Theorem bezoutlemex 11689

Description: Lemma for Bézout's identity. Existence of a number which we will later show to be the greater common divisor and its decomposition into cofactors. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 3-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemex	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑑,𝑥,𝑦   𝑧,𝐴,𝑑   𝐵,𝑑,𝑥,𝑦   𝑧,𝐵

Proof of Theorem bezoutlemex

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑠 𝑡 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (𝐵 · 𝑦) = (𝐵 · 𝑡))
2	1	oveq2d 5790	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑡)))
3	2	eqeq2d 2151	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑡))))
4	3	cbvrexv 2655	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑡)))
5	4	rexbii 2442	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑡)))
6		oveq2 5782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑠))
7	6	oveq1d 5789	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑡)) = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
8	7	eqeq2d 2151	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
9	8	rexbidv 2438	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
10	9	cbvrexv 2655	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
11	5, 10	bitri 183	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
12		simpl 108	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℕ0)
13		simpr 109	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℕ0)
14	11, 12, 13	bezoutlemb 11688	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → [𝐵 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
15		dfsbcq2 2912	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ([𝑏 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ [𝐵 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
16		breq2 3933	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑧 ∥ 𝑏 ↔ 𝑧 ∥ 𝐵))
17	16	anbi2d 459	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏) ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
18	17	imbi2d 229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏)) ↔ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
19	18	ralbidv 2437	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
20	19	anbi1d 460	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) ↔ (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
21	20	rexbidv 2438	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
22	15, 21	imbi12d 233	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (([𝑏 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))) ↔ ([𝐵 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))))
23	11, 12, 13	bezoutlema 11687	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → [𝐴 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
24		dfsbcq2 2912	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ([𝑎 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ [𝐴 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
25		breq2 3933	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑧 ∥ 𝑎 ↔ 𝑧 ∥ 𝐴))
26	25	anbi1d 460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑧 ∥ 𝑎 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏) ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏)))
27	26	imbi2d 229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝑎 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏)) ↔ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏))))
28	27	ralbidv 2437	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝑎 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏))))
29	28	anbi1d 460	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝑎 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) ↔ (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
30	29	rexbidv 2438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝑎 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
31	30	imbi2d 229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (([𝑏 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝑎 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))) ↔ ([𝑏 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))))
32	31	ralbidv 2437	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑏 ∈ ℕ0 ([𝑏 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝑎 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))) ↔ ∀𝑏 ∈ ℕ0 ([𝑏 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))))
33	24, 32	imbi12d 233	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (([𝑎 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∀𝑏 ∈ ℕ0 ([𝑏 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝑎 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))) ↔ ([𝐴 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∀𝑏 ∈ ℕ0 ([𝑏 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))))
34		breq1 3932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ 𝑤 ∥ 𝑑))
35		breq1 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝑎 ↔ 𝑤 ∥ 𝑎))
36		breq1 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝑏 ↔ 𝑤 ∥ 𝑏))
37	35, 36	anbi12d 464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 ∥ 𝑎 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏) ↔ (𝑤 ∥ 𝑎 ∧ 𝑤 ∥ 𝑏)))
38	34, 37	imbi12d 233	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝑎 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏)) ↔ (𝑤 ∥ 𝑑 → (𝑤 ∥ 𝑎 ∧ 𝑤 ∥ 𝑏))))
39	38	cbvralv 2654	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝑎 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏)) ↔ ∀𝑤 ∈ ℕ0 (𝑤 ∥ 𝑑 → (𝑤 ∥ 𝑎 ∧ 𝑤 ∥ 𝑏)))
40	11, 39, 12, 13	bezoutlemmain 11686	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ([𝑎 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∀𝑏 ∈ ℕ0 ([𝑏 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝑎 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))))
41	33, 40, 12	rspcdva 2794	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ([𝐴 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∀𝑏 ∈ ℕ0 ([𝑏 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))))
42	23, 41	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ∀𝑏 ∈ ℕ0 ([𝑏 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
43	22, 42, 13	rspcdva 2794	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ([𝐵 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
44	14, 43	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  [wsb 1735  ∀wral 2416  ∃wrex 2417  [wsbc 2909   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   + caddc 7623   · cmul 7625  ℕ₀cn0 8977  ℤcz 9054   ∥ cdvds 11493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-fz 9791  df-fl 10043  df-mod 10096  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-dvds 11494

This theorem is referenced by:  bezoutlemzz  11690