Theorem ccatfvalfi 11338

Description: Value of the concatenation operator. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ccatfvalfi	|- ( ( S e. Fin /\ T e. Fin ) -> ( S ++ T ) = ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, S   x, T

Proof of Theorem ccatfvalfi

Dummy variables t s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2833	. . 3 |- ( S e. Fin -> S e. _V )
2	1	adantr 276	. 2 |- ( ( S e. Fin /\ T e. Fin ) -> S e. _V )
3		elex 2833	. . 3 |- ( T e. Fin -> T e. _V )
4	3	adantl 277	. 2 |- ( ( S e. Fin /\ T e. Fin ) -> T e. _V )
5		0zd 9635	. . . 4 |- ( ( S e. Fin /\ T e. Fin ) -> 0 e. ZZ )
6		hashcl 11198	. . . . . . 7 |- ( S e. Fin -> (♯ ` S ) e. NN0 )
7	6	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( S e. Fin /\ T e. Fin ) -> (♯ ` S ) e. NN0 )
8		hashcl 11198	. . . . . . 7 |- ( T e. Fin -> (♯ ` T ) e. NN0 )
9	8	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( S e. Fin /\ T e. Fin ) -> (♯ ` T ) e. NN0 )
10	7, 9	nn0addcld 9603	. . . . 5 |- ( ( S e. Fin /\ T e. Fin ) -> ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) e. NN0 )
11	10	nn0zd 9745	. . . 4 |- ( ( S e. Fin /\ T e. Fin ) -> ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) e. ZZ )
12		fzofig 10847	. . . 4 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) e. ZZ ) -> ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) e. Fin )
13	5, 11, 12	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( S e. Fin /\ T e. Fin ) -> ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) e. Fin )
14	13	mptexd 5935	. 2 |- ( ( S e. Fin /\ T e. Fin ) -> ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) e. _V )
15		fveq2 5690	. . . . . 6 |- ( s = S -> (♯ ` s ) = (♯ ` S ) )
16	15	oveq1d 6090	. . . . 5 |- ( s = S -> ( (♯ ` s ) + (♯ ` t ) ) = ( (♯ ` S ) + (♯ ` t ) ) )
17	16	oveq2d 6091	. . . 4 |- ( s = S -> ( 0..^ ( (♯ ` s ) + (♯ ` t ) ) ) = ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` t ) ) ) )
18	15	oveq2d 6091	. . . . . 6 |- ( s = S -> ( 0..^ (♯ ` s ) ) = ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
19	18	eleq2d 2308	. . . . 5 |- ( s = S -> ( x e. ( 0..^ (♯ ` s ) ) <-> x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) )
20		fveq1 5689	. . . . 5 |- ( s = S -> ( s ` x ) = ( S ` x ) )
21	15	oveq2d 6091	. . . . . 6 |- ( s = S -> ( x - (♯ ` s ) ) = ( x - (♯ ` S ) ) )
22	21	fveq2d 5694	. . . . 5 |- ( s = S -> ( t ` ( x - (♯ ` s ) ) ) = ( t ` ( x - (♯ ` S ) ) ) )
23	19, 20, 22	ifbieq12d 3664	. . . 4 |- ( s = S -> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` s ) ) , ( s ` x ) , ( t ` ( x - (♯ ` s ) ) ) ) = if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( t ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) )
24	17, 23	mpteq12dv 4208	. . 3 |- ( s = S -> ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` s ) + (♯ ` t ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` s ) ) , ( s ` x ) , ( t ` ( x - (♯ ` s ) ) ) ) ) = ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` t ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( t ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) )
25		fveq2 5690	. . . . . 6 |- ( t = T -> (♯ ` t ) = (♯ ` T ) )
26	25	oveq2d 6091	. . . . 5 |- ( t = T -> ( (♯ ` S ) + (♯ ` t ) ) = ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) )
27	26	oveq2d 6091	. . . 4 |- ( t = T -> ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` t ) ) ) = ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) )
28		fveq1 5689	. . . . 5 |- ( t = T -> ( t ` ( x - (♯ ` S ) ) ) = ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) )
29	28	ifeq2d 3656	. . . 4 |- ( t = T -> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( t ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) = if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) )
30	27, 29	mpteq12dv 4208	. . 3 |- ( t = T -> ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` t ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( t ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) = ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) )
31		df-concat 11337	. . 3 |- ++ = ( s e. _V , t e. _V |-> ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` s ) + (♯ ` t ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` s ) ) , ( s ` x ) , ( t ` ( x - (♯ ` s ) ) ) ) ) )
32	24, 30, 31	ovmpog 6213	. 2 |- ( ( S e. _V /\ T e. _V /\ ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) e. _V ) -> ( S ++ T ) = ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) )
33	2, 4, 14, 32	syl3anc 1278	1 |- ( ( S e. Fin /\ T e. Fin ) -> ( S ++ T ) = ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   ifcif 3635   |-> cmpt 4187   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Fincfn 7012   0cc0 8169   + caddc 8172   - cmin 8487   NN0cn0 9542   ZZcz 9623  ..^cfzo 10527  ♯chash 11192   ++ cconcat 11336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-1o 6677  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-ihash 11193  df-concat 11337

This theorem is referenced by:  ccatcl  11339  ccatlen  11341  ccatval1  11343  ccatval2  11344  ccatvalfn  11347  ccatalpha  11359