Theorem divalg2 12477

Description: The division algorithm (theorem) for a positive divisor. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
divalg2	|- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN ) -> E! r e. NN0 ( r < D /\ D || ( N - r ) ) )

Distinct variable groups:   D, r   N, r

Proof of Theorem divalg2

Dummy variable q is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9488	. . . 4 |- ( D e. NN -> D e. ZZ )
2		nnne0 9161	. . . 4 |- ( D e. NN -> D =/= 0 )
3	1, 2	jca 306	. . 3 |- ( D e. NN -> ( D e. ZZ /\ D =/= 0 ) )
4		divalg 12475	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) -> E! r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
5		divalgb 12476	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) -> ( E! r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) <-> E! r e. NN0 ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) ) )
6	4, 5	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) -> E! r e. NN0 ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) )
7	6	3expb 1228	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ ( D e. ZZ /\ D =/= 0 ) ) -> E! r e. NN0 ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) )
8	3, 7	sylan2 286	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN ) -> E! r e. NN0 ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) )
9		nnre 9140	. . . . . . 7 |- ( D e. NN -> D e. RR )
10		nnnn0 9399	. . . . . . . 8 |- ( D e. NN -> D e. NN0 )
11	10	nn0ge0d 9448	. . . . . . 7 |- ( D e. NN -> 0 <_ D )
12	9, 11	absidd 11718	. . . . . 6 |- ( D e. NN -> ( abs ` D ) = D )
13	12	breq2d 4098	. . . . 5 |- ( D e. NN -> ( r < ( abs ` D ) <-> r < D ) )
14	13	anbi1d 465	. . . 4 |- ( D e. NN -> ( ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) <-> ( r < D /\ D || ( N - r ) ) ) )
15	14	reubidv 2716	. . 3 |- ( D e. NN -> ( E! r e. NN0 ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) <-> E! r e. NN0 ( r < D /\ D || ( N - r ) ) ) )
16	15	adantl 277	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN ) -> ( E! r e. NN0 ( r < ( abs ` D ) /\ D || ( N - r ) ) <-> E! r e. NN0 ( r < D /\ D || ( N - r ) ) ) )
17	8, 16	mpbid 147	1 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN ) -> E! r e. NN0 ( r < D /\ D || ( N - r ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   E.wrex 2509   E!wreu 2510   class class class wbr 4086   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   0cc0 8022   + caddc 8025   x. cmul 8027   < clt 8204   <_ cle 8205   - cmin 8340   NNcn 9133   NN0cn0 9392   ZZcz 9469   abscabs 11548   || cdvds 12338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-fl 10520  df-mod 10575  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-dvds 12339

This theorem is referenced by:  divalgmod  12478  ndvdssub  12481