Theorem dec5dvds2 13136

Description: Divisibility by five is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dec5dvds.1	|- A e. NN0
dec5dvds.2	|- B e. NN
dec5dvds.3	|- B < 5
dec5dvds2.4	|- ( 5 + B ) = C

Assertion

Ref	Expression
dec5dvds2	|- -. 5 || ; A C

Proof of Theorem dec5dvds2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dec5dvds.1	. . 3 |- A e. NN0
2		dec5dvds.2	. . 3 |- B e. NN
3		dec5dvds.3	. . 3 |- B < 5
4	1, 2, 3	dec5dvds 13135	. 2 |- -. 5 || ; A B
5		5nn0 9533	. . . . 5 |- 5 e. NN0
6	5	nn0zi 9616	. . . 4 |- 5 e. ZZ
7	2	nnnn0i 9521	. . . . . 6 |- B e. NN0
8	1, 7	deccl 9741	. . . . 5 |- ; A B e. NN0
9	8	nn0zi 9616	. . . 4 |- ; A B e. ZZ
10		dvdsadd 12547	. . . 4 |- ( ( 5 e. ZZ /\ ; A B e. ZZ ) -> ( 5 || ; A B <-> 5 || ( 5 + ; A B ) ) )
11	6, 9, 10	mp2an 426	. . 3 |- ( 5 || ; A B <-> 5 || ( 5 + ; A B ) )
12		0nn0 9528	. . . . 5 |- 0 e. NN0
13	5	dec0h 9748	. . . . 5 |- 5 = ; 0 5
14		eqid 2234	. . . . 5 |- ; A B = ; A B
15	1	nn0cni 9525	. . . . . 6 |- A e. CC
16	15	addlidi 8432	. . . . 5 |- ( 0 + A ) = A
17		dec5dvds2.4	. . . . 5 |- ( 5 + B ) = C
18	12, 5, 1, 7, 13, 14, 16, 17	decadd 9780	. . . 4 |- ( 5 + ; A B ) = ; A C
19	18	breq2i 4122	. . 3 |- ( 5 || ( 5 + ; A B ) <-> 5 || ; A C )
20	11, 19	bitri 184	. 2 |- ( 5 || ; A B <-> 5 || ; A C )
21	4, 20	mtbi 677	1 |- -. 5 || ; A C

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058   0cc0 8143   + caddc 8146   < clt 8324   NNcn 9254   5c5 9308   NN0cn0 9513   ZZcz 9594  ;cdc 9727   || cdvds 12498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-z 9595  df-dec 9728  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fl 10654  df-mod 10709  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-dvds 12499

This theorem is referenced by: (None)