ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ccatlid Unicode version
Theorem ccatlid 11396
Description: Concatenation of a word by the empty word on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 1-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
ccatlid |- ( S e. Word B -> ( (/) ++ S ) = S )
Proof of Theorem ccatlid
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wrd0 11351 . . . 4 |- (/) e. Word B
2 ccatvalfn 11391 . . . 4 |- ( ( (/) e. Word B /\ S e. Word B ) -> ( (/) ++ S ) Fn ( 0..^ ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) ) )
31, 2mpan 428 . . 3 |- ( S e. Word B -> ( (/) ++ S ) Fn ( 0..^ ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) ) )
4 hash0 11257 . . . . . . . 8 |- (♯ ` (/) ) = 0
54oveq1i 6098 . . . . . . 7 |- ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) = ( 0 + (♯ ` S ) )
6 lencl 11330 . . . . . . . . 9 |- ( S e. Word B -> (♯ ` S ) e. NN0 )
76nn0cnd 9633 . . . . . . . 8 |- ( S e. Word B -> (♯ ` S ) e. CC )
87addlidd 8483 . . . . . . 7 |- ( S e. Word B -> ( 0 + (♯ ` S ) ) = (♯ ` S ) )
95, 8eqtrid 2283 . . . . . 6 |- ( S e. Word B -> ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) = (♯ ` S ) )
109eqcomd 2244 . . . . 5 |- ( S e. Word B -> (♯ ` S ) = ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) )
1110oveq2d 6104 . . . 4 |- ( S e. Word B -> ( 0..^ (♯ ` S ) ) = ( 0..^ ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) ) )
1211fneq2d 5475 . . 3 |- ( S e. Word B -> ( ( (/) ++ S ) Fn ( 0..^ (♯ ` S ) ) <-> ( (/) ++ S ) Fn ( 0..^ ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) ) ) )
133, 12mpbird 167 . 2 |- ( S e. Word B -> ( (/) ++ S ) Fn ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
14 wrdfn 11341 . 2 |- ( S e. Word B -> S Fn ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
154a1i 9 . . . . . . 7 |- ( S e. Word B -> (♯ ` (/) ) = 0 )
1615, 9oveq12d 6106 . . . . . 6 |- ( S e. Word B -> ( (♯ ` (/) )..^ ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) ) = ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
1716eleq2d 2308 . . . . 5 |- ( S e. Word B -> ( x e. ( (♯ ` (/) )..^ ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) ) <-> x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) )
1817biimpar 297 . . . 4 |- ( ( S e. Word B /\ x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> x e. ( (♯ ` (/) )..^ ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) ) )
19 ccatval2 11388 . . . . 5 |- ( ( (/) e. Word B /\ S e. Word B /\ x e. ( (♯ ` (/) )..^ ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) ) ) -> ( ( (/) ++ S ) ` x ) = ( S ` ( x - (♯ ` (/) ) ) ) )
201, 19mp3an1 1365 . . . 4 |- ( ( S e. Word B /\ x e. ( (♯ ` (/) )..^ ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) ) ) -> ( ( (/) ++ S ) ` x ) = ( S ` ( x - (♯ ` (/) ) ) ) )
2118, 20syldan 282 . . 3 |- ( ( S e. Word B /\ x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> ( ( (/) ++ S ) ` x ) = ( S ` ( x - (♯ ` (/) ) ) ) )
224oveq2i 6099 . . . . 5 |- ( x - (♯ ` (/) ) ) = ( x - 0 )
23 elfzoelz 10571 . . . . . . . 8 |- ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) -> x e. ZZ )
2423adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( S e. Word B /\ x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> x e. ZZ )
2524zcnd 9780 . . . . . 6 |- ( ( S e. Word B /\ x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> x e. CC )
2625subid1d 8633 . . . . 5 |- ( ( S e. Word B /\ x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> ( x - 0 ) = x )
2722, 26eqtrid 2283 . . . 4 |- ( ( S e. Word B /\ x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> ( x - (♯ ` (/) ) ) = x )
2827fveq2d 5702 . . 3 |- ( ( S e. Word B /\ x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> ( S ` ( x - (♯ ` (/) ) ) ) = ( S ` x ) )
2921, 28eqtrd 2271 . 2 |- ( ( S e. Word B /\ x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> ( ( (/) ++ S ) ` x ) = ( S ` x ) )
3013, 14, 29eqfnfvd 5812 1 |- ( S e. Word B -> ( (/) ++ S ) = S )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   (/)c0 3520   Fn wfn 5375   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   0cc0 8185   + caddc 8188   - cmin 8504   ZZcz 9655  ..^cfzo 10566  ♯chash 11236  Word cword 11326   ++ cconcat 11380
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-ihash 11237  df-word 11327  df-concat 11381
This theorem is used by:  ccatidid  11400  ccat1st1st  11431  swrdccat  11529  konigsberglem1  16934  konigsberglem2  16935  konigsberglem3  16936
  Copyright terms: Public domain W3C validator