Theorem dec5dvds2 12922

Description: Divisibility by five is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dec5dvds.1	|- A e. NN0
dec5dvds.2	|- B e. NN
dec5dvds.3	|- B < 5
dec5dvds2.4	|- ( 5 + B ) = C

Assertion

Ref	Expression
dec5dvds2	|- -. 5 || ; A C

Proof of Theorem dec5dvds2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dec5dvds.1	. . 3 |- A e. NN0
2		dec5dvds.2	. . 3 |- B e. NN
3		dec5dvds.3	. . 3 |- B < 5
4	1, 2, 3	dec5dvds 12921	. 2 |- -. 5 || ; A B
5		5nn0 9377	. . . . 5 |- 5 e. NN0
6	5	nn0zi 9456	. . . 4 |- 5 e. ZZ
7	2	nnnn0i 9365	. . . . . 6 |- B e. NN0
8	1, 7	deccl 9580	. . . . 5 |- ; A B e. NN0
9	8	nn0zi 9456	. . . 4 |- ; A B e. ZZ
10		dvdsadd 12333	. . . 4 |- ( ( 5 e. ZZ /\ ; A B e. ZZ ) -> ( 5 || ; A B <-> 5 || ( 5 + ; A B ) ) )
11	6, 9, 10	mp2an 426	. . 3 |- ( 5 || ; A B <-> 5 || ( 5 + ; A B ) )
12		0nn0 9372	. . . . 5 |- 0 e. NN0
13	5	dec0h 9587	. . . . 5 |- 5 = ; 0 5
14		eqid 2229	. . . . 5 |- ; A B = ; A B
15	1	nn0cni 9369	. . . . . 6 |- A e. CC
16	15	addlidi 8277	. . . . 5 |- ( 0 + A ) = A
17		dec5dvds2.4	. . . . 5 |- ( 5 + B ) = C
18	12, 5, 1, 7, 13, 14, 16, 17	decadd 9619	. . . 4 |- ( 5 + ; A B ) = ; A C
19	18	breq2i 4090	. . 3 |- ( 5 || ( 5 + ; A B ) <-> 5 || ; A C )
20	11, 19	bitri 184	. 2 |- ( 5 || ; A B <-> 5 || ; A C )
21	4, 20	mtbi 674	1 |- -. 5 || ; A C

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4082  (class class class)co 5994   0cc0 7987   + caddc 7990   < clt 8169   NNcn 9098   5c5 9152   NN0cn0 9357   ZZcz 9434  ;cdc 9566   || cdvds 12284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104  ax-pre-mulext 8105  ax-arch 8106

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-frec 6527  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717  df-div 8808  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-5 9160  df-6 9161  df-7 9162  df-8 9163  df-9 9164  df-n0 9358  df-z 9435  df-dec 9567  df-uz 9711  df-q 9803  df-rp 9838  df-fl 10477  df-mod 10532  df-seqfrec 10657  df-exp 10748  df-cj 11339  df-re 11340  df-im 11341  df-rsqrt 11495  df-abs 11496  df-dvds 12285

This theorem is referenced by: (None)