Theorem dec5dvds2 12558

Description: Divisibility by five is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dec5dvds.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dec5dvds.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ
dec5dvds.3	⊢ 𝐵 < 5
dec5dvds2.4	⊢ (5 + 𝐵) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
dec5dvds2	⊢ ¬ 5 ∥ ;𝐴𝐶

Proof of Theorem dec5dvds2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dec5dvds.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		dec5dvds.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
3		dec5dvds.3	. . 3 ⊢ 𝐵 < 5
4	1, 2, 3	dec5dvds 12557	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;𝐴𝐵
5		5nn0 9266	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
6	5	nn0zi 9345	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℤ
7	2	nnnn0i 9254	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
8	1, 7	deccl 9468	. . . . 5 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0
9	8	nn0zi 9345	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℤ
10		dvdsadd 11985	. . . 4 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ ;𝐴𝐵 ∈ ℤ) → (5 ∥ ;𝐴𝐵 ↔ 5 ∥ (5 + ;𝐴𝐵)))
11	6, 9, 10	mp2an 426	. . 3 ⊢ (5 ∥ ;𝐴𝐵 ↔ 5 ∥ (5 + ;𝐴𝐵))
12		0nn0 9261	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13	5	dec0h 9475	. . . . 5 ⊢ 5 = ;05
14		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ ;𝐴𝐵 = ;𝐴𝐵
15	1	nn0cni 9258	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
16	15	addlidi 8167	. . . . 5 ⊢ (0 + 𝐴) = 𝐴
17		dec5dvds2.4	. . . . 5 ⊢ (5 + 𝐵) = 𝐶
18	12, 5, 1, 7, 13, 14, 16, 17	decadd 9507	. . . 4 ⊢ (5 + ;𝐴𝐵) = ;𝐴𝐶
19	18	breq2i 4041	. . 3 ⊢ (5 ∥ (5 + ;𝐴𝐵) ↔ 5 ∥ ;𝐴𝐶)
20	11, 19	bitri 184	. 2 ⊢ (5 ∥ ;𝐴𝐵 ↔ 5 ∥ ;𝐴𝐶)
21	4, 20	mtbi 671	1 ⊢ ¬ 5 ∥ ;𝐴𝐶

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922  0cc0 7877   + caddc 7880   < clt 8059  ℕcn 8987  5c5 9041  ℕ₀cn0 9246  ℤcz 9323  ;cdc 9454   ∥ cdvds 11936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7968  ax-resscn 7969  ax-1cn 7970  ax-1re 7971  ax-icn 7972  ax-addcl 7973  ax-addrcl 7974  ax-mulcl 7975  ax-mulrcl 7976  ax-addcom 7977  ax-mulcom 7978  ax-addass 7979  ax-mulass 7980  ax-distr 7981  ax-i2m1 7982  ax-0lt1 7983  ax-1rid 7984  ax-0id 7985  ax-rnegex 7986  ax-precex 7987  ax-cnre 7988  ax-pre-ltirr 7989  ax-pre-ltwlin 7990  ax-pre-lttrn 7991  ax-pre-apti 7992  ax-pre-ltadd 7993  ax-pre-mulgt0 7994  ax-pre-mulext 7995  ax-arch 7996

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8061  df-mnf 8062  df-xr 8063  df-ltxr 8064  df-le 8065  df-sub 8197  df-neg 8198  df-reap 8599  df-ap 8606  df-div 8697  df-inn 8988  df-2 9046  df-3 9047  df-4 9048  df-5 9049  df-6 9050  df-7 9051  df-8 9052  df-9 9053  df-n0 9247  df-z 9324  df-dec 9455  df-uz 9599  df-q 9691  df-rp 9726  df-fl 10345  df-mod 10400  df-seqfrec 10525  df-exp 10616  df-cj 10992  df-re 10993  df-im 10994  df-rsqrt 11148  df-abs 11149  df-dvds 11937

This theorem is referenced by: (None)