Theorem ccatvalfn 11314

Description: The concatenation of two words is a function over the half-open integer range having the sum of the lengths of the word as length. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ccatvalfn	|- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( A ++ B ) Fn ( 0..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) )

Proof of Theorem ccatvalfn

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexg 5694	. . . . . 6 |- ( ( A e. Word V /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( A ` x ) e. _V )
2	1	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( A ` x ) e. _V )
3		simplr 529	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) ) -> B e. Word V )
4		elfzoelz 10503	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) -> x e. ZZ )
5	4	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) ) -> x e. ZZ )
6		lencl 11253	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Word V -> (♯ ` A ) e. NN0 )
7	6	nn0zd 9716	. . . . . . . 8 |- ( A e. Word V -> (♯ ` A ) e. ZZ )
8	7	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) ) -> (♯ ` A ) e. ZZ )
9	5, 8	zsubcld 9723	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( x - (♯ ` A ) ) e. ZZ )
10		fvexg 5694	. . . . . 6 |- ( ( B e. Word V /\ ( x - (♯ ` A ) ) e. ZZ ) -> ( B ` ( x - (♯ ` A ) ) ) e. _V )
11	3, 9, 10	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( B ` ( x - (♯ ` A ) ) ) e. _V )
12	2, 11	ifexd 4610	. . . 4 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) ) -> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` A ) ) , ( A ` x ) , ( B ` ( x - (♯ ` A ) ) ) ) e. _V )
13	12	ralrimiva 2617	. . 3 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> A. x e. ( 0..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) if ( x e. ( 0..^ (♯ ` A ) ) , ( A ` x ) , ( B ` ( x - (♯ ` A ) ) ) ) e. _V )
14		eqid 2234	. . . 4 |- ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` A ) ) , ( A ` x ) , ( B ` ( x - (♯ ` A ) ) ) ) ) = ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` A ) ) , ( A ` x ) , ( B ` ( x - (♯ ` A ) ) ) ) )
15	14	fnmpt 5490	. . 3 |- ( A. x e. ( 0..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) if ( x e. ( 0..^ (♯ ` A ) ) , ( A ` x ) , ( B ` ( x - (♯ ` A ) ) ) ) e. _V -> ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` A ) ) , ( A ` x ) , ( B ` ( x - (♯ ` A ) ) ) ) ) Fn ( 0..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) )
16	13, 15	syl 14	. 2 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` A ) ) , ( A ` x ) , ( B ` ( x - (♯ ` A ) ) ) ) ) Fn ( 0..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) )
17		wrdfin 11268	. . . 4 |- ( A e. Word V -> A e. Fin )
18		wrdfin 11268	. . . 4 |- ( B e. Word V -> B e. Fin )
19		ccatfvalfi 11305	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( A ++ B ) = ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` A ) ) , ( A ` x ) , ( B ` ( x - (♯ ` A ) ) ) ) ) )
20	17, 18, 19	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( A ++ B ) = ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` A ) ) , ( A ` x ) , ( B ` ( x - (♯ ` A ) ) ) ) ) )
21	20	fneq1d 5451	. 2 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( ( A ++ B ) Fn ( 0..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) <-> ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` A ) ) , ( A ` x ) , ( B ` ( x - (♯ ` A ) ) ) ) ) Fn ( 0..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) ) )
22	16, 21	mpbird 167	1 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( A ++ B ) Fn ( 0..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   _Vcvv 2815   ifcif 3624   |-> cmpt 4176   Fn wfn 5352   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Fincfn 6988   0cc0 8143   + caddc 8146   - cmin 8460   ZZcz 9594  ..^cfzo 10498  ♯chash 11163  Word cword 11249   ++ cconcat 11303

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-ihash 11164  df-word 11250  df-concat 11304

This theorem is referenced by:  ccatlid  11319  ccatrid  11320  ccatrn  11322  pfxccat1  11419  pfxccatin12  11450