Theorem divalg2 12352

Description: The division algorithm (theorem) for a positive divisor. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
divalg2	|- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN ) -> E! r e. NN0 ( r < D /\ D || ( N - r ) ) )

Distinct variable groups:   D, r   N, r

Proof of Theorem divalg2

Dummy variable q is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9426	. . . 4 |- ( D e. NN -> D e. ZZ )
2		nnne0 9099	. . . 4 |- ( D e. NN -> D =/= 0 )
3	1, 2	jca 306	. . 3 |- ( D e. NN -> ( D e. ZZ /\ D =/= 0 ) )
4		divalg 12350	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) -> E! r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
5		divalgb 12351	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) -> ( E! r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> E! r e. NN0 ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) )
6	4, 5	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) -> E! r e. NN0 ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) )
7	6	3expb 1207	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ ( D e. ZZ /\ D =/= 0 ) ) -> E! r e. NN0 ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) )
8	3, 7	sylan2 286	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN ) -> E! r e. NN0 ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) )
9		nnre 9078	. . . . . . 7 |- ( D e. NN -> D e. RR )
10		nnnn0 9337	. . . . . . . 8 |- ( D e. NN -> D e. NN0 )
11	10	nn0ge0d 9386	. . . . . . 7 |- ( D e. NN -> 0 <_ D )
12	9, 11	absidd 11593	. . . . . 6 |- ( D e. NN -> ( abs ` D ) = D )
13	12	breq2d 4071	. . . . 5 |- ( D e. NN -> ( r < ( abs ` D ) <-> r < D ) )
14	13	anbi1d 465	. . . 4 |- ( D e. NN -> ( ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) <-> ( r < D /\ D || ( N - r ) ) ) )
15	14	reubidv 2693	. . 3 |- ( D e. NN -> ( E! r e. NN0 ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) <-> E! r e. NN0 ( r < D /\ D || ( N - r ) ) ) )
16	15	adantl 277	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN ) -> ( E! r e. NN0 ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) <-> E! r e. NN0 ( r < D /\ D || ( N - r ) ) ) )
17	8, 16	mpbid 147	1 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN ) -> E! r e. NN0 ( r < D /\ D || ( N - r ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   =/= wne 2378   E.wrex 2487   E!wreu 2488   class class class wbr 4059   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   0cc0 7960   + caddc 7963   x. cmul 7965   < clt 8142   <_ cle 8143   - cmin 8278   NNcn 9071   NN0cn0 9330   ZZcz 9407   abscabs 11423   || cdvds 12213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-q 9776  df-rp 9811  df-fl 10450  df-mod 10505  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-dvds 12214

This theorem is referenced by:  divalgmod  12353  ndvdssub  12356