Theorem ccatfvalfi 11168

Description: Value of the concatenation operator. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ccatfvalfi	|- ( ( S e. Fin /\ T e. Fin ) -> ( S ++ T ) = ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, S   x, T

Proof of Theorem ccatfvalfi

Dummy variables t s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2814	. . 3 |- ( S e. Fin -> S e. _V )
2	1	adantr 276	. 2 |- ( ( S e. Fin /\ T e. Fin ) -> S e. _V )
3		elex 2814	. . 3 |- ( T e. Fin -> T e. _V )
4	3	adantl 277	. 2 |- ( ( S e. Fin /\ T e. Fin ) -> T e. _V )
5		0zd 9490	. . . 4 |- ( ( S e. Fin /\ T e. Fin ) -> 0 e. ZZ )
6		hashcl 11042	. . . . . . 7 |- ( S e. Fin -> (♯ ` S ) e. NN0 )
7	6	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( S e. Fin /\ T e. Fin ) -> (♯ ` S ) e. NN0 )
8		hashcl 11042	. . . . . . 7 |- ( T e. Fin -> (♯ ` T ) e. NN0 )
9	8	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( S e. Fin /\ T e. Fin ) -> (♯ ` T ) e. NN0 )
10	7, 9	nn0addcld 9458	. . . . 5 |- ( ( S e. Fin /\ T e. Fin ) -> ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) e. NN0 )
11	10	nn0zd 9599	. . . 4 |- ( ( S e. Fin /\ T e. Fin ) -> ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) e. ZZ )
12		fzofig 10693	. . . 4 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) e. ZZ ) -> ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) e. Fin )
13	5, 11, 12	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( S e. Fin /\ T e. Fin ) -> ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) e. Fin )
14	13	mptexd 5880	. 2 |- ( ( S e. Fin /\ T e. Fin ) -> ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) e. _V )
15		fveq2 5639	. . . . . 6 |- ( s = S -> (♯ ` s ) = (♯ ` S ) )
16	15	oveq1d 6032	. . . . 5 |- ( s = S -> ( (♯ ` s ) + (♯ ` t ) ) = ( (♯ ` S ) + (♯ ` t ) ) )
17	16	oveq2d 6033	. . . 4 |- ( s = S -> ( 0..^ ( (♯ ` s ) + (♯ ` t ) ) ) = ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` t ) ) ) )
18	15	oveq2d 6033	. . . . . 6 |- ( s = S -> ( 0..^ (♯ ` s ) ) = ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
19	18	eleq2d 2301	. . . . 5 |- ( s = S -> ( x e. ( 0..^ (♯ ` s ) ) <-> x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) )
20		fveq1 5638	. . . . 5 |- ( s = S -> ( s ` x ) = ( S ` x ) )
21	15	oveq2d 6033	. . . . . 6 |- ( s = S -> ( x - (♯ ` s ) ) = ( x - (♯ ` S ) ) )
22	21	fveq2d 5643	. . . . 5 |- ( s = S -> ( t ` ( x - (♯ ` s ) ) ) = ( t ` ( x - (♯ ` S ) ) ) )
23	19, 20, 22	ifbieq12d 3632	. . . 4 |- ( s = S -> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` s ) ) , ( s ` x ) , ( t ` ( x - (♯ ` s ) ) ) ) = if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( t ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) )
24	17, 23	mpteq12dv 4171	. . 3 |- ( s = S -> ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` s ) + (♯ ` t ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` s ) ) , ( s ` x ) , ( t ` ( x - (♯ ` s ) ) ) ) ) = ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` t ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( t ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) )
25		fveq2 5639	. . . . . 6 |- ( t = T -> (♯ ` t ) = (♯ ` T ) )
26	25	oveq2d 6033	. . . . 5 |- ( t = T -> ( (♯ ` S ) + (♯ ` t ) ) = ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) )
27	26	oveq2d 6033	. . . 4 |- ( t = T -> ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` t ) ) ) = ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) )
28		fveq1 5638	. . . . 5 |- ( t = T -> ( t ` ( x - (♯ ` S ) ) ) = ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) )
29	28	ifeq2d 3624	. . . 4 |- ( t = T -> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( t ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) = if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) )
30	27, 29	mpteq12dv 4171	. . 3 |- ( t = T -> ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` t ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( t ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) = ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) )
31		df-concat 11167	. . 3 |- ++ = ( s e. _V , t e. _V |-> ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` s ) + (♯ ` t ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` s ) ) , ( s ` x ) , ( t ` ( x - (♯ ` s ) ) ) ) ) )
32	24, 30, 31	ovmpog 6155	. 2 |- ( ( S e. _V /\ T e. _V /\ ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) e. _V ) -> ( S ++ T ) = ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) )
33	2, 4, 14, 32	syl3anc 1273	1 |- ( ( S e. Fin /\ T e. Fin ) -> ( S ++ T ) = ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   ifcif 3605   |-> cmpt 4150   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Fincfn 6908   0cc0 8031   + caddc 8034   - cmin 8349   NN0cn0 9401   ZZcz 9478  ..^cfzo 10376  ♯chash 11036   ++ cconcat 11166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-er 6701  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-ihash 11037  df-concat 11167

This theorem is referenced by:  ccatcl  11169  ccatlen  11171  ccatval1  11173  ccatval2  11174  ccatvalfn  11177  ccatalpha  11189