ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bezoutlemex GIF version

Theorem bezoutlemex 12004
Description: Lemma for Bรฉzout's identity. Existence of a number which we will later show to be the greater common divisor and its decomposition into cofactors. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 3-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
bezoutlemex ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ง,๐ด,๐‘‘   ๐ต,๐‘‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ง,๐ต

Proof of Theorem bezoutlemex
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ ๐‘  ๐‘ก ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5885 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐‘ก โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฆ) = (๐ต ยท ๐‘ก))
21oveq2d 5893 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐‘ก โ†’ ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ก)))
32eqeq2d 2189 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐‘ก โ†’ (๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†” ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ก))))
43cbvrexv 2706 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ก)))
54rexbii 2484 . . . 4 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ก)))
6 oveq2 5885 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘  โ†’ (๐ด ยท ๐‘ฅ) = (๐ด ยท ๐‘ ))
76oveq1d 5892 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘  โ†’ ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ก)) = ((๐ด ยท ๐‘ ) + (๐ต ยท ๐‘ก)))
87eqeq2d 2189 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘  โ†’ (๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ก)) โ†” ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ ) + (๐ต ยท ๐‘ก))))
98rexbidv 2478 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘  โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ก)) โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ ) + (๐ต ยท ๐‘ก))))
109cbvrexv 2706 . . . 4 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ก)) โ†” โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ ) + (๐ต ยท ๐‘ก)))
115, 10bitri 184 . . 3 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†” โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ ) + (๐ต ยท ๐‘ก)))
12 simpl 109 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
13 simpr 110 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•0)
1411, 12, 13bezoutlemb 12003 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ [๐ต / ๐‘‘]โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))
15 dfsbcq2 2967 . . . 4 (๐‘ = ๐ต โ†’ ([๐‘ / ๐‘‘]โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†” [๐ต / ๐‘‘]โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
16 breq2 4009 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ๐ต โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘ง โˆฅ ๐ต))
1716anbi2d 464 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐ต โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘) โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)))
1817imbi2d 230 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐ต โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘)) โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต))))
1918ralbidv 2477 . . . . . 6 (๐‘ = ๐ต โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘)) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต))))
2019anbi1d 465 . . . . 5 (๐‘ = ๐ต โ†’ ((โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†” (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))))
2120rexbidv 2478 . . . 4 (๐‘ = ๐ต โ†’ (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†” โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))))
2215, 21imbi12d 234 . . 3 (๐‘ = ๐ต โ†’ (([๐‘ / ๐‘‘]โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))) โ†” ([๐ต / ๐‘‘]โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))))
2311, 12, 13bezoutlema 12002 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ [๐ด / ๐‘‘]โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))
24 dfsbcq2 2967 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ ([๐‘Ž / ๐‘‘]โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†” [๐ด / ๐‘‘]โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
25 breq2 4009 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ž โ†” ๐‘ง โˆฅ ๐ด))
2625anbi1d 465 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐‘Ž โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘) โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘)))
2726imbi2d 230 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ž โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘)) โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘))))
2827ralbidv 2477 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ž โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘)) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘))))
2928anbi1d 465 . . . . . . . . 9 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ ((โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ž โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†” (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))))
3029rexbidv 2478 . . . . . . . 8 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ž โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†” โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))))
3130imbi2d 230 . . . . . . 7 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ (([๐‘ / ๐‘‘]โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ž โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))) โ†” ([๐‘ / ๐‘‘]โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))))
3231ralbidv 2477 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„•0 ([๐‘ / ๐‘‘]โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ž โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))) โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ โ„•0 ([๐‘ / ๐‘‘]โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))))
3324, 32imbi12d 234 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ (([๐‘Ž / ๐‘‘]โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„•0 ([๐‘ / ๐‘‘]โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ž โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))) โ†” ([๐ด / ๐‘‘]โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„•0 ([๐‘ / ๐‘‘]โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))))))
34 breq1 4008 . . . . . . . 8 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” ๐‘ค โˆฅ ๐‘‘))
35 breq1 4008 . . . . . . . . 9 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ž โ†” ๐‘ค โˆฅ ๐‘Ž))
36 breq1 4008 . . . . . . . . 9 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘ค โˆฅ ๐‘))
3735, 36anbi12d 473 . . . . . . . 8 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐‘Ž โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘) โ†” (๐‘ค โˆฅ ๐‘Ž โˆง ๐‘ค โˆฅ ๐‘)))
3834, 37imbi12d 234 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ž โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘)) โ†” (๐‘ค โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ค โˆฅ ๐‘Ž โˆง ๐‘ค โˆฅ ๐‘))))
3938cbvralv 2705 . . . . . 6 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ž โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘)) โ†” โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„•0 (๐‘ค โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ค โˆฅ ๐‘Ž โˆง ๐‘ค โˆฅ ๐‘)))
4011, 39, 12, 13bezoutlemmain 12001 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ โ„•0 ([๐‘Ž / ๐‘‘]โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„•0 ([๐‘ / ๐‘‘]โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ž โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))))
4133, 40, 12rspcdva 2848 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ ([๐ด / ๐‘‘]โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„•0 ([๐‘ / ๐‘‘]โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))))
4223, 41mpd 13 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„•0 ([๐‘ / ๐‘‘]โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))))
4322, 42, 13rspcdva 2848 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ ([๐ต / ๐‘‘]โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))))
4414, 43mpd 13 1 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1353  [wsb 1762   โˆˆ wcel 2148  โˆ€wral 2455  โˆƒwrex 2456  [wsbc 2964   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877   + caddc 7816   ยท cmul 7818  โ„•0cn0 9178  โ„คcz 9255   โˆฅ cdvds 11796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fl 10272  df-mod 10325  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-dvds 11797
This theorem is referenced by:  bezoutlemzz  12005
  Copyright terms: Public domain W3C validator