Theorem divalgb 12269

Description: Express the division algorithm as stated in divalg 12268 in terms of ||. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
divalgb	|- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) -> ( E! r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> E! r e. NN0 ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) )

Distinct variable groups:   D, q, r   N, q, r

Proof of Theorem divalgb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 983	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> ( ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
2	1	rexbii 2513	. . . . . . . 8 |- ( E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> E. q e. ZZ ( ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
3		r19.42v 2663	. . . . . . . 8 |- ( E. q e. ZZ ( ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> ( ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) ) /\ E. q e. ZZ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
4	2, 3	bitri 184	. . . . . . 7 |- ( E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> ( ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) ) /\ E. q e. ZZ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
5		zsubcl 9415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ r e. ZZ ) -> ( N - r ) e. ZZ )
6		divides 12133	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ZZ /\ ( N - r ) e. ZZ ) -> ( D || ( N - r ) <-> E. q e. ZZ ( q x. D ) = ( N - r ) ) )
7	5, 6	sylan2 286	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ r e. ZZ ) ) -> ( D || ( N - r ) <-> E. q e. ZZ ( q x. D ) = ( N - r ) ) )
8	7	3impb 1202	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ZZ /\ N e. ZZ /\ r e. ZZ ) -> ( D || ( N - r ) <-> E. q e. ZZ ( q x. D ) = ( N - r ) ) )
9	8	3com12 1210	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ r e. ZZ ) -> ( D || ( N - r ) <-> E. q e. ZZ ( q x. D ) = ( N - r ) ) )
10		zcn 9379	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
11		zcn 9379	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( r e. ZZ -> r e. CC )
12		zmulcl 9428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( q e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( q x. D ) e. ZZ )
13	12	zcnd 9498	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( q e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( q x. D ) e. CC )
14		subadd 8277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. CC /\ r e. CC /\ ( q x. D ) e. CC ) -> ( ( N - r ) = ( q x. D ) <-> ( r + ( q x. D ) ) = N ) )
15	10, 11, 13, 14	syl3an 1292	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ r e. ZZ /\ ( q e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( ( N - r ) = ( q x. D ) <-> ( r + ( q x. D ) ) = N ) )
16		addcom 8211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( r e. CC /\ ( q x. D ) e. CC ) -> ( r + ( q x. D ) ) = ( ( q x. D ) + r ) )
17	11, 13, 16	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( r e. ZZ /\ ( q e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( r + ( q x. D ) ) = ( ( q x. D ) + r ) )
18	17	3adant1 1018	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ r e. ZZ /\ ( q e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( r + ( q x. D ) ) = ( ( q x. D ) + r ) )
19	18	eqeq1d 2214	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ r e. ZZ /\ ( q e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( ( r + ( q x. D ) ) = N <-> ( ( q x. D ) + r ) = N ) )
20	15, 19	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ r e. ZZ /\ ( q e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( ( N - r ) = ( q x. D ) <-> ( ( q x. D ) + r ) = N ) )
21		eqcom 2207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N - r ) = ( q x. D ) <-> ( q x. D ) = ( N - r ) )
22		eqcom 2207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( q x. D ) + r ) = N <-> N = ( ( q x. D ) + r ) )
23	20, 21, 22	3bitr3g 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ r e. ZZ /\ ( q e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( ( q x. D ) = ( N - r ) <-> N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
24	23	3expia 1208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ r e. ZZ ) -> ( ( q e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( ( q x. D ) = ( N - r ) <-> N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) )
25	24	expcomd 1461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ r e. ZZ ) -> ( D e. ZZ -> ( q e. ZZ -> ( ( q x. D ) = ( N - r ) <-> N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) ) )
26	25	3impia 1203	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ r e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( q e. ZZ -> ( ( q x. D ) = ( N - r ) <-> N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) )
27	26	imp 124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. ZZ /\ r e. ZZ /\ D e. ZZ ) /\ q e. ZZ ) -> ( ( q x. D ) = ( N - r ) <-> N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
28	27	rexbidva 2503	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ r e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( E. q e. ZZ ( q x. D ) = ( N - r ) <-> E. q e. ZZ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
29	28	3com23 1212	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ r e. ZZ ) -> ( E. q e. ZZ ( q x. D ) = ( N - r ) <-> E. q e. ZZ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
30	9, 29	bitrd 188	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ r e. ZZ ) -> ( D || ( N - r ) <-> E. q e. ZZ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
31	30	anbi2d 464	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ r e. ZZ ) -> ( ( ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) ) /\ D || ( N - r ) ) <-> ( ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) ) /\ E. q e. ZZ N = ( ( q x. D ) + r ) ) ) )
32	4, 31	bitr4id 199	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ r e. ZZ ) -> ( E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> ( ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) ) /\ D || ( N - r ) ) ) )
33		anass 401	. . . . . 6 |- ( ( ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) ) /\ D || ( N - r ) ) <-> ( 0 <_ r /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) )
34	32, 33	bitrdi 196	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ r e. ZZ ) -> ( E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> ( 0 <_ r /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) ) )
35	34	3expa 1206	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ ) /\ r e. ZZ ) -> ( E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> ( 0 <_ r /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) ) )
36	35	reubidva 2689	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( E! r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> E! r e. ZZ ( 0 <_ r /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) ) )
37		elnn0z 9387	. . . . . . 7 |- ( r e. NN0 <-> ( r e. ZZ /\ 0 <_ r ) )
38	37	anbi1i 458	. . . . . 6 |- ( ( r e. NN0 /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) <-> ( ( r e. ZZ /\ 0 <_ r ) /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) )
39		anass 401	. . . . . 6 |- ( ( ( r e. ZZ /\ 0 <_ r ) /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) <-> ( r e. ZZ /\ ( 0 <_ r /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) ) )
40	38, 39	bitri 184	. . . . 5 |- ( ( r e. NN0 /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) <-> ( r e. ZZ /\ ( 0 <_ r /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) ) )
41	40	eubii 2063	. . . 4 |- ( E! r ( r e. NN0 /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) <-> E! r ( r e. ZZ /\ ( 0 <_ r /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) ) )
42		df-reu 2491	. . . 4 |- ( E! r e. NN0 ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) <-> E! r ( r e. NN0 /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) )
43		df-reu 2491	. . . 4 |- ( E! r e. ZZ ( 0 <_ r /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) <-> E! r ( r e. ZZ /\ ( 0 <_ r /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) ) )
44	41, 42, 43	3bitr4ri 213	. . 3 |- ( E! r e. ZZ ( 0 <_ r /\ ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) <-> E! r e. NN0 ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) )
45	36, 44	bitrdi 196	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( E! r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> E! r e. NN0 ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) )
46	45	3adant3 1020	1 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) -> ( E! r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> E! r e. NN0 ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   E!weu 2054   e. wcel 2176   =/= wne 2376   E.wrex 2485   E!wreu 2486   class class class wbr 4045   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   CCcc 7925   0cc0 7927   + caddc 7930   x. cmul 7932   < clt 8109   <_ cle 8110   - cmin 8245   NN0cn0 9297   ZZcz 9374   abscabs 11341   || cdvds 12131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-inn 9039  df-n0 9298  df-z 9375  df-dvds 12132

This theorem is referenced by:  divalg2  12270