Theorem bezoutlemzz 12139

Description: Lemma for Bézout's identity. Like bezoutlemex 12138 but where ' z ' is any integer, not just a nonnegative one. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemzz	|- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, d, x, y   B, d, x, y   z, A, d   z, B

Proof of Theorem bezoutlemzz

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlemex 12138	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
2		nfv 1539	. . . . . . 7 |- F/ z ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 )
3		nfra1 2525	. . . . . . 7 |- F/ z A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) )
4	2, 3	nfan 1576	. . . . . 6 |- F/ z ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) )
5		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ z e. ZZ ) /\ z e. NN0 ) -> z e. NN0 )
6		rsp 2541	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) -> ( z e. NN0 -> ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
7	6	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ z e. ZZ ) /\ z e. NN0 ) -> ( z e. NN0 -> ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
8	5, 7	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ z e. ZZ ) /\ z e. NN0 ) -> ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) )
9	8	adantlll 480	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) /\ z e. NN0 ) -> ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) )
10		breq1 4032	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = -u z -> ( w || d <-> -u z || d ) )
11		breq1 4032	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = -u z -> ( w || A <-> -u z || A ) )
12		breq1 4032	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = -u z -> ( w || B <-> -u z || B ) )
13	11, 12	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = -u z -> ( ( w || A /\ w || B ) <-> ( -u z || A /\ -u z || B ) ) )
14	10, 13	imbi12d 234	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = -u z -> ( ( w || d -> ( w || A /\ w || B ) ) <-> ( -u z || d -> ( -u z || A /\ -u z || B ) ) ) )
15		breq1 4032	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = w -> ( z || d <-> w || d ) )
16		breq1 4032	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = w -> ( z || A <-> w || A ) )
17		breq1 4032	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = w -> ( z || B <-> w || B ) )
18	16, 17	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = w -> ( ( z || A /\ z || B ) <-> ( w || A /\ w || B ) ) )
19	15, 18	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = w -> ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) <-> ( w || d -> ( w || A /\ w || B ) ) ) )
20	19	cbvralv 2726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) <-> A. w e. NN0 ( w || d -> ( w || A /\ w || B ) ) )
21	20	biimpi 120	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) -> A. w e. NN0 ( w || d -> ( w || A /\ w || B ) ) )
22	21	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> A. w e. NN0 ( w || d -> ( w || A /\ w || B ) ) )
23		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> -u z e. NN0 )
24	14, 22, 23	rspcdva 2869	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> ( -u z || d -> ( -u z || A /\ -u z || B ) ) )
25	24	adantlll 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> ( -u z || d -> ( -u z || A /\ -u z || B ) ) )
26		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> z e. ZZ )
27		simpllr 534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) -> d e. NN0 )
28	27	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> d e. NN0 )
29	28	nn0zd 9437	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> d e. ZZ )
30		negdvdsb 11950	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ZZ /\ d e. ZZ ) -> ( z || d <-> -u z || d ) )
31	26, 29, 30	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> ( z || d <-> -u z || d ) )
32		simplll 533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) -> A e. NN0 )
33	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> A e. NN0 )
34	33	nn0zd 9437	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> A e. ZZ )
35		negdvdsb 11950	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( z || A <-> -u z || A ) )
36	26, 34, 35	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> ( z || A <-> -u z || A ) )
37		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) -> B e. NN0 )
38	37	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> B e. NN0 )
39	38	nn0zd 9437	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> B e. ZZ )
40		negdvdsb 11950	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( z || B <-> -u z || B ) )
41	26, 39, 40	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> ( z || B <-> -u z || B ) )
42	36, 41	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> ( ( z || A /\ z || B ) <-> ( -u z || A /\ -u z || B ) ) )
43	25, 31, 42	3imtr4d 203	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) )
44		elznn0 9332	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ZZ <-> ( z e. RR /\ ( z e. NN0 \/ -u z e. NN0 ) ) )
45	44	simprbi 275	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ZZ -> ( z e. NN0 \/ -u z e. NN0 ) )
46	45	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) -> ( z e. NN0 \/ -u z e. NN0 ) )
47	9, 43, 46	mpjaodan 799	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) -> ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) )
48	47	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) -> ( z e. ZZ -> ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
49	4, 48	ralrimi 2565	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) -> A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) )
50	49	ex 115	. . . 4 |- ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) -> ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) -> A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
51	50	anim1d 336	. . 3 |- ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) -> ( ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
52	51	reximdva 2596	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> ( E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
53	1, 52	mpd 13	1 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918   RRcr 7871   + caddc 7875   x. cmul 7877   -ucneg 8191   NN0cn0 9240   ZZcz 9317   || cdvds 11930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fl 10339  df-mod 10394  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-dvds 11931

This theorem is referenced by:  bezoutlemaz  12140