Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bezoutlemex GIF version

Theorem bezoutlemex 11865
 Description: Lemma for Bézout's identity. Existence of a number which we will later show to be the greater common divisor and its decomposition into cofactors. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 3-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
bezoutlemex ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑑,𝑥,𝑦   𝑧,𝐴,𝑑   𝐵,𝑑,𝑥,𝑦   𝑧,𝐵

Proof of Theorem bezoutlemex
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑠 𝑡 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5826 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑡 → (𝐵 · 𝑦) = (𝐵 · 𝑡))
21oveq2d 5834 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑡 → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑡)))
32eqeq2d 2169 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑡 → (𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑡))))
43cbvrexv 2681 . . . . 5 (∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑡)))
54rexbii 2464 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑡)))
6 oveq2 5826 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑠 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑠))
76oveq1d 5833 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑠 → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑡)) = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
87eqeq2d 2169 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑠 → (𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
98rexbidv 2458 . . . . 5 (𝑥 = 𝑠 → (∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
109cbvrexv 2681 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
115, 10bitri 183 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
12 simpl 108 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℕ0)
13 simpr 109 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℕ0)
1411, 12, 13bezoutlemb 11864 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → [𝐵 / 𝑑]𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
15 dfsbcq2 2940 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → ([𝑏 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ [𝐵 / 𝑑]𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
16 breq2 3969 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝐵 → (𝑧𝑏𝑧𝐵))
1716anbi2d 460 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐵 → ((𝑧𝐴𝑧𝑏) ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)))
1817imbi2d 229 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → ((𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝑏)) ↔ (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))))
1918ralbidv 2457 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝑏)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))))
2019anbi1d 461 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → ((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) ↔ (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
2120rexbidv 2458 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
2215, 21imbi12d 233 . . 3 (𝑏 = 𝐵 → (([𝑏 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))) ↔ ([𝐵 / 𝑑]𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))))
2311, 12, 13bezoutlema 11863 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → [𝐴 / 𝑑]𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
24 dfsbcq2 2940 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → ([𝑎 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ [𝐴 / 𝑑]𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
25 breq2 3969 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝐴 → (𝑧𝑎𝑧𝐴))
2625anbi1d 461 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑧𝑎𝑧𝑏) ↔ (𝑧𝐴𝑧𝑏)))
2726imbi2d 229 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑧𝑑 → (𝑧𝑎𝑧𝑏)) ↔ (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝑏))))
2827ralbidv 2457 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝑎𝑧𝑏)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝑏))))
2928anbi1d 461 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝐴 → ((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝑎𝑧𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) ↔ (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
3029rexbidv 2458 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐴 → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝑎𝑧𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
3130imbi2d 229 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → (([𝑏 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝑎𝑧𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))) ↔ ([𝑏 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))))
3231ralbidv 2457 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑏 ∈ ℕ0 ([𝑏 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝑎𝑧𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))) ↔ ∀𝑏 ∈ ℕ0 ([𝑏 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))))
3324, 32imbi12d 233 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (([𝑎 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∀𝑏 ∈ ℕ0 ([𝑏 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝑎𝑧𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))) ↔ ([𝐴 / 𝑑]𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∀𝑏 ∈ ℕ0 ([𝑏 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))))
34 breq1 3968 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧𝑑𝑤𝑑))
35 breq1 3968 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧𝑎𝑤𝑎))
36 breq1 3968 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧𝑏𝑤𝑏))
3735, 36anbi12d 465 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧𝑎𝑧𝑏) ↔ (𝑤𝑎𝑤𝑏)))
3834, 37imbi12d 233 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧𝑑 → (𝑧𝑎𝑧𝑏)) ↔ (𝑤𝑑 → (𝑤𝑎𝑤𝑏))))
3938cbvralv 2680 . . . . . 6 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝑎𝑧𝑏)) ↔ ∀𝑤 ∈ ℕ0 (𝑤𝑑 → (𝑤𝑎𝑤𝑏)))
4011, 39, 12, 13bezoutlemmain 11862 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ([𝑎 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∀𝑏 ∈ ℕ0 ([𝑏 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝑎𝑧𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))))
4133, 40, 12rspcdva 2821 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ([𝐴 / 𝑑]𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∀𝑏 ∈ ℕ0 ([𝑏 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))))
4223, 41mpd 13 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ∀𝑏 ∈ ℕ0 ([𝑏 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
4322, 42, 13rspcdva 2821 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ([𝐵 / 𝑑]𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
4414, 43mpd 13 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1335  [wsb 1742   ∈ wcel 2128  ∀wral 2435  ∃wrex 2436  [wsbc 2937   class class class wbr 3965  (class class class)co 5818   + caddc 7718   · cmul 7720  ℕ0cn0 9073  ℤcz 9150   ∥ cdvds 11665 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833  ax-arch 7834 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-frec 6332  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-2 8875  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-q 9511  df-rp 9543  df-fz 9895  df-fl 10151  df-mod 10204  df-seqfrec 10327  df-exp 10401  df-cj 10724  df-re 10725  df-im 10726  df-rsqrt 10880  df-abs 10881  df-dvds 11666 This theorem is referenced by:  bezoutlemzz  11866
 Copyright terms: Public domain W3C validator