ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ccatval21sw Unicode version
Theorem ccatval21sw 11373
Description: The first symbol of the right (nonempty) half of a concatenated word. (Contributed by AV, 23-Apr-2022.)
Assertion
Ref Expression
ccatval21sw |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ B =/= (/) ) -> ( ( A ++ B ) ` (♯ ` A ) ) = ( B ` 0 ) )
Proof of Theorem ccatval21sw
StepHypRef Expression
1 lencl 11308 . . . . . . 7 |- ( A e. Word V -> (♯ ` A ) e. NN0 )
21nn0zd 9766 . . . . . 6 |- ( A e. Word V -> (♯ ` A ) e. ZZ )
3 lennncl 11324 . . . . . 6 |- ( ( B e. Word V /\ B =/= (/) ) -> (♯ ` B ) e. NN )
4 simpl 109 . . . . . . 7 |- ( ( (♯ ` A ) e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN ) -> (♯ ` A ) e. ZZ )
5 nnz 9663 . . . . . . . 8 |- ( (♯ ` B ) e. NN -> (♯ ` B ) e. ZZ )
6 zaddcl 9684 . . . . . . . 8 |- ( ( (♯ ` A ) e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. ZZ ) -> ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) e. ZZ )
75, 6sylan2 286 . . . . . . 7 |- ( ( (♯ ` A ) e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN ) -> ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) e. ZZ )
8 nngt0 9329 . . . . . . . . 9 |- ( (♯ ` B ) e. NN -> 0 < (♯ ` B ) )
98adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( (♯ ` A ) e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN ) -> 0 < (♯ ` B ) )
10 nnre 9311 . . . . . . . . 9 |- ( (♯ ` B ) e. NN -> (♯ ` B ) e. RR )
11 zre 9648 . . . . . . . . 9 |- ( (♯ ` A ) e. ZZ -> (♯ ` A ) e. RR )
12 ltaddpos 8780 . . . . . . . . 9 |- ( ( (♯ ` B ) e. RR /\ (♯ ` A ) e. RR ) -> ( 0 < (♯ ` B ) <-> (♯ ` A ) < ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) )
1310, 11, 12syl2anr 290 . . . . . . . 8 |- ( ( (♯ ` A ) e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN ) -> ( 0 < (♯ ` B ) <-> (♯ ` A ) < ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) )
149, 13mpbid 147 . . . . . . 7 |- ( ( (♯ ` A ) e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN ) -> (♯ ` A ) < ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) )
154, 7, 143jca 1208 . . . . . 6 |- ( ( (♯ ` A ) e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN ) -> ( (♯ ` A ) e. ZZ /\ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ (♯ ` A ) < ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) )
162, 3, 15syl2an 289 . . . . 5 |- ( ( A e. Word V /\ ( B e. Word V /\ B =/= (/) ) ) -> ( (♯ ` A ) e. ZZ /\ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ (♯ ` A ) < ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) )
17163impb 1230 . . . 4 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ B =/= (/) ) -> ( (♯ ` A ) e. ZZ /\ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ (♯ ` A ) < ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) )
18 fzolb 10561 . . . 4 |- ( (♯ ` A ) e. ( (♯ ` A )..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) <-> ( (♯ ` A ) e. ZZ /\ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ (♯ ` A ) < ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) )
1917, 18sylibr 134 . . 3 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ B =/= (/) ) -> (♯ ` A ) e. ( (♯ ` A )..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) )
20 ccatval2 11366 . . 3 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ (♯ ` A ) e. ( (♯ ` A )..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) ` (♯ ` A ) ) = ( B ` ( (♯ ` A ) - (♯ ` A ) ) ) )
2119, 20syld3an3 1323 . 2 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ B =/= (/) ) -> ( ( A ++ B ) ` (♯ ` A ) ) = ( B ` ( (♯ ` A ) - (♯ ` A ) ) ) )
221nn0cnd 9622 . . . . 5 |- ( A e. Word V -> (♯ ` A ) e. CC )
2322subidd 8625 . . . 4 |- ( A e. Word V -> ( (♯ ` A ) - (♯ ` A ) ) = 0 )
2423fveq2d 5699 . . 3 |- ( A e. Word V -> ( B ` ( (♯ ` A ) - (♯ ` A ) ) ) = ( B ` 0 ) )
25243ad2ant1 1049 . 2 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ B =/= (/) ) -> ( B ` ( (♯ ` A ) - (♯ ` A ) ) ) = ( B ` 0 ) )
2621, 25eqtrd 2271 1 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ B =/= (/) ) -> ( ( A ++ B ) ` (♯ ` A ) ) = ( B ` 0 ) )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   (/)c0 3520   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   RRcr 8178   0cc0 8179   + caddc 8182   < clt 8360   - cmin 8497   NNcn 9304   ZZcz 9644  ..^cfzo 10549  ♯chash 11214  Word cword 11304   ++ cconcat 11358
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-ihash 11215  df-word 11305  df-concat 11359
This theorem is used by:  clwwlkccatlem  16641
  Copyright terms: Public domain W3C validator