ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ccatval21sw Unicode version
Theorem ccatval21sw 11172
Description: The first symbol of the right (nonempty) half of a concatenated word. (Contributed by AV, 23-Apr-2022.)
Assertion
Ref Expression
ccatval21sw |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ B =/= (/) ) -> ( ( A ++ B ) ` (♯ ` A ) ) = ( B ` 0 ) )
Proof of Theorem ccatval21sw
StepHypRef Expression
1 lencl 11107 . . . . . . 7 |- ( A e. Word V -> (♯ ` A ) e. NN0 )
21nn0zd 9590 . . . . . 6 |- ( A e. Word V -> (♯ ` A ) e. ZZ )
3 lennncl 11123 . . . . . 6 |- ( ( B e. Word V /\ B =/= (/) ) -> (♯ ` B ) e. NN )
4 simpl 109 . . . . . . 7 |- ( ( (♯ ` A ) e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN ) -> (♯ ` A ) e. ZZ )
5 nnz 9488 . . . . . . . 8 |- ( (♯ ` B ) e. NN -> (♯ ` B ) e. ZZ )
6 zaddcl 9509 . . . . . . . 8 |- ( ( (♯ ` A ) e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. ZZ ) -> ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) e. ZZ )
75, 6sylan2 286 . . . . . . 7 |- ( ( (♯ ` A ) e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN ) -> ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) e. ZZ )
8 nngt0 9158 . . . . . . . . 9 |- ( (♯ ` B ) e. NN -> 0 < (♯ ` B ) )
98adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( (♯ ` A ) e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN ) -> 0 < (♯ ` B ) )
10 nnre 9140 . . . . . . . . 9 |- ( (♯ ` B ) e. NN -> (♯ ` B ) e. RR )
11 zre 9473 . . . . . . . . 9 |- ( (♯ ` A ) e. ZZ -> (♯ ` A ) e. RR )
12 ltaddpos 8622 . . . . . . . . 9 |- ( ( (♯ ` B ) e. RR /\ (♯ ` A ) e. RR ) -> ( 0 < (♯ ` B ) <-> (♯ ` A ) < ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) )
1310, 11, 12syl2anr 290 . . . . . . . 8 |- ( ( (♯ ` A ) e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN ) -> ( 0 < (♯ ` B ) <-> (♯ ` A ) < ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) )
149, 13mpbid 147 . . . . . . 7 |- ( ( (♯ ` A ) e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN ) -> (♯ ` A ) < ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) )
154, 7, 143jca 1201 . . . . . 6 |- ( ( (♯ ` A ) e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN ) -> ( (♯ ` A ) e. ZZ /\ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ (♯ ` A ) < ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) )
162, 3, 15syl2an 289 . . . . 5 |- ( ( A e. Word V /\ ( B e. Word V /\ B =/= (/) ) ) -> ( (♯ ` A ) e. ZZ /\ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ (♯ ` A ) < ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) )
17163impb 1223 . . . 4 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ B =/= (/) ) -> ( (♯ ` A ) e. ZZ /\ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ (♯ ` A ) < ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) )
18 fzolb 10379 . . . 4 |- ( (♯ ` A ) e. ( (♯ ` A )..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) <-> ( (♯ ` A ) e. ZZ /\ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ (♯ ` A ) < ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) )
1917, 18sylibr 134 . . 3 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ B =/= (/) ) -> (♯ ` A ) e. ( (♯ ` A )..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) )
20 ccatval2 11165 . . 3 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ (♯ ` A ) e. ( (♯ ` A )..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) ` (♯ ` A ) ) = ( B ` ( (♯ ` A ) - (♯ ` A ) ) ) )
2119, 20syld3an3 1316 . 2 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ B =/= (/) ) -> ( ( A ++ B ) ` (♯ ` A ) ) = ( B ` ( (♯ ` A ) - (♯ ` A ) ) ) )
221nn0cnd 9447 . . . . 5 |- ( A e. Word V -> (♯ ` A ) e. CC )
2322subidd 8468 . . . 4 |- ( A e. Word V -> ( (♯ ` A ) - (♯ ` A ) ) = 0 )
2423fveq2d 5639 . . 3 |- ( A e. Word V -> ( B ` ( (♯ ` A ) - (♯ ` A ) ) ) = ( B ` 0 ) )
25243ad2ant1 1042 . 2 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ B =/= (/) ) -> ( B ` ( (♯ ` A ) - (♯ ` A ) ) ) = ( B ` 0 ) )
2621, 25eqtrd 2262 1 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ B =/= (/) ) -> ( ( A ++ B ) ` (♯ ` A ) ) = ( B ` 0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   (/)c0 3492   class class class wbr 4086   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   RRcr 8021   0cc0 8022   + caddc 8025   < clt 8204   - cmin 8340   NNcn 9133   ZZcz 9469  ..^cfzo 10367  ♯chash 11027  Word cword 11103   ++ cconcat 11157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-1o 6577  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-ihash 11028  df-word 11104  df-concat 11158
This theorem is referenced by:  clwwlkccatlem  16195
  Copyright terms: Public domain W3C validator