ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ccatlid Unicode version
Theorem ccatlid 11294
Description: Concatenation of a word by the empty word on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 1-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
ccatlid |- ( S e. Word B -> ( (/) ++ S ) = S )
Proof of Theorem ccatlid
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wrd0 11249 . . . 4 |- (/) e. Word B
2 ccatvalfn 11289 . . . 4 |- ( ( (/) e. Word B /\ S e. Word B ) -> ( (/) ++ S ) Fn ( 0..^ ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) ) )
31, 2mpan 424 . . 3 |- ( S e. Word B -> ( (/) ++ S ) Fn ( 0..^ ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) ) )
4 hash0 11159 . . . . . . . 8 |- (♯ ` (/) ) = 0
54oveq1i 6060 . . . . . . 7 |- ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) = ( 0 + (♯ ` S ) )
6 lencl 11228 . . . . . . . . 9 |- ( S e. Word B -> (♯ ` S ) e. NN0 )
76nn0cnd 9555 . . . . . . . 8 |- ( S e. Word B -> (♯ ` S ) e. CC )
87addlidd 8423 . . . . . . 7 |- ( S e. Word B -> ( 0 + (♯ ` S ) ) = (♯ ` S ) )
95, 8eqtrid 2277 . . . . . 6 |- ( S e. Word B -> ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) = (♯ ` S ) )
109eqcomd 2238 . . . . 5 |- ( S e. Word B -> (♯ ` S ) = ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) )
1110oveq2d 6066 . . . 4 |- ( S e. Word B -> ( 0..^ (♯ ` S ) ) = ( 0..^ ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) ) )
1211fneq2d 5447 . . 3 |- ( S e. Word B -> ( ( (/) ++ S ) Fn ( 0..^ (♯ ` S ) ) <-> ( (/) ++ S ) Fn ( 0..^ ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) ) ) )
133, 12mpbird 167 . 2 |- ( S e. Word B -> ( (/) ++ S ) Fn ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
14 wrdfn 11239 . 2 |- ( S e. Word B -> S Fn ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
154a1i 9 . . . . . . 7 |- ( S e. Word B -> (♯ ` (/) ) = 0 )
1615, 9oveq12d 6068 . . . . . 6 |- ( S e. Word B -> ( (♯ ` (/) )..^ ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) ) = ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
1716eleq2d 2302 . . . . 5 |- ( S e. Word B -> ( x e. ( (♯ ` (/) )..^ ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) ) <-> x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) )
1817biimpar 297 . . . 4 |- ( ( S e. Word B /\ x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> x e. ( (♯ ` (/) )..^ ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) ) )
19 ccatval2 11286 . . . . 5 |- ( ( (/) e. Word B /\ S e. Word B /\ x e. ( (♯ ` (/) )..^ ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) ) ) -> ( ( (/) ++ S ) ` x ) = ( S ` ( x - (♯ ` (/) ) ) ) )
201, 19mp3an1 1361 . . . 4 |- ( ( S e. Word B /\ x e. ( (♯ ` (/) )..^ ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) ) ) -> ( ( (/) ++ S ) ` x ) = ( S ` ( x - (♯ ` (/) ) ) ) )
2118, 20syldan 282 . . 3 |- ( ( S e. Word B /\ x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> ( ( (/) ++ S ) ` x ) = ( S ` ( x - (♯ ` (/) ) ) ) )
224oveq2i 6061 . . . . 5 |- ( x - (♯ ` (/) ) ) = ( x - 0 )
23 elfzoelz 10481 . . . . . . . 8 |- ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) -> x e. ZZ )
2423adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( S e. Word B /\ x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> x e. ZZ )
2524zcnd 9701 . . . . . 6 |- ( ( S e. Word B /\ x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> x e. CC )
2625subid1d 8573 . . . . 5 |- ( ( S e. Word B /\ x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> ( x - 0 ) = x )
2722, 26eqtrid 2277 . . . 4 |- ( ( S e. Word B /\ x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> ( x - (♯ ` (/) ) ) = x )
2827fveq2d 5674 . . 3 |- ( ( S e. Word B /\ x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> ( S ` ( x - (♯ ` (/) ) ) ) = ( S ` x ) )
2921, 28eqtrd 2265 . 2 |- ( ( S e. Word B /\ x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> ( ( (/) ++ S ) ` x ) = ( S ` x ) )
3013, 14, 29eqfnfvd 5778 1 |- ( S e. Word B -> ( (/) ++ S ) = S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   (/)c0 3508   Fn wfn 5347   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   0cc0 8127   + caddc 8130   - cmin 8444   ZZcz 9577  ..^cfzo 10476  ♯chash 11138  Word cword 11224   ++ cconcat 11278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-1o 6647  df-er 6767  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-ihash 11139  df-word 11225  df-concat 11279
This theorem is referenced by:  ccatidid  11298  ccat1st1st  11329  swrdccat  11427  konigsberglem1  16483  konigsberglem2  16484  konigsberglem3  16485
  Copyright terms: Public domain W3C validator