Theorem bezoutlemex 11956

Description: Lemma for Bézout's identity. Existence of a number which we will later show to be the greater common divisor and its decomposition into cofactors. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 3-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemex	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑑,𝑥,𝑦   𝑧,𝐴,𝑑   𝐵,𝑑,𝑥,𝑦   𝑧,𝐵

Proof of Theorem bezoutlemex

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑠 𝑡 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (𝐵 · 𝑦) = (𝐵 · 𝑡))
2	1	oveq2d 5869	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑡)))
3	2	eqeq2d 2182	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑡))))
4	3	cbvrexv 2697	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑡)))
5	4	rexbii 2477	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑡)))
6		oveq2 5861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑠))
7	6	oveq1d 5868	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑡)) = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
8	7	eqeq2d 2182	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
9	8	rexbidv 2471	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
10	9	cbvrexv 2697	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
11	5, 10	bitri 183	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
12		simpl 108	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℕ0)
13		simpr 109	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℕ0)
14	11, 12, 13	bezoutlemb 11955	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → [𝐵 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
15		dfsbcq2 2958	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ([𝑏 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ [𝐵 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
16		breq2 3993	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑧 ∥ 𝑏 ↔ 𝑧 ∥ 𝐵))
17	16	anbi2d 461	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏) ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
18	17	imbi2d 229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏)) ↔ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
19	18	ralbidv 2470	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
20	19	anbi1d 462	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) ↔ (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
21	20	rexbidv 2471	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
22	15, 21	imbi12d 233	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (([𝑏 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))) ↔ ([𝐵 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))))
23	11, 12, 13	bezoutlema 11954	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → [𝐴 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
24		dfsbcq2 2958	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ([𝑎 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ [𝐴 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
25		breq2 3993	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑧 ∥ 𝑎 ↔ 𝑧 ∥ 𝐴))
26	25	anbi1d 462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑧 ∥ 𝑎 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏) ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏)))
27	26	imbi2d 229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝑎 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏)) ↔ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏))))
28	27	ralbidv 2470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝑎 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏))))
29	28	anbi1d 462	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝑎 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) ↔ (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
30	29	rexbidv 2471	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝑎 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
31	30	imbi2d 229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (([𝑏 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝑎 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))) ↔ ([𝑏 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))))
32	31	ralbidv 2470	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑏 ∈ ℕ0 ([𝑏 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝑎 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))) ↔ ∀𝑏 ∈ ℕ0 ([𝑏 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))))
33	24, 32	imbi12d 233	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (([𝑎 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∀𝑏 ∈ ℕ0 ([𝑏 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝑎 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))) ↔ ([𝐴 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∀𝑏 ∈ ℕ0 ([𝑏 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))))
34		breq1 3992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ 𝑤 ∥ 𝑑))
35		breq1 3992	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝑎 ↔ 𝑤 ∥ 𝑎))
36		breq1 3992	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝑏 ↔ 𝑤 ∥ 𝑏))
37	35, 36	anbi12d 470	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 ∥ 𝑎 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏) ↔ (𝑤 ∥ 𝑎 ∧ 𝑤 ∥ 𝑏)))
38	34, 37	imbi12d 233	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝑎 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏)) ↔ (𝑤 ∥ 𝑑 → (𝑤 ∥ 𝑎 ∧ 𝑤 ∥ 𝑏))))
39	38	cbvralv 2696	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝑎 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏)) ↔ ∀𝑤 ∈ ℕ0 (𝑤 ∥ 𝑑 → (𝑤 ∥ 𝑎 ∧ 𝑤 ∥ 𝑏)))
40	11, 39, 12, 13	bezoutlemmain 11953	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ([𝑎 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∀𝑏 ∈ ℕ0 ([𝑏 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝑎 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))))
41	33, 40, 12	rspcdva 2839	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ([𝐴 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∀𝑏 ∈ ℕ0 ([𝑏 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))))
42	23, 41	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ∀𝑏 ∈ ℕ0 ([𝑏 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝑏)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
43	22, 42, 13	rspcdva 2839	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ([𝐵 / 𝑑]∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
44	14, 43	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348  [wsb 1755   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448  ∃wrex 2449  [wsbc 2955   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   + caddc 7777   · cmul 7779  ℕ₀cn0 9135  ℤcz 9212   ∥ cdvds 11749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-dvds 11750

This theorem is referenced by:  bezoutlemzz  11957