Theorem dec5dvds2 13141

Description: Divisibility by five is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dec5dvds.1	|- A e. NN0
dec5dvds.2	|- B e. NN
dec5dvds.3	|- B < 5
dec5dvds2.4	|- ( 5 + B ) = C

Assertion

Ref	Expression
dec5dvds2	|- -. 5 || ; A C

Proof of Theorem dec5dvds2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dec5dvds.1	. . 3 |- A e. NN0
2		dec5dvds.2	. . 3 |- B e. NN
3		dec5dvds.3	. . 3 |- B < 5
4	1, 2, 3	dec5dvds 13140	. 2 |- -. 5 || ; A B
5		5nn0 9537	. . . . 5 |- 5 e. NN0
6	5	nn0zi 9620	. . . 4 |- 5 e. ZZ
7	2	nnnn0i 9525	. . . . . 6 |- B e. NN0
8	1, 7	deccl 9745	. . . . 5 |- ; A B e. NN0
9	8	nn0zi 9620	. . . 4 |- ; A B e. ZZ
10		dvdsadd 12552	. . . 4 |- ( ( 5 e. ZZ /\ ; A B e. ZZ ) -> ( 5 || ; A B <-> 5 || ( 5 + ; A B ) ) )
11	6, 9, 10	mp2an 426	. . 3 |- ( 5 || ; A B <-> 5 || ( 5 + ; A B ) )
12		0nn0 9532	. . . . 5 |- 0 e. NN0
13	5	dec0h 9752	. . . . 5 |- 5 = ; 0 5
14		eqid 2234	. . . . 5 |- ; A B = ; A B
15	1	nn0cni 9529	. . . . . 6 |- A e. CC
16	15	addlidi 8434	. . . . 5 |- ( 0 + A ) = A
17		dec5dvds2.4	. . . . 5 |- ( 5 + B ) = C
18	12, 5, 1, 7, 13, 14, 16, 17	decadd 9784	. . . 4 |- ( 5 + ; A B ) = ; A C
19	18	breq2i 4123	. . 3 |- ( 5 || ( 5 + ; A B ) <-> 5 || ; A C )
20	11, 19	bitri 184	. 2 |- ( 5 || ; A B <-> 5 || ; A C )
21	4, 20	mtbi 677	1 |- -. 5 || ; A C

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   class class class wbr 4115  (class class class)co 6059   0cc0 8144   + caddc 8147   < clt 8325   NNcn 9258   5c5 9312   NN0cn0 9517   ZZcz 9598  ;cdc 9731   || cdvds 12503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-iinf 4716  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-1cn 8237  ax-1re 8238  ax-icn 8239  ax-addcl 8240  ax-addrcl 8241  ax-mulcl 8242  ax-mulrcl 8243  ax-addcom 8244  ax-mulcom 8245  ax-addass 8246  ax-mulass 8247  ax-distr 8248  ax-i2m1 8249  ax-0lt1 8250  ax-1rid 8251  ax-0id 8252  ax-rnegex 8253  ax-precex 8254  ax-cnre 8255  ax-pre-ltirr 8256  ax-pre-ltwlin 8257  ax-pre-lttrn 8258  ax-pre-apti 8259  ax-pre-ltadd 8260  ax-pre-mulgt0 8261  ax-pre-mulext 8262  ax-arch 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3626  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-tr 4215  df-id 4420  df-po 4423  df-iso 4424  df-iord 4493  df-on 4495  df-ilim 4496  df-suc 4498  df-iom 4719  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-ima 4768  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-riota 6012  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-1st 6348  df-2nd 6349  df-recs 6550  df-frec 6636  df-pnf 8327  df-mnf 8328  df-xr 8329  df-ltxr 8330  df-le 8331  df-sub 8464  df-neg 8465  df-reap 8868  df-ap 8875  df-div 8968  df-inn 9259  df-2 9317  df-3 9318  df-4 9319  df-5 9320  df-6 9321  df-7 9322  df-8 9323  df-9 9324  df-n0 9518  df-z 9599  df-dec 9732  df-uz 9876  df-q 9974  df-rp 10009  df-fl 10658  df-mod 10713  df-seqfrec 10838  df-exp 10929  df-cj 11556  df-re 11557  df-im 11558  df-rsqrt 11713  df-abs 11714  df-dvds 12504

This theorem is referenced by: (None)