )  <->  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  t ) ) ) )
43cbvrexv 2655 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  <->  E. t  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  t ) ) )
54rexbii 2442 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  <->  E. x  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  t ) ) )
6 oveq2 5782 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  s  ->  ( A  x.  x )  =  ( A  x.  s ) )
76oveq1d 5789 . . . . . . 7  |-  ( x  =  s  ->  (
( A  x.  x
)  +  ( B  x.  t ) )  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) ) )
87eqeq2d 2151 . . . . . 6  |-  ( x  =  s  ->  (
d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  t ) )  <->  d  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) ) )
98rexbidv 2438 . . . . 5  |-  ( x  =  s  ->  ( E. t  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  t ) )  <->  E. t  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  s
)  +  ( B  x.  t ) ) ) )
109cbvrexv 2655 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  t
) )  <->  E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  s
)  +  ( B  x.  t ) ) )
115, 10bitri 183 . . 3  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  <->  E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  s
)  +  ( B  x.  t ) ) )
12 simpl 108 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  ->  A  e.  NN0 )
13 simpr 109 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  ->  B  e.  NN0 )
1411, 12, 13bezoutlemb 11688 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  ->  [. B  /  d ]. E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) )
15 dfsbcq2 2912 . . . 4  |-  ( b  =  B  ->  ( [ b  /  d ] E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  <->  [. B  / 
d ]. E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
16 breq2 3933 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  B  ->  (
z  ||  b  <->  z  ||  B ) )
1716anbi2d 459 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  B  ->  (
( z  ||  A  /\  z  ||  b )  <-> 
( z  ||  A  /\  z  ||  B ) ) )
1817imbi2d 229 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  (
( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  b ) )  <->  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) ) ) )
1918ralbidv 2437 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  b ) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) ) ) )
2019anbi1d 460 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  (
( A. z  e. 
NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  b
) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )  <->  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) ) )
2120rexbidv 2438 . . . 4  |-  ( b  =  B  ->  ( E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  b ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )  <->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) ) )
2215, 21imbi12d 233 . . 3  |-  ( b  =  B  ->  (
( [ b  / 
d ] E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  b ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )  <->  ( [. B  /  d ]. E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) ) ) )
2311, 12, 13bezoutlema 11687 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  ->  [. A  /  d ]. E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) )
24 dfsbcq2 2912 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  ( [ a  /  d ] E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  <->  [. A  / 
d ]. E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
25 breq2 3933 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  A  ->  (
z  ||  a  <->  z  ||  A ) )
2625anbi1d 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  A  ->  (
( z  ||  a  /\  z  ||  b )  <-> 
( z  ||  A  /\  z  ||  b ) ) )
2726imbi2d 229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  A  ->  (
( z  ||  d  ->  ( z  ||  a  /\  z  ||  b ) )  <->  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  b
) ) ) )
2827ralbidv 2437 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  A  ->  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  a  /\  z  ||  b ) )  <->  A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  b ) ) ) )
2928anbi1d 460 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  A  ->  (
( A. z  e. 
NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  a  /\  z  ||  b
) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )  <->  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  b
) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) ) )
3029rexbidv 2438 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  ( E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  a  /\  z  ||  b ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )  <->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  b ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) ) )
3130imbi2d 229 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
( [ b  / 
d ] E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  a  /\  z  ||  b ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )  <->  ( [
b  /  d ] E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  b
) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) ) ) )
3231ralbidv 2437 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  ( A. b  e.  NN0  ( [ b  /  d ] E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  a  /\  z  ||  b
) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )  <->  A. b  e.  NN0  ( [ b  /  d ] E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  b ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) ) ) )
3324, 32imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
( [ a  / 
d ] E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  ->  A. b  e.  NN0  ( [ b  /  d ] E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  a  /\  z  ||  b
) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) ) )  <->  ( [. A  /  d ]. E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  ->  A. b  e.  NN0  ( [ b  /  d ] E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  b
) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) ) ) ) )
34 breq1 3932 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  (
z  ||  d  <->  w  ||  d
) )
35 breq1 3932 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
z  ||  a  <->  w  ||  a
) )
36 breq1 3932 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
z  ||  b  <->  w  ||  b
) )
3735, 36anbi12d 464 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  (
( z  ||  a  /\  z  ||  b )  <-> 
( w  ||  a  /\  w  ||  b ) ) )
3834, 37imbi12d 233 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  (
( z  ||  d  ->  ( z  ||  a  /\  z  ||  b ) )  <->  ( w  ||  d  ->  ( w  ||  a  /\  w  ||  b
) ) ) )
3938cbvralv 2654 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  NN0  ( z 
||  d  ->  (
z  ||  a  /\  z  ||  b ) )  <->  A. w  e.  NN0  ( w  ||  d  -> 
( w  ||  a  /\  w  ||  b ) ) )
4011, 39, 12, 13bezoutlemmain 11686 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  ->  A. a  e.  NN0  ( [ a  /  d ] E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  ->  A. b  e.  NN0  ( [ b  /  d ] E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  a  /\  z  ||  b ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) ) ) )
4133, 40, 12rspcdva 2794 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( [. A  /  d ]. E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  ->  A. b  e.  NN0  ( [ b  /  d ] E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  b ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) ) ) )
4223, 41mpd 13 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  ->  A. b  e.  NN0  ( [ b  /  d ] E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  b
) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) ) )
4322, 42, 13rspcdva 2794 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( [. B  /  d ]. E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) ) )
4414, 43mpd 13 1  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  NN0  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   [wsb 1735   A.wral 2416   E.wrex 2417   [.wsbc 2909   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774    + caddc 7623    x. cmul 7625   NN0cn0 8977   ZZcz 9054    || cdvds 11493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-fz 9791  df-fl 10043  df-mod 10096  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-dvds 11494
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