Theorem cnfldsub 14671

Description: The subtraction operator in the field of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldsub	⊢ − = (-g‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldsub

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldbas 14656	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
2		cnfldadd 14658	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
3		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
4		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (-g‘ℂfld) = (-g‘ℂfld)
5	1, 2, 3, 4	grpsubval 13709	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥(-g‘ℂfld)𝑦) = (𝑥 + ((invg‘ℂfld)‘𝑦)))
6		cnfldneg 14669	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝑦) = -𝑦)
7	6	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((invg‘ℂfld)‘𝑦) = -𝑦)
8	7	oveq2d 6044	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + ((invg‘ℂfld)‘𝑦)) = (𝑥 + -𝑦))
9		negsub 8486	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + -𝑦) = (𝑥 − 𝑦))
10	5, 8, 9	3eqtrrd 2269	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑥(-g‘ℂfld)𝑦))
11	10	mpoeq3ia 6096	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 𝑦)) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥(-g‘ℂfld)𝑦))
12		subf 8440	. . 3 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
13		ffn 5489	. . 3 ⊢ ( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → − Fn (ℂ × ℂ))
14		fnovim 6140	. . 3 ⊢ ( − Fn (ℂ × ℂ) → − = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 𝑦)))
15	12, 13, 14	mp2b 8	. 2 ⊢ − = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 𝑦))
16		cnring 14666	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
17		ringgrp 14095	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Grp
19	1, 4	grpsubf 13742	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ Grp → (-g‘ℂfld):(ℂ × ℂ)⟶ℂ)
20		ffn 5489	. . . 4 ⊢ ((-g‘ℂfld):(ℂ × ℂ)⟶ℂ → (-g‘ℂfld) Fn (ℂ × ℂ))
21	18, 19, 20	mp2b 8	. . 3 ⊢ (-g‘ℂfld) Fn (ℂ × ℂ)
22		fnovim 6140	. . 3 ⊢ ((-g‘ℂfld) Fn (ℂ × ℂ) → (-g‘ℂfld) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥(-g‘ℂfld)𝑦)))
23	21, 22	ax-mp 5	. 2 ⊢ (-g‘ℂfld) = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥(-g‘ℂfld)𝑦))
24	11, 15, 23	3eqtr4i 2262	1 ⊢ − = (-g‘ℂfld)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   × cxp 4729   Fn wfn 5328  ⟶wf 5329  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028   ∈ cmpo 6030  ℂcc 8090   + caddc 8095   − cmin 8409  -cneg 8410  Grpcgrp 13663  inv_gcminusg 13664  -_gcsg 13665  Ringcrg 14090  ℂ_fldccnfld 14652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-addf 8214  ax-mulf 8215

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-tp 3681  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-5 9264  df-6 9265  df-7 9266  df-8 9267  df-9 9268  df-n0 9462  df-z 9541  df-dec 9673  df-uz 9817  df-rp 9950  df-fz 10306  df-cj 11482  df-abs 11639  df-struct 13164  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-sets 13169  df-plusg 13253  df-mulr 13254  df-starv 13255  df-tset 13259  df-ple 13260  df-ds 13262  df-unif 13263  df-0g 13421  df-topgen 13423  df-mgm 13519  df-sgrp 13565  df-mnd 13580  df-grp 13666  df-minusg 13667  df-sbg 13668  df-cmn 13953  df-mgp 14015  df-ring 14092  df-cring 14093  df-bl 14642  df-mopn 14643  df-fg 14645  df-metu 14646  df-cnfld 14653

This theorem is referenced by:  zringsubgval  14701  zndvds  14745