Theorem dec5nprm 13048

Description: A decimal number greater than 10 and ending with five is not a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dec5nprm.1	|- A e. NN

Assertion

Ref	Expression
dec5nprm	|- -. ; A 5 e. Prime

Proof of Theorem dec5nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 9348	. . . 4 |- 2 e. NN
2		dec5nprm.1	. . . 4 |- A e. NN
3	1, 2	nnmulcli 9208	. . 3 |- ( 2 x. A ) e. NN
4		peano2nn 9198	. . 3 |- ( ( 2 x. A ) e. NN -> ( ( 2 x. A ) + 1 ) e. NN )
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 |- ( ( 2 x. A ) + 1 ) e. NN
6		5nn 9351	. 2 |- 5 e. NN
7		1nn0 9461	. . 3 |- 1 e. NN0
8		1lt2 9356	. . 3 |- 1 < 2
9	1, 2, 7, 7, 8	numlti 9690	. 2 |- 1 < ( ( 2 x. A ) + 1 )
10		1lt5 9365	. 2 |- 1 < 5
11	1	nncni 9196	. . . . . 6 |- 2 e. CC
12	2	nncni 9196	. . . . . 6 |- A e. CC
13		5cn 9266	. . . . . 6 |- 5 e. CC
14	11, 12, 13	mul32i 8369	. . . . 5 |- ( ( 2 x. A ) x. 5 ) = ( ( 2 x. 5 ) x. A )
15		5t2e10 9753	. . . . . . 7 |- ( 5 x. 2 ) = ; 1 0
16	13, 11, 15	mulcomli 8229	. . . . . 6 |- ( 2 x. 5 ) = ; 1 0
17	16	oveq1i 6038	. . . . 5 |- ( ( 2 x. 5 ) x. A ) = (; 1 0 x. A )
18	14, 17	eqtri 2252	. . . 4 |- ( ( 2 x. A ) x. 5 ) = (; 1 0 x. A )
19	13	mullidi 8225	. . . 4 |- ( 1 x. 5 ) = 5
20	18, 19	oveq12i 6040	. . 3 |- ( ( ( 2 x. A ) x. 5 ) + ( 1 x. 5 ) ) = ( (; 1 0 x. A ) + 5 )
21	3	nncni 9196	. . . 4 |- ( 2 x. A ) e. CC
22		ax-1cn 8168	. . . 4 |- 1 e. CC
23	21, 22, 13	adddiri 8233	. . 3 |- ( ( ( 2 x. A ) + 1 ) x. 5 ) = ( ( ( 2 x. A ) x. 5 ) + ( 1 x. 5 ) )
24		dfdec10 9657	. . 3 |- ; A 5 = ( (; 1 0 x. A ) + 5 )
25	20, 23, 24	3eqtr4i 2262	. 2 |- ( ( ( 2 x. A ) + 1 ) x. 5 ) = ; A 5
26	5, 6, 9, 10, 25	nprmi 12757	1 |- -. ; A 5 e. Prime

Syntax hints:   -. wn 3   e. wcel 2202  (class class class)co 6028   0cc0 8075   1c1 8076   + caddc 8078   x. cmul 8080   NNcn 9186   2c2 9237   5c5 9240  ;cdc 9654   Primecprime 12740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-2o 6626  df-er 6745  df-en 6953  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-5 9248  df-6 9249  df-7 9250  df-8 9251  df-9 9252  df-n0 9446  df-z 9523  df-dec 9655  df-uz 9799  df-q 9897  df-rp 9932  df-seqfrec 10754  df-exp 10845  df-cj 11463  df-re 11464  df-im 11465  df-rsqrt 11619  df-abs 11620  df-dvds 12410  df-prm 12741

This theorem is referenced by: (None)