Theorem ccatval21sw 11395

Description: The first symbol of the right (nonempty) half of a concatenated word. (Contributed by AV, 23-Apr-2022.)

Assertion

Ref	Expression
ccatval21sw	⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(♯‘𝐴)) = (𝐵‘0))

Proof of Theorem ccatval21sw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lencl 11330	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
2	1	nn0zd 9777	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
3		lennncl 11346	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
4		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
5		nnz 9674	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
6		zaddcl 9695	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ)
7	5, 6	sylan2 286	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ)
8		nngt0 9338	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ → 0 < (♯‘𝐵))
9	8	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → 0 < (♯‘𝐵))
10		nnre 9320	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
11		zre 9659	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℤ → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
12		ltaddpos 8787	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (♯‘𝐵) ↔ (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
13	10, 11, 12	syl2anr 290	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → (0 < (♯‘𝐵) ↔ (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
14	9, 13	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
15	4, 7, 14	3jca 1208	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
16	2, 3, 15	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
17	16	3impb 1230	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
18		fzolb 10578	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↔ ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
19	17, 18	sylibr 134	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
20		ccatval2 11388	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(♯‘𝐴)) = (𝐵‘((♯‘𝐴) − (♯‘𝐴))))
21	19, 20	syld3an3 1323	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(♯‘𝐴)) = (𝐵‘((♯‘𝐴) − (♯‘𝐴))))
22	1	nn0cnd 9633	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
23	22	subidd 8632	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝐴) − (♯‘𝐴)) = 0)
24	23	fveq2d 5702	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (𝐵‘((♯‘𝐴) − (♯‘𝐴))) = (𝐵‘0))
25	24	3ad2ant1 1049	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐵‘((♯‘𝐴) − (♯‘𝐴))) = (𝐵‘0))
26	21, 25	eqtrd 2271	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(♯‘𝐴)) = (𝐵‘0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ∅c0 3520   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℝcr 8184  0cc0 8185   + caddc 8188   < clt 8366   − cmin 8504  ℕcn 9313  ℤcz 9655  ..^cfzo 10566  ♯chash 11236  Word cword 11326   ++ cconcat 11380

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-ihash 11237  df-word 11327  df-concat 11381

This theorem is used by:  clwwlkccatlem  16846