Theorem divalgb 11862

Description: Express the division algorithm as stated in divalg 11861 in terms of ||. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
divalgb	|- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) -> ( E! r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> E! r e. NN0 ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) )

Distinct variable groups:   D, q, r   N, q, r

Proof of Theorem divalgb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 970	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> ( ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
2	1	rexbii 2473	. . . . . . . 8 |- ( E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> E. q e. ZZ ( ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
3		r19.42v 2623	. . . . . . . 8 |- ( E. q e. ZZ ( ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> ( ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) ) /\ E. q e. ZZ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
4	2, 3	bitri 183	. . . . . . 7 |- ( E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> ( ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) ) /\ E. q e. ZZ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
5		zsubcl 9232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ r e. ZZ ) -> ( N - r ) e. ZZ )
6		divides 11729	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ZZ /\ ( N - r ) e. ZZ ) -> ( D || ( N - r ) <-> E. q e. ZZ ( q x. D ) = ( N - r ) ) )
7	5, 6	sylan2 284	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ r e. ZZ ) ) -> ( D || ( N - r ) <-> E. q e. ZZ ( q x. D ) = ( N - r ) ) )
8	7	3impb 1189	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ZZ /\ N e. ZZ /\ r e. ZZ ) -> ( D || ( N - r ) <-> E. q e. ZZ ( q x. D ) = ( N - r ) ) )
9	8	3com12 1197	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ r e. ZZ ) -> ( D || ( N - r ) <-> E. q e. ZZ ( q x. D ) = ( N - r ) ) )
10		zcn 9196	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
11		zcn 9196	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( r e. ZZ -> r e. CC )
12		zmulcl 9244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( q e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( q x. D ) e. ZZ )
13	12	zcnd 9314	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( q e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( q x. D ) e. CC )
14		subadd 8101	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. CC /\ r e. CC /\ ( q x. D ) e. CC ) -> ( ( N - r ) = ( q x. D ) <-> ( r + ( q x. D ) ) = N ) )
15	10, 11, 13, 14	syl3an 1270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ r e. ZZ /\ ( q e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( ( N - r ) = ( q x. D ) <-> ( r + ( q x. D ) ) = N ) )
16		addcom 8035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( r e. CC /\ ( q x. D ) e. CC ) -> ( r + ( q x. D ) ) = ( ( q x. D ) + r ) )
17	11, 13, 16	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( r e. ZZ /\ ( q e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( r + ( q x. D ) ) = ( ( q x. D ) + r ) )
18	17	3adant1 1005	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ r e. ZZ /\ ( q e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( r + ( q x. D ) ) = ( ( q x. D ) + r ) )
19	18	eqeq1d 2174	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ r e. ZZ /\ ( q e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( ( r + ( q x. D ) ) = N <-> ( ( q x. D ) + r ) = N ) )
20	15, 19	bitrd 187	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ r e. ZZ /\ ( q e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( ( N - r ) = ( q x. D ) <-> ( ( q x. D ) + r ) = N ) )
21		eqcom 2167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N - r ) = ( q x. D ) <-> ( q x. D ) = ( N - r ) )
22		eqcom 2167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( q x. D ) + r ) = N <-> N = ( ( q x. D ) + r ) )
23	20, 21, 22	3bitr3g 221	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ r e. ZZ /\ ( q e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( ( q x. D ) = ( N - r ) <-> N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
24	23	3expia 1195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ r e. ZZ ) -> ( ( q e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( ( q x. D ) = ( N - r ) <-> N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) )
25	24	expcomd 1429	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ r e. ZZ ) -> ( D e. ZZ -> ( q e. ZZ -> ( ( q x. D ) = ( N - r ) <-> N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) ) )
26	25	3impia 1190	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ r e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( q e. ZZ -> ( ( q x. D ) = ( N - r ) <-> N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) )
27	26	imp 123	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. ZZ /\ r e. ZZ /\ D e. ZZ ) /\ q e. ZZ ) -> ( ( q x. D ) = ( N - r ) <-> N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
28	27	rexbidva 2463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ r e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( E. q e. ZZ ( q x. D ) = ( N - r ) <-> E. q e. ZZ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
29	28	3com23 1199	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ r e. ZZ ) -> ( E. q e. ZZ ( q x. D ) = ( N - r ) <-> E. q e. ZZ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
30	9, 29	bitrd 187	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ r e. ZZ ) -> ( D || ( N - r ) <-> E. q e. ZZ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
31	30	anbi2d 460	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ r e. ZZ ) -> ( ( ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) ) /\ D || ( N - r ) ) <-> ( ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) ) /\ E. q e. ZZ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) )
32	4, 31	bitr4id 198	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ r e. ZZ ) -> ( E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> ( ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) ) /\ D || ( N - r ) ) ) )
33		anass 399	. . . . . 6 |- ( ( ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) ) /\ D || ( N - r ) ) <-> ( 0 <_ r /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) )
34	32, 33	bitrdi 195	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ r e. ZZ ) -> ( E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> ( 0 <_ r /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) ) )
35	34	3expa 1193	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ ) /\ r e. ZZ ) -> ( E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> ( 0 <_ r /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) ) )
36	35	reubidva 2648	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( E! r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> E! r e. ZZ ( 0 <_ r /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) ) )
37		elnn0z 9204	. . . . . . 7 |- ( r e. NN0 <-> ( r e. ZZ /\ 0 <_ r ) )
38	37	anbi1i 454	. . . . . 6 |- ( ( r e. NN0 /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) <-> ( ( r e. ZZ /\ 0 <_ r ) /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) )
39		anass 399	. . . . . 6 |- ( ( ( r e. ZZ /\ 0 <_ r ) /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) <-> ( r e. ZZ /\ ( 0 <_ r /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) ) )
40	38, 39	bitri 183	. . . . 5 |- ( ( r e. NN0 /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) <-> ( r e. ZZ /\ ( 0 <_ r /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) ) )
41	40	eubii 2023	. . . 4 |- ( E! r ( r e. NN0 /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) <-> E! r ( r e. ZZ /\ ( 0 <_ r /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) ) )
42		df-reu 2451	. . . 4 |- ( E! r e. NN0 ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) <-> E! r ( r e. NN0 /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) )
43		df-reu 2451	. . . 4 |- ( E! r e. ZZ ( 0 <_ r /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) <-> E! r ( r e. ZZ /\ ( 0 <_ r /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) ) )
44	41, 42, 43	3bitr4ri 212	. . 3 |- ( E! r e. ZZ ( 0 <_ r /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) <-> E! r e. NN0 ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) )
45	36, 44	bitrdi 195	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( E! r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> E! r e. NN0 ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) )
46	45	3adant3 1007	1 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) -> ( E! r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> E! r e. NN0 ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 968   = wceq 1343   E!weu 2014   e. wcel 2136   =/= wne 2336   E.wrex 2445   E!wreu 2446   class class class wbr 3982   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   CCcc 7751   0cc0 7753   + caddc 7756   x. cmul 7758   < clt 7933   <_ cle 7934   - cmin 8069   NN0cn0 9114   ZZcz 9191   abscabs 10939   || cdvds 11727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-dvds 11728

This theorem is referenced by:  divalg2  11863