ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ccatlid Unicode version
Theorem ccatlid 11182
Description: Concatenation of a word by the empty word on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 1-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
ccatlid |- ( S e. Word B -> ( (/) ++ S ) = S )
Proof of Theorem ccatlid
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wrd0 11137 . . . 4 |- (/) e. Word B
2 ccatvalfn 11177 . . . 4 |- ( ( (/) e. Word B /\ S e. Word B ) -> ( (/) ++ S ) Fn ( 0..^ ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) ) )
31, 2mpan 424 . . 3 |- ( S e. Word B -> ( (/) ++ S ) Fn ( 0..^ ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) ) )
4 hash0 11057 . . . . . . . 8 |- (♯ ` (/) ) = 0
54oveq1i 6027 . . . . . . 7 |- ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) = ( 0 + (♯ ` S ) )
6 lencl 11116 . . . . . . . . 9 |- ( S e. Word B -> (♯ ` S ) e. NN0 )
76nn0cnd 9456 . . . . . . . 8 |- ( S e. Word B -> (♯ ` S ) e. CC )
87addlidd 8328 . . . . . . 7 |- ( S e. Word B -> ( 0 + (♯ ` S ) ) = (♯ ` S ) )
95, 8eqtrid 2276 . . . . . 6 |- ( S e. Word B -> ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) = (♯ ` S ) )
109eqcomd 2237 . . . . 5 |- ( S e. Word B -> (♯ ` S ) = ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) )
1110oveq2d 6033 . . . 4 |- ( S e. Word B -> ( 0..^ (♯ ` S ) ) = ( 0..^ ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) ) )
1211fneq2d 5421 . . 3 |- ( S e. Word B -> ( ( (/) ++ S ) Fn ( 0..^ (♯ ` S ) ) <-> ( (/) ++ S ) Fn ( 0..^ ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) ) ) )
133, 12mpbird 167 . 2 |- ( S e. Word B -> ( (/) ++ S ) Fn ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
14 wrdfn 11127 . 2 |- ( S e. Word B -> S Fn ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
154a1i 9 . . . . . . 7 |- ( S e. Word B -> (♯ ` (/) ) = 0 )
1615, 9oveq12d 6035 . . . . . 6 |- ( S e. Word B -> ( (♯ ` (/) )..^ ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) ) = ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
1716eleq2d 2301 . . . . 5 |- ( S e. Word B -> ( x e. ( (♯ ` (/) )..^ ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) ) <-> x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) )
1817biimpar 297 . . . 4 |- ( ( S e. Word B /\ x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> x e. ( (♯ ` (/) )..^ ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) ) )
19 ccatval2 11174 . . . . 5 |- ( ( (/) e. Word B /\ S e. Word B /\ x e. ( (♯ ` (/) )..^ ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) ) ) -> ( ( (/) ++ S ) ` x ) = ( S ` ( x - (♯ ` (/) ) ) ) )
201, 19mp3an1 1360 . . . 4 |- ( ( S e. Word B /\ x e. ( (♯ ` (/) )..^ ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) ) ) -> ( ( (/) ++ S ) ` x ) = ( S ` ( x - (♯ ` (/) ) ) ) )
2118, 20syldan 282 . . 3 |- ( ( S e. Word B /\ x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> ( ( (/) ++ S ) ` x ) = ( S ` ( x - (♯ ` (/) ) ) ) )
224oveq2i 6028 . . . . 5 |- ( x - (♯ ` (/) ) ) = ( x - 0 )
23 elfzoelz 10381 . . . . . . . 8 |- ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) -> x e. ZZ )
2423adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( S e. Word B /\ x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> x e. ZZ )
2524zcnd 9602 . . . . . 6 |- ( ( S e. Word B /\ x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> x e. CC )
2625subid1d 8478 . . . . 5 |- ( ( S e. Word B /\ x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> ( x - 0 ) = x )
2722, 26eqtrid 2276 . . . 4 |- ( ( S e. Word B /\ x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> ( x - (♯ ` (/) ) ) = x )
2827fveq2d 5643 . . 3 |- ( ( S e. Word B /\ x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> ( S ` ( x - (♯ ` (/) ) ) ) = ( S ` x ) )
2921, 28eqtrd 2264 . 2 |- ( ( S e. Word B /\ x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> ( ( (/) ++ S ) ` x ) = ( S ` x ) )
3013, 14, 29eqfnfvd 5747 1 |- ( S e. Word B -> ( (/) ++ S ) = S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   (/)c0 3494   Fn wfn 5321   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   0cc0 8031   + caddc 8034   - cmin 8349   ZZcz 9478  ..^cfzo 10376  ♯chash 11036  Word cword 11112   ++ cconcat 11166
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-er 6701  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-ihash 11037  df-word 11113  df-concat 11167
This theorem is referenced by:  ccatidid  11186  ccat1st1st  11217  swrdccat  11315
  Copyright terms: Public domain W3C validator