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Theorem divalgb 11884
Description: Express the division algorithm as stated in divalg 11883 in terms of  ||. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
divalgb  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  =/=  0 )  ->  ( E! r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  E! r  e.  NN0  ( r  < 
( abs `  D
)  /\  D  ||  ( N  -  r )
) ) )
Distinct variable groups:    D, q, r    N, q, r

Proof of Theorem divalgb
StepHypRef Expression
1 df-3an 975 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  ( (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
) )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )
21rexbii 2477 . . . . . . . 8  |-  ( E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  E. q  e.  ZZ  ( ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
) )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )
3 r19.42v 2627 . . . . . . . 8  |-  ( E. q  e.  ZZ  (
( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D ) )  /\  N  =  ( (
q  x.  D )  +  r ) )  <-> 
( ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D ) )  /\  E. q  e.  ZZ  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) ) )
42, 3bitri 183 . . . . . . 7  |-  ( E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  ( (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
) )  /\  E. q  e.  ZZ  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )
5 zsubcl 9253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( N  -  r
)  e.  ZZ )
6 divides 11751 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  ( N  -  r
)  e.  ZZ )  ->  ( D  ||  ( N  -  r
)  <->  E. q  e.  ZZ  ( q  x.  D
)  =  ( N  -  r ) ) )
75, 6sylan2 284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ ) )  ->  ( D  ||  ( N  -  r
)  <->  E. q  e.  ZZ  ( q  x.  D
)  =  ( N  -  r ) ) )
873impb 1194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( D  ||  ( N  -  r )  <->  E. q  e.  ZZ  ( q  x.  D )  =  ( N  -  r ) ) )
983com12 1202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( D  ||  ( N  -  r )  <->  E. q  e.  ZZ  ( q  x.  D )  =  ( N  -  r ) ) )
10 zcn 9217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
11 zcn 9217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r  e.  ZZ  ->  r  e.  CC )
12 zmulcl 9265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( q  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( q  x.  D
)  e.  ZZ )
1312zcnd 9335 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( q  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( q  x.  D
)  e.  CC )
14 subadd 8122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  CC  /\  r  e.  CC  /\  (
q  x.  D )  e.  CC )  -> 
( ( N  -  r )  =  ( q  x.  D )  <-> 
( r  +  ( q  x.  D ) )  =  N ) )
1510, 11, 13, 14syl3an 1275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  (
q  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )
)  ->  ( ( N  -  r )  =  ( q  x.  D )  <->  ( r  +  ( q  x.  D ) )  =  N ) )
16 addcom 8056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( r  e.  CC  /\  ( q  x.  D
)  e.  CC )  ->  ( r  +  ( q  x.  D
) )  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) )
1711, 13, 16syl2an 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( r  e.  ZZ  /\  ( q  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  ( r  +  ( q  x.  D ) )  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )
18173adant1 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  (
q  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )
)  ->  ( r  +  ( q  x.  D ) )  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )
1918eqeq1d 2179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  (
q  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )
)  ->  ( (
r  +  ( q  x.  D ) )  =  N  <->  ( (
q  x.  D )  +  r )  =  N ) )
2015, 19bitrd 187 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  (
q  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )
)  ->  ( ( N  -  r )  =  ( q  x.  D )  <->  ( (
q  x.  D )  +  r )  =  N ) )
21 eqcom 2172 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  -  r )  =  ( q  x.  D )  <->  ( q  x.  D )  =  ( N  -  r ) )
22 eqcom 2172 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( q  x.  D
)  +  r )  =  N  <->  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )
2320, 21, 223bitr3g 221 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  (
q  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )
)  ->  ( (
q  x.  D )  =  ( N  -  r )  <->  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )
24233expia 1200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( ( q  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  (
( q  x.  D
)  =  ( N  -  r )  <->  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) ) )
