Theorem dec5dvds2 13009

Description: Divisibility by five is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dec5dvds.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dec5dvds.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ
dec5dvds.3	⊢ 𝐵 < 5
dec5dvds2.4	⊢ (5 + 𝐵) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
dec5dvds2	⊢ ¬ 5 ∥ ;𝐴𝐶

Proof of Theorem dec5dvds2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dec5dvds.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		dec5dvds.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
3		dec5dvds.3	. . 3 ⊢ 𝐵 < 5
4	1, 2, 3	dec5dvds 13008	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;𝐴𝐵
5		5nn0 9427	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
6	5	nn0zi 9506	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℤ
7	2	nnnn0i 9415	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
8	1, 7	deccl 9630	. . . . 5 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0
9	8	nn0zi 9506	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℤ
10		dvdsadd 12420	. . . 4 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ ;𝐴𝐵 ∈ ℤ) → (5 ∥ ;𝐴𝐵 ↔ 5 ∥ (5 + ;𝐴𝐵)))
11	6, 9, 10	mp2an 426	. . 3 ⊢ (5 ∥ ;𝐴𝐵 ↔ 5 ∥ (5 + ;𝐴𝐵))
12		0nn0 9422	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13	5	dec0h 9637	. . . . 5 ⊢ 5 = ;05
14		eqid 2230	. . . . 5 ⊢ ;𝐴𝐵 = ;𝐴𝐵
15	1	nn0cni 9419	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
16	15	addlidi 8327	. . . . 5 ⊢ (0 + 𝐴) = 𝐴
17		dec5dvds2.4	. . . . 5 ⊢ (5 + 𝐵) = 𝐶
18	12, 5, 1, 7, 13, 14, 16, 17	decadd 9669	. . . 4 ⊢ (5 + ;𝐴𝐵) = ;𝐴𝐶
19	18	breq2i 4097	. . 3 ⊢ (5 ∥ (5 + ;𝐴𝐵) ↔ 5 ∥ ;𝐴𝐶)
20	11, 19	bitri 184	. 2 ⊢ (5 ∥ ;𝐴𝐵 ↔ 5 ∥ ;𝐴𝐶)
21	4, 20	mtbi 676	1 ⊢ ¬ 5 ∥ ;𝐴𝐶

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2201   class class class wbr 4089  (class class class)co 6023  0cc0 8037   + caddc 8040   < clt 8219  ℕcn 9148  5c5 9202  ℕ₀cn0 9407  ℤcz 9484  ;cdc 9616   ∥ cdvds 12371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155  ax-arch 8156

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-iord 4465  df-on 4467  df-ilim 4468  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-frec 6562  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213  df-9 9214  df-n0 9408  df-z 9485  df-dec 9617  df-uz 9761  df-q 9859  df-rp 9894  df-fl 10536  df-mod 10591  df-seqfrec 10716  df-exp 10807  df-cj 11425  df-re 11426  df-im 11427  df-rsqrt 11581  df-abs 11582  df-dvds 12372

This theorem is referenced by: (None)