ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ccatlid Unicode version
Theorem ccatlid 11319
Description: Concatenation of a word by the empty word on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 1-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
ccatlid |- ( S e. Word B -> ( (/) ++ S ) = S )
Proof of Theorem ccatlid
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wrd0 11274 . . . 4 |- (/) e. Word B
2 ccatvalfn 11314 . . . 4 |- ( ( (/) e. Word B /\ S e. Word B ) -> ( (/) ++ S ) Fn ( 0..^ ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) ) )
31, 2mpan 424 . . 3 |- ( S e. Word B -> ( (/) ++ S ) Fn ( 0..^ ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) ) )
4 hash0 11184 . . . . . . . 8 |- (♯ ` (/) ) = 0
54oveq1i 6068 . . . . . . 7 |- ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) = ( 0 + (♯ ` S ) )
6 lencl 11253 . . . . . . . . 9 |- ( S e. Word B -> (♯ ` S ) e. NN0 )
76nn0cnd 9572 . . . . . . . 8 |- ( S e. Word B -> (♯ ` S ) e. CC )
87addlidd 8439 . . . . . . 7 |- ( S e. Word B -> ( 0 + (♯ ` S ) ) = (♯ ` S ) )
95, 8eqtrid 2279 . . . . . 6 |- ( S e. Word B -> ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) = (♯ ` S ) )
109eqcomd 2240 . . . . 5 |- ( S e. Word B -> (♯ ` S ) = ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) )
1110oveq2d 6074 . . . 4 |- ( S e. Word B -> ( 0..^ (♯ ` S ) ) = ( 0..^ ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) ) )
1211fneq2d 5452 . . 3 |- ( S e. Word B -> ( ( (/) ++ S ) Fn ( 0..^ (♯ ` S ) ) <-> ( (/) ++ S ) Fn ( 0..^ ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) ) ) )
133, 12mpbird 167 . 2 |- ( S e. Word B -> ( (/) ++ S ) Fn ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
14 wrdfn 11264 . 2 |- ( S e. Word B -> S Fn ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
154a1i 9 . . . . . . 7 |- ( S e. Word B -> (♯ ` (/) ) = 0 )
1615, 9oveq12d 6076 . . . . . 6 |- ( S e. Word B -> ( (♯ ` (/) )..^ ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) ) = ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
1716eleq2d 2304 . . . . 5 |- ( S e. Word B -> ( x e. ( (♯ ` (/) )..^ ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) ) <-> x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) )
1817biimpar 297 . . . 4 |- ( ( S e. Word B /\ x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> x e. ( (♯ ` (/) )..^ ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) ) )
19 ccatval2 11311 . . . . 5 |- ( ( (/) e. Word B /\ S e. Word B /\ x e. ( (♯ ` (/) )..^ ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) ) ) -> ( ( (/) ++ S ) ` x ) = ( S ` ( x - (♯ ` (/) ) ) ) )
201, 19mp3an1 1361 . . . 4 |- ( ( S e. Word B /\ x e. ( (♯ ` (/) )..^ ( (♯ ` (/) ) + (♯ ` S ) ) ) ) -> ( ( (/) ++ S ) ` x ) = ( S ` ( x - (♯ ` (/) ) ) ) )
2118, 20syldan 282 . . 3 |- ( ( S e. Word B /\ x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> ( ( (/) ++ S ) ` x ) = ( S ` ( x - (♯ ` (/) ) ) ) )
224oveq2i 6069 . . . . 5 |- ( x - (♯ ` (/) ) ) = ( x - 0 )
23 elfzoelz 10503 . . . . . . . 8 |- ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) -> x e. ZZ )
2423adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( S e. Word B /\ x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> x e. ZZ )
2524zcnd 9719 . . . . . 6 |- ( ( S e. Word B /\ x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> x e. CC )
2625subid1d 8589 . . . . 5 |- ( ( S e. Word B /\ x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> ( x - 0 ) = x )
2722, 26eqtrid 2279 . . . 4 |- ( ( S e. Word B /\ x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> ( x - (♯ ` (/) ) ) = x )
2827fveq2d 5679 . . 3 |- ( ( S e. Word B /\ x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> ( S ` ( x - (♯ ` (/) ) ) ) = ( S ` x ) )
2921, 28eqtrd 2267 . 2 |- ( ( S e. Word B /\ x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> ( ( (/) ++ S ) ` x ) = ( S ` x ) )
3013, 14, 29eqfnfvd 5783 1 |- ( S e. Word B -> ( (/) ++ S ) = S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   (/)c0 3512   Fn wfn 5352   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   0cc0 8143   + caddc 8146   - cmin 8460   ZZcz 9594  ..^cfzo 10498  ♯chash 11163  Word cword 11249   ++ cconcat 11303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-ihash 11164  df-word 11250  df-concat 11304
This theorem is referenced by:  ccatidid  11323  ccat1st1st  11354  swrdccat  11452  konigsberglem1  16609  konigsberglem2  16610  konigsberglem3  16611
  Copyright terms: Public domain W3C validator