Theorem divalg2 11471

Description: The division algorithm (theorem) for a positive divisor. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
divalg2	|- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN ) -> E! r e. NN0 ( r < D /\ D || ( N - r ) ) )

Distinct variable groups:   D, r   N, r

Proof of Theorem divalg2

Dummy variable q is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 8977	. . . 4 |- ( D e. NN -> D e. ZZ )
2		nnne0 8658	. . . 4 |- ( D e. NN -> D =/= 0 )
3	1, 2	jca 302	. . 3 |- ( D e. NN -> ( D e. ZZ /\ D =/= 0 ) )
4		divalg 11469	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) -> E! r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
5		divalgb 11470	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) -> ( E! r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> E! r e. NN0 ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) )
6	4, 5	mpbid 146	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) -> E! r e. NN0 ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) )
7	6	3expb 1165	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ ( D e. ZZ /\ D =/= 0 ) ) -> E! r e. NN0 ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) )
8	3, 7	sylan2 282	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN ) -> E! r e. NN0 ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) )
9		nnre 8637	. . . . . . 7 |- ( D e. NN -> D e. RR )
10		nnnn0 8888	. . . . . . . 8 |- ( D e. NN -> D e. NN0 )
11	10	nn0ge0d 8937	. . . . . . 7 |- ( D e. NN -> 0 <_ D )
12	9, 11	absidd 10831	. . . . . 6 |- ( D e. NN -> ( abs ` D ) = D )
13	12	breq2d 3907	. . . . 5 |- ( D e. NN -> ( r < ( abs ` D ) <-> r < D ) )
14	13	anbi1d 458	. . . 4 |- ( D e. NN -> ( ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) <-> ( r < D /\ D || ( N - r ) ) ) )
15	14	reubidv 2588	. . 3 |- ( D e. NN -> ( E! r e. NN0 ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) <-> E! r e. NN0 ( r < D /\ D || ( N - r ) ) ) )
16	15	adantl 273	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN ) -> ( E! r e. NN0 ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) <-> E! r e. NN0 ( r < D /\ D || ( N - r ) ) ) )
17	8, 16	mpbid 146	1 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN ) -> E! r e. NN0 ( r < D /\ D || ( N - r ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 945   = wceq 1314   e. wcel 1463   =/= wne 2282   E.wrex 2391   E!wreu 2392   class class class wbr 3895   ` cfv 5081  (class class class)co 5728   0cc0 7547   + caddc 7550   x. cmul 7552   < clt 7724   <_ cle 7725   - cmin 7856   NNcn 8630   NN0cn0 8881   ZZcz 8958   abscabs 10661   || cdvds 11341

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-mulrcl 7644  ax-addcom 7645  ax-mulcom 7646  ax-addass 7647  ax-mulass 7648  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-1rid 7652  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-precex 7655  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661  ax-pre-mulgt0 7662  ax-pre-mulext 7663  ax-arch 7664

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-frec 6242  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-reap 8255  df-ap 8262  df-div 8346  df-inn 8631  df-2 8689  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-q 9314  df-rp 9344  df-fl 9936  df-mod 9989  df-seqfrec 10112  df-exp 10186  df-cj 10507  df-re 10508  df-im 10509  df-rsqrt 10662  df-abs 10663  df-dvds 11342

This theorem is referenced by:  divalgmod  11472  ndvdssub  11475