2524expcomd 1434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( D  e.  ZZ  ->  ( q  e.  ZZ  ->  ( ( q  x.  D )  =  ( N  -  r )  <-> 
N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) ) ) )
26253impia 1195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  (
q  e.  ZZ  ->  ( ( q  x.  D
)  =  ( N  -  r )  <->  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) ) )
2726imp 123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  /\  q  e.  ZZ )  ->  ( ( q  x.  D )  =  ( N  -  r
)  <->  N  =  (
( q  x.  D
)  +  r ) ) )
2827rexbidva 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( E. q  e.  ZZ  ( q  x.  D
)  =  ( N  -  r )  <->  E. q  e.  ZZ  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) ) )
29283com23 1204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( E. q  e.  ZZ  ( q  x.  D
)  =  ( N  -  r )  <->  E. q  e.  ZZ  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) ) )
309, 29bitrd 187 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( D  ||  ( N  -  r )  <->  E. q  e.  ZZ  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) ) )
3130anbi2d 461 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  (
( ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D ) )  /\  D  ||  ( N  -  r
) )  <->  ( (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
) )  /\  E. q  e.  ZZ  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) ) )
324, 31bitr4id 198 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( E. q  e.  ZZ  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  ( (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
) )  /\  D  ||  ( N  -  r
) ) ) )
33 anass 399 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D ) )  /\  D  ||  ( N  -  r ) )  <->  ( 0  <_  r  /\  (
r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r
) ) ) )
3432, 33bitrdi 195 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( E. q  e.  ZZ  ( 0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  ( 0  <_  r  /\  (
r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r
) ) ) ) )
35343expa 1198 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) )  <->  ( 0  <_ 
r  /\  ( r  <  ( abs `  D
)  /\  D  ||  ( N  -  r )
) ) ) )
3635reubidva 2652 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( E! r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) )  <->  E! r  e.  ZZ  ( 0  <_  r  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) ) ) )
37 elnn0z 9225 . . . . . . 7  |-  ( r  e.  NN0  <->  ( r  e.  ZZ  /\  0  <_ 
r ) )
3837anbi1i 455 . . . . . 6  |-  ( ( r  e.  NN0  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) )  <-> 
( ( r  e.  ZZ  /\  0  <_ 
r )  /\  (
r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r
) ) ) )
39 anass 399 . . . . . 6  |-  ( ( ( r  e.  ZZ  /\  0  <_  r )  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) )  <-> 
( r  e.  ZZ  /\  ( 0  <_  r  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) ) ) )
4038, 39bitri 183 . . . . 5  |-  ( ( r  e.  NN0  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) )  <-> 
( r  e.  ZZ  /\  ( 0  <_  r  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) ) ) )
4140eubii 2028 . . . 4  |-  ( E! r ( r  e. 
NN0  /\  ( r  <  ( abs `  D
)  /\  D  ||  ( N  -  r )
) )  <->  E! r
( r  e.  ZZ  /\  ( 0  <_  r  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) ) ) )
42 df-reu 2455 . . . 4  |-  ( E! r  e.  NN0  (
r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r
) )  <->  E! r
( r  e.  NN0  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) ) )
43 df-reu 2455 . . . 4  |-  ( E! r  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) )  <-> 
E! r ( r  e.  ZZ  /\  (
0  <_  r  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) ) ) )
4441, 42, 433bitr4ri 212 . . 3  |-  ( E! r  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) )  <-> 
E! r  e.  NN0  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) )
4536, 44bitrdi 195 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( E! r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) )  <->  E! r  e.  NN0  ( r  <  ( abs `  D )  /\  D  ||  ( N  -  r ) ) ) )
46453adant3 1012 1  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  =/=  0 )  ->  ( E! r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) )  <->  E! r  e.  NN0  ( r  < 
( abs `  D
)  /\  D  ||  ( N  -  r )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 973    = wceq 1348   E!weu 2019    e. wcel 2141    =/= wne 2340   E.wrex 2449   E!wreu 2450   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   CCcc 7772   0cc0 7774    + caddc 7777    x. cmul 7779    < clt 7954    <_ cle 7955    - cmin 8090   NN0cn0 9135   ZZcz 9212   abscabs 10961    || cdvds 11749
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-dvds 11750
This theorem is referenced by:  divalg2  11885
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