Theorem dec5nprm 12608

Description: A decimal number greater than 10 and ending with five is not a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dec5nprm.1	|- A e. NN

Assertion

Ref	Expression
dec5nprm	|- -. ; A 5 e. Prime

Proof of Theorem dec5nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 9169	. . . 4 |- 2 e. NN
2		dec5nprm.1	. . . 4 |- A e. NN
3	1, 2	nnmulcli 9029	. . 3 |- ( 2 x. A ) e. NN
4		peano2nn 9019	. . 3 |- ( ( 2 x. A ) e. NN -> ( ( 2 x. A ) + 1 ) e. NN )
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 |- ( ( 2 x. A ) + 1 ) e. NN
6		5nn 9172	. 2 |- 5 e. NN
7		1nn0 9282	. . 3 |- 1 e. NN0
8		1lt2 9177	. . 3 |- 1 < 2
9	1, 2, 7, 7, 8	numlti 9510	. 2 |- 1 < ( ( 2 x. A ) + 1 )
10		1lt5 9186	. 2 |- 1 < 5
11	1	nncni 9017	. . . . . 6 |- 2 e. CC
12	2	nncni 9017	. . . . . 6 |- A e. CC
13		5cn 9087	. . . . . 6 |- 5 e. CC
14	11, 12, 13	mul32i 8190	. . . . 5 |- ( ( 2 x. A ) x. 5 ) = ( ( 2 x. 5 ) x. A )
15		5t2e10 9573	. . . . . . 7 |- ( 5 x. 2 ) = ; 1 0
16	13, 11, 15	mulcomli 8050	. . . . . 6 |- ( 2 x. 5 ) = ; 1 0
17	16	oveq1i 5935	. . . . 5 |- ( ( 2 x. 5 ) x. A ) = (; 1 0 x. A )
18	14, 17	eqtri 2217	. . . 4 |- ( ( 2 x. A ) x. 5 ) = (; 1 0 x. A )
19	13	mullidi 8046	. . . 4 |- ( 1 x. 5 ) = 5
20	18, 19	oveq12i 5937	. . 3 |- ( ( ( 2 x. A ) x. 5 ) + ( 1 x. 5 ) ) = ( (; 1 0 x. A ) + 5 )
21	3	nncni 9017	. . . 4 |- ( 2 x. A ) e. CC
22		ax-1cn 7989	. . . 4 |- 1 e. CC
23	21, 22, 13	adddiri 8054	. . 3 |- ( ( ( 2 x. A ) + 1 ) x. 5 ) = ( ( ( 2 x. A ) x. 5 ) + ( 1 x. 5 ) )
24		dfdec10 9477	. . 3 |- ; A 5 = ( (; 1 0 x. A ) + 5 )
25	20, 23, 24	3eqtr4i 2227	. 2 |- ( ( ( 2 x. A ) + 1 ) x. 5 ) = ; A 5
26	5, 6, 9, 10, 25	nprmi 12317	1 |- -. ; A 5 e. Prime

Syntax hints:   -. wn 3   e. wcel 2167  (class class class)co 5925   0cc0 7896   1c1 7897   + caddc 7899   x. cmul 7901   NNcn 9007   2c2 9058   5c5 9061  ;cdc 9474   Primecprime 12300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-1o 6483  df-2o 6484  df-er 6601  df-en 6809  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-7 9071  df-8 9072  df-9 9073  df-n0 9267  df-z 9344  df-dec 9475  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-dvds 11970  df-prm 12301

This theorem is referenced by: (None)