Theorem divalgb 11658

Description: Express the division algorithm as stated in divalg 11657 in terms of ||. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
divalgb	|- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) -> ( E! r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> E! r e. NN0 ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) )

Distinct variable groups:   D, q, r   N, q, r

Proof of Theorem divalgb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 965	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> ( ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
2	1	rexbii 2445	. . . . . . . 8 |- ( E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> E. q e. ZZ ( ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
3		r19.42v 2591	. . . . . . . 8 |- ( E. q e. ZZ ( ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> ( ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) ) /\ E. q e. ZZ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
4	2, 3	bitri 183	. . . . . . 7 |- ( E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> ( ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) ) /\ E. q e. ZZ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
5		zsubcl 9119	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ r e. ZZ ) -> ( N - r ) e. ZZ )
6		divides 11531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ZZ /\ ( N - r ) e. ZZ ) -> ( D || ( N - r ) <-> E. q e. ZZ ( q x. D ) = ( N - r ) ) )
7	5, 6	sylan2 284	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ r e. ZZ ) ) -> ( D || ( N - r ) <-> E. q e. ZZ ( q x. D ) = ( N - r ) ) )
8	7	3impb 1178	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ZZ /\ N e. ZZ /\ r e. ZZ ) -> ( D || ( N - r ) <-> E. q e. ZZ ( q x. D ) = ( N - r ) ) )
9	8	3com12 1186	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ r e. ZZ ) -> ( D || ( N - r ) <-> E. q e. ZZ ( q x. D ) = ( N - r ) ) )
10		zcn 9083	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
11		zcn 9083	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( r e. ZZ -> r e. CC )
12		zmulcl 9131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( q e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( q x. D ) e. ZZ )
13	12	zcnd 9198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( q e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( q x. D ) e. CC )
14		subadd 7989	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. CC /\ r e. CC /\ ( q x. D ) e. CC ) -> ( ( N - r ) = ( q x. D ) <-> ( r + ( q x. D ) ) = N ) )
15	10, 11, 13, 14	syl3an 1259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ r e. ZZ /\ ( q e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( ( N - r ) = ( q x. D ) <-> ( r + ( q x. D ) ) = N ) )
16		addcom 7923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( r e. CC /\ ( q x. D ) e. CC ) -> ( r + ( q x. D ) ) = ( ( q x. D ) + r ) )
17	11, 13, 16	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( r e. ZZ /\ ( q e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( r + ( q x. D ) ) = ( ( q x. D ) + r ) )
18	17	3adant1 1000	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ r e. ZZ /\ ( q e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( r + ( q x. D ) ) = ( ( q x. D ) + r ) )
19	18	eqeq1d 2149	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ r e. ZZ /\ ( q e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( ( r + ( q x. D ) ) = N <-> ( ( q x. D ) + r ) = N ) )
20	15, 19	bitrd 187	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ r e. ZZ /\ ( q e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( ( N - r ) = ( q x. D ) <-> ( ( q x. D ) + r ) = N ) )
21		eqcom 2142	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N - r ) = ( q x. D ) <-> ( q x. D ) = ( N - r ) )
22		eqcom 2142	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( q x. D ) + r ) = N <-> N = ( ( q x. D ) + r ) )
23	20, 21, 22	3bitr3g 221	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ r e. ZZ /\ ( q e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( ( q x. D ) = ( N - r ) <-> N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
24	23	3expia 1184	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ r e. ZZ ) -> ( ( q e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( ( q x. D ) = ( N - r ) <-> N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) )
25	24	expcomd 1418	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ r e. ZZ ) -> ( D e. ZZ -> ( q e. ZZ -> ( ( q x. D ) = ( N - r ) <-> N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) ) )
26	25	3impia 1179	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ r e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( q e. ZZ -> ( ( q x. D ) = ( N - r ) <-> N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) )
27	26	imp 123	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. ZZ /\ r e. ZZ /\ D e. ZZ ) /\ q e. ZZ ) -> ( ( q x. D ) = ( N - r ) <-> N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
28	27	rexbidva 2435	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ r e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( E. q e. ZZ ( q x. D ) = ( N - r ) <-> E. q e. ZZ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
29	28	3com23 1188	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ r e. ZZ ) -> ( E. q e. ZZ ( q x. D ) = ( N - r ) <-> E. q e. ZZ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
30	9, 29	bitrd 187	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ r e. ZZ ) -> ( D || ( N - r ) <-> E. q e. ZZ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
31	30	anbi2d 460	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ r e. ZZ ) -> ( ( ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) ) /\ D || ( N - r ) ) <-> ( ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) ) /\ E. q e. ZZ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) )
32	4, 31	bitr4id 198	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ r e. ZZ ) -> ( E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> ( ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) ) /\ D || ( N - r ) ) ) )
33		anass 399	. . . . . 6 |- ( ( ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) ) /\ D || ( N - r ) ) <-> ( 0 <_ r /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) )
34	32, 33	syl6bb 195	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ r e. ZZ ) -> ( E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> ( 0 <_ r /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) ) )
35	34	3expa 1182	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ ) /\ r e. ZZ ) -> ( E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> ( 0 <_ r /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) ) )
36	35	reubidva 2616	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( E! r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> E! r e. ZZ ( 0 <_ r /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) ) )
37		elnn0z 9091	. . . . . . 7 |- ( r e. NN0 <-> ( r e. ZZ /\ 0 <_ r ) )
38	37	anbi1i 454	. . . . . 6 |- ( ( r e. NN0 /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) <-> ( ( r e. ZZ /\ 0 <_ r ) /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) )
39		anass 399	. . . . . 6 |- ( ( ( r e. ZZ /\ 0 <_ r ) /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) <-> ( r e. ZZ /\ ( 0 <_ r /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) ) )
40	38, 39	bitri 183	. . . . 5 |- ( ( r e. NN0 /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) <-> ( r e. ZZ /\ ( 0 <_ r /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) ) )
41	40	eubii 2009	. . . 4 |- ( E! r ( r e. NN0 /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) <-> E! r ( r e. ZZ /\ ( 0 <_ r /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) ) )
42		df-reu 2424	. . . 4 |- ( E! r e. NN0 ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) <-> E! r ( r e. NN0 /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) )
43		df-reu 2424	. . . 4 |- ( E! r e. ZZ ( 0 <_ r /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) <-> E! r ( r e. ZZ /\ ( 0 <_ r /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) ) )
44	41, 42, 43	3bitr4ri 212	. . 3 |- ( E! r e. ZZ ( 0 <_ r /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) <-> E! r e. NN0 ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) )
45	36, 44	syl6bb 195	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( E! r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> E! r e. NN0 ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) )
46	45	3adant3 1002	1 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) -> ( E! r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> E! r e. NN0 ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   E!weu 2000   =/= wne 2309   E.wrex 2418   E!wreu 2419   class class class wbr 3937   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   CCcc 7642   0cc0 7644   + caddc 7647   x. cmul 7649   < clt 7824   <_ cle 7825   - cmin 7957   NN0cn0 9001   ZZcz 9078   abscabs 10801   || cdvds 11529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-dvds 11530

This theorem is referenced by:  divalg2  11659