Theorem bezoutlemzz 11957

Description: Lemma for Bézout's identity. Like bezoutlemex 11956 but where ' z ' is any integer, not just a nonnegative one. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemzz	|- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, d, x, y   B, d, x, y   z, A, d   z, B

Proof of Theorem bezoutlemzz

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlemex 11956	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
2		nfv 1521	. . . . . . 7 |- F/ z ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 )
3		nfra1 2501	. . . . . . 7 |- F/ z A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) )
4	2, 3	nfan 1558	. . . . . 6 |- F/ z ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) )
5		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ z e. ZZ ) /\ z e. NN0 ) -> z e. NN0 )
6		rsp 2517	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) -> ( z e. NN0 -> ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
7	6	ad2antrr 485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ z e. ZZ ) /\ z e. NN0 ) -> ( z e. NN0 -> ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
8	5, 7	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ z e. ZZ ) /\ z e. NN0 ) -> ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) )
9	8	adantlll 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) /\ z e. NN0 ) -> ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) )
10		breq1 3992	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = -u z -> ( w || d <-> -u z || d ) )
11		breq1 3992	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = -u z -> ( w || A <-> -u z || A ) )
12		breq1 3992	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = -u z -> ( w || B <-> -u z || B ) )
13	11, 12	anbi12d 470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = -u z -> ( ( w || A /\ w || B ) <-> ( -u z || A /\ -u z || B ) ) )
14	10, 13	imbi12d 233	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = -u z -> ( ( w || d -> ( w || A /\ w || B ) ) <-> ( -u z || d -> ( -u z || A /\ -u z || B ) ) ) )
15		breq1 3992	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = w -> ( z || d <-> w || d ) )
16		breq1 3992	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = w -> ( z || A <-> w || A ) )
17		breq1 3992	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = w -> ( z || B <-> w || B ) )
18	16, 17	anbi12d 470	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = w -> ( ( z || A /\ z || B ) <-> ( w || A /\ w || B ) ) )
19	15, 18	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = w -> ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) <-> ( w || d -> ( w || A /\ w || B ) ) ) )
20	19	cbvralv 2696	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) <-> A. w e. NN0 ( w || d -> ( w || A /\ w || B ) ) )
21	20	biimpi 119	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) -> A. w e. NN0 ( w || d -> ( w || A /\ w || B ) ) )
22	21	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> A. w e. NN0 ( w || d -> ( w || A /\ w || B ) ) )
23		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> -u z e. NN0 )
24	14, 22, 23	rspcdva 2839	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> ( -u z || d -> ( -u z || A /\ -u z || B ) ) )
25	24	adantlll 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> ( -u z || d -> ( -u z || A /\ -u z || B ) ) )
26		simplr 525	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> z e. ZZ )
27		simpllr 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) -> d e. NN0 )
28	27	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> d e. NN0 )
29	28	nn0zd 9332	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> d e. ZZ )
30		negdvdsb 11769	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ZZ /\ d e. ZZ ) -> ( z || d <-> -u z || d ) )
31	26, 29, 30	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> ( z || d <-> -u z || d ) )
32		simplll 528	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) -> A e. NN0 )
33	32	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> A e. NN0 )
34	33	nn0zd 9332	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> A e. ZZ )
35		negdvdsb 11769	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( z || A <-> -u z || A ) )
36	26, 34, 35	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> ( z || A <-> -u z || A ) )
37		simpllr 529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) -> B e. NN0 )
38	37	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> B e. NN0 )
39	38	nn0zd 9332	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> B e. ZZ )
40		negdvdsb 11769	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( z || B <-> -u z || B ) )
41	26, 39, 40	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> ( z || B <-> -u z || B ) )
42	36, 41	anbi12d 470	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> ( ( z || A /\ z || B ) <-> ( -u z || A /\ -u z || B ) ) )
43	25, 31, 42	3imtr4d 202	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) /\ -u z e. NN0 ) -> ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) )
44		elznn0 9227	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ZZ <-> ( z e. RR /\ ( z e. NN0 \/ -u z e. NN0 ) ) )
45	44	simprbi 273	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ZZ -> ( z e. NN0 \/ -u z e. NN0 ) )
46	45	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) -> ( z e. NN0 \/ -u z e. NN0 ) )
47	9, 43, 46	mpjaodan 793	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) /\ z e. ZZ ) -> ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) )
48	47	ex 114	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) -> ( z e. ZZ -> ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
49	4, 48	ralrimi 2541	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) /\ A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) -> A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) )
50	49	ex 114	. . . 4 |- ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) -> ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) -> A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
51	50	anim1d 334	. . 3 |- ( ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) /\ d e. NN0 ) -> ( ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
52	51	reximdva 2572	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> ( E. d e. NN0 ( A. z e. NN0 ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
53	1, 52	mpd 13	1 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   RRcr 7773   + caddc 7777   x. cmul 7779   -ucneg 8091   NN0cn0 9135   ZZcz 9212   || cdvds 11749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-dvds 11750

This theorem is referenced by:  bezoutlemaz  11958